Функциональное уравнение

[ewert]

gris писал(а):

а вот для $\alpha(x)= \alpha(1+x)$ ? для $\alpha(x)= \alpha(2x)$ ?

Первое -- это просто условие периодичности. Второе сводится к первому логарифмированием.

[ИСН]

"Подумаешь, бином Ньютона". $\alpha(x) = x\cdot\ln x$

Добавлено спустя 30 секунд:

это я про то, которое

$$\alpha(x^2)=2x\alpha(x)$$

[gris]

То есть, например,

$$\sin(2\pi x)$$

и

$$\sin(\frac{2\pi}{\ln2} \ln x)$$

А вот

$$\alpha(x)=\alpha(x^2)$$

?

[arseniiv]

А вы можете показать решение? Интересно

Добавлено спустя 2 минуты 4 секунды:

Атака уравнениями опасно

[gris]

arseniiv, видите, как интересно. И какие разные функции возникают. Займитесь этим вопросом. Тут можно такого накопать, что и защититесь запросто.

[ИСН]

gris в сообщении #209457 писал(а):

А вот

$$\alpha(x)=\alpha(x^2)$$

?

Опять-таки логарифмированием сводится к...

[Профессор Снэйп]

Кстати, а каков общий вид функционального уравнения?

Общий вид обычного уравнения --- $f(x)=0$, $f$ --- функция. А функционального получается $F(f)=0$, $F$ --- функционал? Или я что-то упускаю?

[arseniiv]

До меня дошло, ура! Т.к. аргумент функции можно заменять какой-либо другой функцией, например, логарифмом, всё получается. Я почему-то об этом забыл и пытался заменять только суммой-произведением... Наивность.
gris, до защиты мне ещё ой как далеко...

Добавлено спустя 1 минуту 58 секунд:

Я думаю, такой вид:

$$ F(f(x_1 , \ldots ,x_k ),x_1 , \ldots ,x_k ,x_{k + 1} , \ldots ,x_n ) = 0 $$

Но нигде пока строгого определения не видел

Добавлено спустя 3 минуты 43 секунды:

Нет, логарифмирование у меня не получается... Никто не покажет ход решения?

Добавлено спустя 1 час 5 минут 45 секунд:

Я делаю точно совсем не то:

$$u(x^2 ) = 2xu(x)$$ $$u(\ln x^2 ) = 2xu(\ln x)$$ $$y = \ln x$$ $$u(2y) = 2e^y u(y)$$ $$u(\ln (2y)) = 2e^y u(\ln y)$$ $$u(\ln 2 + \ln y) = 2e^y u(\ln y)$$ $$t = \ln y$$ $$u(t + \ln 2) = 2e^{e^t } u(t)$$

[antbez]

Может быть, разобрать в этой теме какие-то интересные функциональные уравнения? (Мне были бы интересны и несложные, так как тут мало опыта...)

[arseniiv]

Давайте, как раз название такое, чтоб потом можно было писать сюда всё про вункц. уравнения

Добавлено спустя 5 минут 41 секунду:

И у меня тоже мало опыта, кстати. Ничего не выходит, кроме аддитивного уравнения Коши. Но оно простое

[Профессор Снэйп]

arseniiv писал(а):

Я думаю, такой вид:

$$ F(f(x_1 , \ldots ,x_k ),x_1 , \ldots ,x_k ,x_{k + 1} , \ldots ,x_n ) = 0 $$

Как Вы уравнение $f(x+1)=f(x)$ в таком виде представите?

[arseniiv]

Никак

Я так и не научился логарифмировать уравнения, хотя бы те, что на этой странице. Никто не покажет, как?

И вот одно интересное уравнение придумал: $u(xy) = u(x)^y u(y)^x$

Добавлено спустя 44 секунды:

(Решение, хотя бы частное, я знаю - из него и выводил.)

[gris]

Сначала попробуйте самостоятельно посоставлять и порешать функциональные уравнения, придумайте свои методы и приёмы решений, потом посмотрите, как их решают другие

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/fe.htm

потом почитайте хороший учебник. Так и станете мастером.

[arseniiv]

Вот в учебниках - недостача

[Mikhail Sokolov]

По этим уравнениям можно посмотреть, например, книжки:
Kuczma M. Functional equations in a single variable. 1968.
Kuczma M., Choczewski B., Ger R. Iterative functional equations. 1990.