2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Найти кратчайшее расстояние от точки до прямой
Сообщение18.04.2009, 19:50 
Найти кратчайшее расстояние от точки $M(1;2;3)$ до прямой $\frac{x}{1}=\frac{y}{-3}=\frac{z}{2}$.
Соображения были, но их вооплащение в жизнь кануло в лету.

 
 
 
 
Сообщение18.04.2009, 20:11 
Это -- не очень простая задача, хотя и вполне стандартная. Наиболее идейный подход (не считая, конечно, готовых формул): напишите уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной прямой, и найдите точку пересечения этой плоскости с прямой. А потом посчитайте расстояние от найденной точки до исходной.

Ну и ещё можно посчитать то расстояние через проекции -- что существенно эффективнее, но и требует несколько больших теоретических знаний.

 
 
 
 
Сообщение18.04.2009, 20:27 
ewert писал(а):
напишите уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной прямой, и найдите точку пересечения этой плоскости с прямой. А потом посчитайте расстояние от найденной точки до исходной.

Ну и ещё можно посчитать то расстояние через проекции -- что существенно эффективнее, но и требует несколько больших теоретических знаний.

А разве предложенный вариант не через проекции? :)

 
 
 
 
Сообщение18.04.2009, 20:30 
Можно еще записать уравнение прямой в параметрической форме и найти экстремум функции расстояния.

Влад.

 
 
 
 
Сообщение18.04.2009, 20:34 
VAL в сообщении #205978 писал(а):
А разве предложенный вариант не через проекции?

Нет. Альтернативный вариант выглядит примерно так. Выбрать какую-то точку на прямой (а она уже есть). Написать вектор, связывающий эту точку с исходной. Спроецировать его на направляющий вектор. И вычесть по теореме Пифагора длину полученного вектора из расстояния между теми самыми двумя точками.

Конечно, всё в этом мире эквивалентно. Но второй вариант -- технически выглядит вроде проще.

 
 
 
 
Сообщение18.04.2009, 21:03 
Аватара пользователя
1. Данная прямая содержит вектор-нормаль плоскости, проходящей через точку $M$:
$N(1, -3, 2)$. Поэтому уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной прямой будет:
$x-3y+2z+D=0$
2. Собственно задача свелась к нахождению коэффициента $D$ - свободного члена в уравнении плоскости

 
 
 
 
Сообщение19.04.2009, 03:57 
Проще сделать так:
Изображение

 
 
 
 
Сообщение19.04.2009, 11:48 
vvvv писал(а):
Проще сделать так:
Изображение

Ответ верный, но как получен непонятно.

 
 
 
 
Сообщение19.04.2009, 12:02 
На заданной прямой возьмем точку B (или что то же - вектор В).Точку А, также можно считать вектором.
Рассмотрим модуль векторного произведения векторов А и В. Численно он равен площади параллелограмма, построенного на вектороа А и В.Если теперь эту площадь разделим на длину вектора В, то получим высоту параллелограмма, а это и будет расстояние (кратчайшее расстояние) точки А до заданной прямой :)

 
 
 
 
Сообщение19.04.2009, 12:10 
vvvv в сообщении #206063 писал(а):
На заданной прямой возьмем точку B (или что то же - вектор В).Точку А, также можно считать вектором.

Ни в коем случае точки нельзя считать векторами. Вам просто повезло, что прямая проходит через начало координат.

 
 
 
 
Сообщение19.04.2009, 12:13 
 !  vvvv, предупреждение за неиспользование тега math, при наборе формул.

 
 
 
 
Сообщение19.04.2009, 12:20 
ewert писал(а):
vvvv в сообщении #206063 писал(а):
На заданной прямой возьмем точку B (или что то же - вектор В).Точку А, также можно считать вектором.

Ни в коем случае точки нельзя считать векторами. Вам просто повезло, что прямая проходит через начало координат.

Да неуже ли? Это интересно.В данной задаче прямая проходит через начало координат и точки А и В то же, что и векторы приложенные в начале координат.
Этот прием годится для любой похожей задачи и для любой прямой.Можете задачу такую предложить и мне опять повезет :)

 
 
 
 
Сообщение19.04.2009, 12:23 
Пожалуйста. Найти кратчайшее расстояние от точки $M(3;1;2)$ до прямой $\frac{x}{2}=\frac{y-4}{1}=\frac{z+1}{-2}$.. Любопытно, каким именно способом Вам будет везти.

 
 
 
 
Сообщение19.04.2009, 13:22 
Пожалуйста :)
Изображение

 
 
 
 
Сообщение19.04.2009, 13:32 
Аватара пользователя
 !  vvvv
строгое предупреждение за игнорирование указание модератора и за публикацию готового решения учебной задачи. Еще раз замечу что-либо подобное - пеняйте на себя.

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group