Функциональное уравнение

[arseniiv]

Скажите, есть ли общее решение (непрерывное) уравнения $\[ \alpha (x) = g(x)\alpha (h(x)) \] $?
$\alpha (x)$ - неизвестная функция

Уж и так крутил, и так - ничего не вышло

[gris]

Покрутите ещё эдак

Пока Математики ещё не нашли даже общего решения уравнения $f(x)=0$, а Вы за функциональные взялись.
Хотя при некоторых ограничениях на функции $g(x)$ и $h(x)$ решение может быть найдено.

[arseniiv]

Каких, например? А под таким общим решением я имел такое, которое выражается тоже через функции g и h, но в котором $\alpha (x)$ стоит "с одной стороны от знака =", с моей такой трактовки ваше уравнение как раз "решено", хотя это неправильное определение. И, кстати, разве решение этого уравнения не $\{0\}$?

[gris]

Я имел в виду не функциональное уравнение, а обычное.

А в Вашем случае возьмём, например

$h(x)=x;\,\,g(x)=1$. Решением будет любая (непрерывная) функция.

$h(x)=-x;\,\,g(x)=1$. Решением будет любая чётная функция.

$h(x)=-x;\,\,g(x)=-1$. Решением будет любая нечётная функция.

$h(x)=x+T;\,\,g(x)=1$. Решением будет любая периодическая с периодом $T$ функция.

[arseniiv]

А общее всё-таки не получится? Через обратные, например, функции?

[gris]

Ну можно еще попробвать продифференцировать. Или попробовать такое:

$\alpha (x) = g(x)\alpha (h(x)) = g(x)g(h(x)) \alpha(h(h(x)))=...$

Поковыряйте, вдруг получите результат...

[arseniiv]

А ещё можно ввести функцию $\alpha (g(x),h(x),x)$... Если совсем ничего не получится

[gris]

Как это? У Вас функция $\alpha$ от одной переменной, а не от трёх. Вы сейчас наобобщаете. Начните с более простых случаев.
Кстати, из Вашего уравнения можно вывести, что функцию $\alpha$ можно представить в виде суммы чётной и нечётной.

Рассмотрите ещё интересные случаи

$$\alpha(ax)=a\alpha(x)$$

,

$$\alpha(x^2)=2x\alpha(x)$$

[AD]

gris в сообщении #209412 писал(а):

Кстати, из Вашего уравнения можно вывести, что функцию $\alpha$ можно представить в виде суммы чётной и нечётной.

Это можно сделать с любой функцей.

[arseniiv]

И ещё вопрос про композицию функций (про обозначения):
Пусть дана функция $f = kx^2$, дифференциирование мы вполне можем записать и с символом функции, и с выражением: ${{df} \over {dx}},{{kdx^2 } \over {dx}},f'(x),(kx^2 )'$. А композицию функций $f \circ g$ можно записать как $(kx^2 \circ g)$? Хотя лучше тут писать просто $kg^2$, но бывают же случаи каких-нибудь длинных преобразований с несколькими композициями - я примерно в такой записи дифференциирую что-нибудь типа

$$ \left( {\lg \left( {ae^x + \cos e^x } \right)^3 } \right)^\prime = \left( {\lg \circ x^3 \circ \left( {ax + \cos x} \right) \circ e^x } \right)^\prime = \ldots $$

(пример, правда, надуман), чтоб не запутаться. Не думаю, что так писать можно

Добавлено спустя 11 минут 2 секунды:

gris писал(а):

Как это? У Вас функция $\alpha$ от одной переменной, а не от трёх. Вы сейчас наобобщаете. Начните с более простых случаев.

Ну, частные случаи-то я вроде решать умею, немного. Мне интересно было как раз про обобщение, хотя я не уверен, что тут что-нибудь будет. А про функцию от трёх переменных я плохо написал, надо было её обозначить как-нибудь по-другому - если не найдётся общее решение, то его можно было как раз так записать, а потом писать что-то вроде $\alpha _0 (k,x - 1,x) = Ck^{x - 1} $

Добавлено спустя 9 минут 17 секунд:

gris в сообщении #209412 писал(а):

Рассмотрите ещё интересные случаи

$$\alpha(ax)=a\alpha(x)$$

,

$$\alpha(x^2)=2x\alpha(x)$$

Первая функция $Cx$, вторая - не могу найти

Добавлено спустя 3 минуты 59 секунд:

В ней что-то, напоминающее производную степенной функции: $\alpha (x^4 ) = 4x^3 \alpha (x)$

[gris]

Композици функций лучше записывать как $f(g)$ или $g(f)$

$$f(x)= \lg (ae^x + \cos e^x ) ^3=f(g(h(x)))$$

, где

$$f(x)=\lg(x)$$

$$g(x)=x^3$$

$$h(x)=ae^x + \cos e^x $$

$$\frac {df}{dx} = \frac {df}{dg}\cdot \frac {dg}{dh}\cdot \frac {dh}{dx}$$

[arseniiv]

Я как раз так не люблю писать из-за того, что надо запомнить, что какой буквой обозначил. Хотя такие выражения можно обрабатывать "по слоям" - сначала внешнюю функцию дифференциировать, потом предвнешнюю, и даже никакое обозначение композиции не нужно

Добавлено спустя 1 минуту 13 секунд:

А какие функции удовлетворяют вашему последнему уравнению, gris?

[gris]

Я не знаю. Нахождение решения даже в конкретном случае может быть сложным делом. Но постепенно расширяя круг функций-параметров, можно приблизиться к общему уравнению

Можно рассмотреть такое функциональное уравнение:

$$F(\alpha(x))=o$$

и попытаться решить его относительно $\alpha(x)$.

Это как с интегрированием. Нет общего правила интегрирования, но есть множество способов, замен, приёмов, подстановок, специальных функций.

Так и с дифференциальными уравнениями. Общие решения известны для частных случаев.

[arseniiv]

gris в сообщении #209434 писал(а):

$$F(\alpha(x))=o$$

А что такое o? Или это был 0?

Кстати, первое уравнение я смог только подстановкой - возможно, какое-нибудь необычное решение потеряно

Добавлено спустя 4 минуты 58 секунд:

В принципе, всякое функциональное уравнение вроде имеет форму

$$ F(f(x_1 , \ldots ,x_k ),x_1 , \ldots ,x_k ,x_{k + 1} , \ldots ,x_n ) = 0 $$

, у которой обобщённого решения нет...

[gris]

Кстати, было бы очень интересно исследовать, для каких функций $f(x)$ уравнение $\alpha(x)= \alpha(f(x))$ вообще имеет непрерывные решения. Потом попытаться отыскать их общий вид.

Например, для $\alpha(x)= \alpha(0)$ решением будет $\alpha(x)= C$

для $\alpha(x)= \alpha(x)$ решением будет любая непрерывная функция

для $\alpha(x)= \alpha(-x)$ решением будет любая непрерывная чётная функция

для $\alpha(x)= \alpha(5-x)$ тоже ясно.

а вот для $\alpha(x)= \alpha(1+x)$ ? для $\alpha(x)= \alpha(2x)$ ?