предел последовательных ортогональных проекций

[MaestroAlex]

Пусть $U$ и $V$ линейные подпространства $R^n$. $P_U$, $P_V$ матрицы ортогональных проекторов на эти подпространства.
необходимо доказать, что существует $S = \lim_{n \rightarrow \infty} (P_U P_V)^n$, представляющий собой ортогональную проекцию на подпространство $W = U \bigcap V$.

Идея решения: $x \in R^n,\ (P_U P_V)^n x = (P_U P_V)^{n-1} (P_U P_V x)$, обозначим $u = P_U P_V x \in U, A = P_U P_V : U \longmapsto U$ и задача сводится к доказательству существования предела $A^n u$ при $n \rightarrow \infty$,

На какой факт необходимо сослаться, чтобы показать, что данный лин оп $A$, действующий из подпространства $U$ в $U$ обладает свойством cуществования предела $\lim_{n \rightarrow \infty} A^n u$ ?

[Brukvalub]

Может, сделать так: выбрать ортонормированный базис, первые векторы которого образуют базис пересечения, а некоторые из оставшихся векторов базиса дополняют этот базис пересечения до базисов в подпространствах и поработать с матрицами проекторов именно в таком базисе.

[мат-ламер]

Может как-то можно оценить норму оператора $A$ ?

[neo66]

MaestroAlex в сообщении #215938 писал(а):

На какой факт необходимо сослаться, чтобы показать, что данный лин оп $A$, действующий из подпространства $U$ в $U$ обладает свойством cуществования предела $\lim_{n \rightarrow \infty} A^n u$ ?

Сошлитесь на тот факт, что:
$\ (P_U P_V)^n = P_U P_V$

[TOTAL]

neo66 в сообщении #216078 писал(а):

Сошлитесь на тот факт, что:
$\ (P_U P_V)^n = P_U P_V$

Это не факт.

[мат-ламер]

Может попробуйте прикинуть какие у оператора А будут собственные векторы и собственные значения. Возможно некоторые из с.значений будут равны 1. Они отвечают пересечению пространств U и V, и к делу не относятся. А те, которые отвечают за сходимость, должны быть меньше 1 по модулю. Но это так, идея. Я не проверял.

-- Пт май 22, 2009 11:40:18 --

А может просто показать, что расстояние от произвольной точки х (не лежащей на пересечении плоскостей U и V) до этого пересечения строго больше, чем расстояние от точки $Ax$ до того же пересечения?

[terminator-II]

MaestroAlex в сообщении #215938 писал(а):

Пусть $U$ и $V$ линейные подпространства $R^n$. $P_U$, $P_V$ матрицы ортогональных проекторов на эти подпространства.
необходимо доказать, что существует $S = \lim_{n \rightarrow \infty} (P_U P_V)^n$, представляющий собой ортогональную проекцию на подпространство $W = U \bigcap V$.

Идея решения: $x \in R^n,\ (P_U P_V)^n x = (P_U P_V)^{n-1} (P_U P_V x)$, обозначим $u = P_U P_V x \in U, A = P_U P_V : U \longmapsto U$ и задача сводится к доказательству существования предела $A^n u$ при $n \rightarrow \infty$,

На какой факт необходимо сослаться, чтобы показать, что данный лин оп $A$, действующий из подпространства $U$ в $U$ обладает свойством cуществования предела $\lim_{n \rightarrow \infty} A^n u$ ?

докажите, что $P_UP_V:W^\bot\to W^\bot$ -- сжатие

[neo66]

TOTAL в сообщении #216095 писал(а):

neo66 в сообщении #216078 писал(а):

Сошлитесь на тот факт, что:
$\ (P_U P_V)^n = P_U P_V$

Это не факт.

Это бред.

[terminator-II]

neo66 в сообщении #216179 писал(а):

TOTAL в сообщении #216095 писал(а):

neo66 в сообщении #216078 писал(а):

Сошлитесь на тот факт, что:
$\ (P_U P_V)^n = P_U P_V$

Это не факт.

Это бред.

не бред это то, что вы пишите

[neo66]

Вторая попытка. Пусть $U'$ и $V'$ - ортогональные дополнения $W$ в $U$ и $V$ соответственно. Тогда
$P_U P_V=(P_{U'}+P_W)(P_{V'}+P_W)=$
$=P_{U'}P_{V'}+P_{U'}P_{W}+P_{W}P_{V'}+P_W^2=P_{U'}P_{V'}+P_W$.
И $(P_U P_V)^n =(P_{U'}P_{V'})^n+P_W$.
Но $|P_{U'}P_{V'}x|<|x|, \forall x\in \mathbb {R}$, так как $P$ ортогональный проектор и $U' \cap V'= 0$.

[terminator-II]

neo66 в сообщении #216188 писал(а):

Вторая попытка. Пусть $U'$ и $V'$ - ортогональные дополнения $W$ в $U$ и $V$ соответственно. Тогда
$P_U P_V=(P_{U'}+P_W)(P_{V'}+P_W)=$
$=P_{U'}P_{V'}+P_{U'}P_{W}+P_{W}P_{V'}+P_W^2=P_{U'}P_{V'}+P_W$.
И $(P_U P_V)^n =(P_{U'}P_{V'})^n+P_W$.
Но $|P_{U'}P_{V'}x|<|x|, \forall x\in \mathbb {R}$, так как $P$ ортогональный проектор и $U' \cap V'$ пусто.

да, это невнятная версия того, что я написал выше. и что? если вы интересуетесь решением то это еще не решение, если это подсказка автору поста, то не путайте человека

[MaestroAlex]

[/quote]Сошлитесь на тот факт, что:
$\ (P_U P_V)^n = P_U P_V$[/quote]

Это верно лишь в частном случае ортогональности подпространств $U, V$

[ewert]

И чего народ мучается? Немного поразмыслимши, становится понятно, что достаточно ограничиться частным случаем, когда пересечение подпространств тривиально. Т.е. когда $L_1\bigcap L_2=\{0\}.$ И доказывать в этом частном случае, что упомянутая итерационная процедура сходится к нулю.

Ну так это достаточно очевидно. Определим $$\theta=\mathop{\sup}\limits_{u,v}{|(u,v)|\over\|u\|\cdot\|v\|},$ где супремум берётся по всем ненулевым $u\in L_1$ и $v\in L_2$. Поскольку супремум достаточно искать по всем векторам единичной нормы -- он заведомо достигается на некоторой паре векторов (пространство-то ведь конечномерно). И эта пара не параллельна (в противном случае подпространства пересекались бы нетривиально). Следовательно, $\theta<1$.

Так вот. Пусть $x_1$ -- некоторый из векторов одного подпространства (а уже после первой итерации он там окажется) и $x_2$ -- результат его проецирования на альтернативное подпространство. Тогда $\|x_2\|\leqslant\theta\|x_1\|.$ Т.е. $\|x_k\|$ стремятся к нулю со скоростью геометрической прогрессии. Ч.т.д.

[terminator-II]

ewert
как насчет бесконечномерной версии? topic22903.html

[ewert]

Боюсь, что никак. Там угол между различными подпространствами (пусть даже и замкнутымит) вовсе не обязан быть нулевым. И, следовательно, на сходимость по норме расчитывать было бы даже как-то странно. Ну разве что на сильную.