Функциональное уравнение

[Руст]

Многие случаи дадут тождественный ноль. Пусть $g(x_0)=0$, тогда $\alpha (x_0)=0\to \alpha (h^{-1}(x_0))=0$.
Здесь под $h^{-1}(x_0)$ понимается все множество прообразов. Следовательно, если итерации множество прообразов плотно, то $\alpha(x)\equiv 0$

[grisania]

gris в сообщении #209445 писал(а):

Кстати, было бы очень интересно исследовать, для каких функций $f(x)$ уравнение $\alpha(x)= \alpha(f(x))$ вообще имеет непрерывные решения. Потом попытаться отыскать их общий вид.

Например, для $\alpha(x)= \alpha(0)$ решением будет $\alpha(x)= C$

для $\alpha(x)= \alpha(x)$ решением будет любая непрерывная функция

для $\alpha(x)= \alpha(-x)$ решением будет любая непрерывная чётная функция

для $\alpha(x)= \alpha(5-x)$ тоже ясно.

а вот для $\alpha(x)= \alpha(1+x)$ ? для $\alpha(x)= \alpha(2x)$ ?

Уравнение вида $\alpha(x)= \alpha(f(x))$ называется автоморфными (Automorphic functions ).
Им классик функциональных уравнений - поляк Кужма (Kuczma) в своей монографии посвятил целую главу
Kuczma M. Functional equations in a single variable (Warszawa, 1968
Её можно скачать много где, полезная книжка, если есть желание этим заниматься.
Есть такая книжка этого классика - тоже прелесть:
Kuczma M., Choczewski B., Ger R. Iterative functional equations 1990
С трудом ее скачал в инете. Вообще, у меня хорошая подборка книг про функциональные уравнения -их электронных вариантов.

В комплексной области автоморфным функциям монографии посвящены, в инете куча ссылок.