Чего-то я ничего не могу разобрать. Попробую по-другому (возможно, и то же самое).
Определение. Углом между подпространствами
и
будем называть
где супремум берётся по всем ненулевым
и
Теорема. Пусть
Тогда сумма подпространств
замкнута в том и только том случае, когда угол между
и
не равен нулю.
Доказательство. Предположим, что сумма подпространств замкнута. Пусть
-- оператор, действующий из
в
по правилу: каждой паре
ставится в соответствие элемент
Ввиду тривиальности пересечения
и
оператор
является биекцией. Если снабдить декартово произведение стандартной нормой
то этот оператор ограничен (его норма не превосходит единицы просто по неравенству треугольника). По теореме об ограниченности обратного оператор
тоже ограничен и, следовательно,
Покажем, что при этом
.
Предположим обратное:
Это означает, что найдутся две последовательности
и
такие, что
Не ограничивая общности, можно считать, что все элементы этих последовательностей по норме равны единице и что
Тогда
а это противоречит ограниченности оператора
В одну сторону утверждение доказано.
Обратно, пусть
Тогда
а это означает ограниченность оператора
и, следовательно, замкнутость его области определения
Теорема доказана полностью.
Следствие. Пусть
и
-- ортопроекторы на пространства
и
соответственно. Если
и
замкнуто, то оператор
суженный на
является сжимающим (его норма не превосходит
).
-----------------------------------------------------------
Т.е. в этом случае итерационная процедура сходится. Ну а уж отделить подпространство
если оно нетривиально -- не проблема.
22.05.2009, 17:58 
где супремум берётся по всем ненулевым 
. Поскольку супремум достаточно искать по всем векторам единичной нормы -- он заведомо достигается на некоторой паре векторов (пространство-то ведь конечномерно). И эта пара не параллельна (в противном случае подпространства пересекались бы нетривиально). Следовательно, 
.
-- некоторый из векторов одного подпространства (а уже после первой итерации он там окажется) и 
-- результат его проецирования на альтернативное подпространство. Тогда 
Т.е. 
стремятся к нулю со скоростью геометрической прогрессии. Ч.т.д.
, так как 
ортогональный проектор и 
пусто." из предложенного выше классического решения господина neo66.
меньше еденицы, а следовательно 
строго меньше единицы (что, конечно, легко, но определённых заклинаний всё же требует).
-- гильбертово пространство; 
-- замкнутые подпространства, причем сумма 
тоже замкнута; 
-- соответствующие ортогональные проекторы; 
. 
при 
в операторной норме
где 
-- ортогональное дополнение до 
в 
.
, где 
, 
-- замкнутые пространства.
; 
.
и 
является сжатием.
и пусть 
, где 
-- замкнутые подпространства.
-- оператор проектирования на 
вдоль 
.
и
; в силу замкнутости 
. Покажем, что 
. Пусть 
Это означает, что 
и в силу замкнутости 
. Имеем 
. Значит 
, и 
. Ясно, что 
-- противоречие Утв 1. чтд
. Тогда 
и что 
. Теперь 
. 
(это, естественно, подпространство). Пусть, далее, 
(т.е. 
-- это ортогональное дополнение 
до 
. Тогда 
-- тоже подпространства, и 
(сумма -- прямая, причём вторая -- именно ортогональная). Замкнутость 
равносильна замкнутости 
Легко понять, что все три взаимно ортогональных подпространства в этом разложении являются приводящими для оператора 
причём на первом из них этот оператор равен нулю, а на последнем совпадает с 
(ортопроектор на 
есть не что иное, как сужение оператора 
на 
и 
Поскольку подпространства 
является сжимающим. Следовательно, 
и произнести соответствующее заклинание.
, где 
Тогда для любой последовательности 
фундаментальной в 
последовательность 
будет фундаментальна в 
фундаментальна в 
В силу замкнутости 
и 
откуда 
Таким образом, 
замкнуто.
-- сжатие
(*) ясно сразу;
-- то ok, если 
для какого-то 
, то 
и 
поскольку 
, значит для этого 
![$\in[0,\pi/2]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/4/3548d29ff3a6b084b14454cfedd592ef82.png "$\in[0,\pi/2]$")