Целое число в целой степени

[ewert]

Там, где написано $f(i)+1$. Кстати, мне ещё лень было придираться к тому, что зависимость от $i$ не определена.

[Профессор Снэйп]

Xaositect писал(а):

Да нет, все правильно.
$f$ - это функция, отображающая числа от 0 до $n-1$ в числа от 0 до $k-1$
$f(i)$ - это число от 0 до $k-1$, к нему вполне можно прибавлять единицу.

Ну вот, Xaositect всё за меня уже объяснил.

[gris]

Профессор Снэйп, решение мне показалось очень красивым. Особенно вот это:

$$f\in n^k$$

. Из-за знака принадлежности понятно, что $n^k$ это не число.
Интересно, что позавчера я сам обсуждал в другом разделе обозначение множества всех подмножеств $2^\mathbb M$, но мне чего-то не толкнулась идея в голову

Правда тут есть кое-какая неясность. $\mathbb K$ это множество $\{0;1;...k-1\}$ или $\{1;2;...k\}$?
Впрочем, про строгость была, разумеется, шутка и вопрос про формулу чисто праздный, тем большее спасибо за ответ.

[Профессор Снэйп]

gris писал(а):

Правда тут есть кое-какая неясность. $\mathbb K$ это множество $\{0;1;...k-1\}$ или $\{1;2;...k\}$?

$k = \{ 0,1,\ldots,k-1 \}$. А что такое $\mathbb{K}$, я не знаю.

Добавлено спустя 3 минуты 47 секунд:

gris писал(а):

Профессор Снэйп, решение мне показалось очень красивым. Особенно вот это:

$$f\in n^k$$

. Из-за знака принадлежности понятно, что $n^k$ это не число.

Как раз непонятно. А вот из $f(i)$ --- понятно

[PAV]

Николай Лощкарёв в сообщении #201509 писал(а):

Целое число - чногочлен с неопределённым числом слагаемых.

Не нужно использовать математические термины безграмотно. Разложение целого числа в сумму (что имеет в виду автор) к многочленам не имеет отношения.

Физические аналогии, я полагаю, никому здесь особо не интересны и ясности сообщению не добавляют.

Единственное более-менее внятное утверждение, которое можно вычитать из текста - это

Николай Лощкарёв в сообщении #201509 писал(а):

Нетрудно убедиться в том, что в случаях "тел" мерностей более 3-х, минимальное число суммируемых "объёмов" в сумме эквивалентной "объёму" исходному, не бывает менее трёх ортогональных "тел" равной мерности и целочисленныз размеров по всем измерениям.

В переводе на нормальный математический язык, как я понимаю, автор утверждает, что в случае равенства в целых числах вида
$x^n=y_1^n+y_2^n+\cdots+y_k^n$ число слагаемых в правой части $k$ не может быть меньше степени $n$ (вырожденный случай $k=1$, разумеется, не в счет). Утверждение сильное, включающее в себя ВТФ как частный случай. Поэтому "нетрудно убедиться" следовало бы расшифровать. Не изволит ли автор привести доказательство этого утверждения?

[Виктор Ширшов]

PAV в сообщении #202533 писал(а):

В переводе на нормальный математический язык, как я понимаю, автор утверждает, что в случае равенства в целых числах вида
число слагаемых в правой части не может быть меньше степени (вырожденный случай , разумеется, не в счет). Утверждение сильное, включающее в себя ВТФ как частный случай. Поэтому "нетрудно убедиться" следовало бы расшифровать. Не изволит ли автор привести доказательство этого утверждения?

Не кажется ли уважаемый PAV, что Ваша запись в какой-то мере соответствует формулировке отвергнутой "теоремы Ширшова", которая в теме "Снова о Диофантовом уравнении" (стр.2) читается следующим образом:
"Сумма множества целых натуральных чисел с одинаковыми целочисленными показателями не равна целому числу с таким же показателем в степени большей первой".

У Вас $x^n=y_1^n+y_2^n+...+y_k^n$, что невозможно. Это устанавливается "методом подъёма" степеней, если принять при n=1 $x=y_1+y_2+... +y_k$.В этой сумме x больше каждого из слагамых и уже при n=2 видно, что сумма (левая часть уравнения) больше "многочлена суммы" (если так можно назвать правую уравнения).

[PAV]

Может быть и совпадает, не знаю. Вы, как и автор данной темы, почему-то предпочитаете написать длинную запись словами вместо короткой - формулой.

Если $x=y_1+\cdots+y_k$, то неравенство очевидно. Случай же $x\ne y_1+\cdots+y_k$ Вы почему-то рассматривать не хотите.

[Cave]

Так $3^3 + 4^3 +5^3 = 6^3$.

[Виктор Ширшов]

Cave писал(а):

Так $3^3 + 4^3 +5^3 = 6^3$.

Но ведь $3+4+5 \ne 6$

Добавлено спустя 19 минут 27 секунд:

PAV в сообщении #202961 писал(а):

Случай же Вы почему-то рассматривать не хотите.

Ув. PAV, этот случай не надо рассматривать, если теорему

Виктор Ширшов в сообщении #202958 писал(а):

"Сумма множества целых натуральных чисел с одинаковыми целочисленными показателями не равна целому числу с таким же показателем в степени большей первой".

сформулировать более строго. Может быть, так: "Сумма множества целых натуральных чисел с одинаковыми целочисленными показателями не равна целому числу с таким же показателем в любой степени, кроме первой" .

[PAV]

Эта фраза не является математически строгой формулировкой теоремы.

[Виктор Ширшов]

PAV в сообщении #203228 писал(а):

Эта фраза не является математически строгой формулировкой теоремы.

"Целое число в любой степени, кроме первой, невозможно разложить на многочлен суммы в целых числах с тем же показателем".

Кстати, в эту формулировку в аккурат вписывается Ваше уравнение $x^n=y_1^n+y_2^n+...+y_k^n$.
Если Вы предложите более строгую формулировку, я не против.

[Алексей К.]

Виктор Ширшов писал(а):

[Кстати, в эту формулировку в аккурат (что-то там) вписывается

Не надо. "многочлен суммы в целых числах" --- это вообще не формулировка.

[PAV]

Ваши текстовые формулировки без формул и точных условий я обсуждать не буду. Возможная строгая формулировка звучала бы, например, так.

Цитата:

Рассмотрим целое число $k>1$. Рассмотрим произвольные натуральные числа $y_1,\ldots,y_k$. Обозначим $x=y_1+\cdots+y_k$. Тогда для любого целого $n\ge 2$ выполнено неравенство $x^n>y_1^n+\cdots+y_k^n$.

Это - строгая формулировка. Само утверждение при этом совершенно тривиально и ни у кого сомнений не вызывает.

[Виктор Ширшов]

PAV в сообщении #203244 писал(а):

Ваши текстовые формулировки без формул и точных условий я обсуждать не буду. Возможная строгая формулировка звучала бы, например, так.

В любом знании важнее всего сама идея.

[Алексей К.]

И это тоже чушь и пустословие, как и ранее высказанные сентенции, якобы "идеи".