Абстракция актуальной бесконечности

[Nxx]

Вот если исключить из теории абстракцию актуальной бесконечности, но оставить закон исключенного третьего и пр., насколько конструктивистскую теорию мы получим?

[epros]

Nxx писал(а):

Вот если исключить из теории абстракцию актуальной бесконечности, но оставить закон исключенного третьего и пр., насколько конструктивистскую теоию мы получим?

Не вполне конструктивистскую
Закон исключённого третьего ведь не принимается конструктивистами не из вредности, а потому, что для высказываний, неразрешимых в теории, нет общего способа определения значения истинности. Поэтому утверждение о том, что данное высказывание "либо истинно, либо ложно", остаётся пустой декларацией.

[Профессор Снэйп]

Насколько я понимаю, такое понятие, как "абстракция актуальной бесконечности" принадлежит скорее к философии математики, чем к самой математике. На математическом языке "абстракция актуальной бесконечности", в отличие от схемы формул, выражающей закон исключённого третьего, не формулируется. Из какой-такой "теории" предлагается исключить эту абстракцию, не совсем понятно. Нет её ни в какой математической теории! В отличие от закона исключённого третьего, присутствующего в списке аксиом исчисления. Зато вот когда мы начинаем рассуждать (на философском уровне и не оставаясь уже в рамках математики), почему мы испытываем доверие к закону исключённого третьего и хотим опираться на него в доказательствах, мы вспоминаем про актуальную бесконечность.

Посему вопрос автора темы не имеет смысла!!!

Кстати, раз уж тему завели, интересно было бы порассуждать о том, что это за абстракция такая и как её поточнее сформулировать. Я пытался как-то приводить такой пример. Дескать, предположим, что человек может думать о натуральных числах, причём мысль о любом натуральном числе занимает ровно одну секунду. Тогда бесконечно ли множество чисел, о которых он может подумать? С одной стороны да, поскольку любое натуральное число может стать объектом человеческой мысли. С другой стороны нет, ибо человек смертен и время его жизни конечно. Можно ли в данной ситуации сказать, что множество чисел, о которых может подумать какой-нибудь конкретный человек, потенциально бесконечно, но не является актуально бесконечным?

[epros]

Профессор Снэйп писал(а):

Кстати, раз уж тему завели, интересно было бы порассуждать о том, что это за абстракция такая и как её поточнее сформулировать.

А чем теоретико-множественная аксиома бесконечности Вас не устраивает? Конечно, она утверждает существование не просто "какого угодно" бесконечного множества, а именно индуктивного. Но поскольку оное заведомо не является конечным, стало быть всё-таки в лице этой аксиомы имеем утверждение о существовании бесконечной сущности (множества).

Профессор Снэйп писал(а):

Можно ли в данной ситуации сказать, что множество чисел, о которых может подумать какой-нибудь конкретный человек, потенциально бесконечно, но не является актуально бесконечным?

Я ранее в другой теме писал, что абстракция потенциальной бесконечности есть утверждение о НЕсуществовании конечной совокупности всех объектов данного типа. Например, можно смело утверждать, что не существует конечной совокупности натуральных чисел, включающей их все. Это не имеет отношения к конечности срока жизни человека, взявшегося их перечислять. И очевидно, что это не то же самое, что утверждение о существовании бесконечной совокупности объектов.

[Nxx]

Меня вот классический анализ не совсем устраивает, так как он предполагает возможность оперирования бесконечными объемами информации, невычислимыми числами и прочим. С другой стороны, мне не очень понятно, что происходит, если исключить закон исключенного третьего:

например, в русском языке "не может не существовать" семантически эквивалентно понятию "существует". Если конструктивисты утверждают, что это разные вещи, то значит, они говорят не по-русски.

Если мы исключим аксиомы, связанные с актуальной бесконечностью из классического анализа, то на первый взгляд, решим обе проблемы.

[AD]

Nxx в сообщении #194140 писал(а):

Если мы исключим аксиомы, связанные с актуальной бесконечностью из классического анализа, то на первый взгляд, решим обе проблемы.

Я вот не понимаю - Вы теорию собираетесь строить или просто потрепаться сюда пришли?

[epros]

Nxx писал(а):

например, в русском языке "не может не существовать" семантически эквивалентно понятию "существует". Если конструктивисты утверждают, что это разные вещи, то значит, они говорят не по-русски.

Неправда, сам факт, что такой словооборот применяется, свидетельствует о том, что это не то же самое, что "существует".

По-моему, только изрядная степень замороченности Аристотелевской "классической" логикой является причиной того, что мы перестали различать такие вещи. Когда я говорю, что нечто "не может не существовать", это значит, что я этого на самом деле пока ещё в глаза не видел, но исходя из каких-то чисто теоретических соображений пришёл к выводу, что утверждать его несуществование немыслимо. Не исключено, что оный предмет навсегда останется в таком состоянии: когда его никто в глаза не видел, но все уверены - утверждать, что он не существует, "немыслимо".

Nxx писал(а):

Если мы исключим аксиомы, связанные с актуальной бесконечностью из классического анализа, то на первый взгляд, решим обе проблемы.

Если у нас есть закон исключённого третьего, то я не вижу никакого смысла "исключать" какие-либо аксиомы. Высказывание ведь как таковое не исчезнет, и вопрос: "Истинно ли оно?", - не потеряет смысл. А закон исключённого третьего нам определённо диктует: либо это утверждение (аксиома бесконечности) истинно, и тогда его нужно принять за аксиому, либо оно ложно, и тогда нужно принять за аксиому его отрицание.

[Nxx]

Цитата:

Когда я говорю, что нечто "не может не существовать", это значит, что я этого на самом деле пока ещё в глаза не видел, но исходя из каких-то чисто теоретических соображений пришёл к выводу, что утверждать его несуществование немыслимо.

В любой науке выражение "несуществование немыслимо" может означать только одно: это существует.

А почему бы не сказать прямо "существует, но в глаза не видел"? Речь шла, насколько я помню, про корень функции. Тут по-моему, ситуация простая: если функция вычислима, то и корень можно найти очень просто, например, по методу деления отрезка пополам. Если функция невычислима, то такой функции в конструктивном смысле просто нет.

Какие собственно говоря, есть варианты?

1. Существует и возможно построить
2. Существует, но невозможно построить
3. Не существует
4. Неизвестно, существует или нет.

Данная теорема исключает варианты 3 и 4. Вариант 2 в конструктивном анализе эквивалентен варианту 3. Остается только вариант 1.

Более того, в коструктивном же анализе доказывается, что если функция локально не тождественна нулю в окрестности какой-либо точки, то корень существует. Если же функция локально тождественна нулю, то и сам вопрос отпадает: корень как раз в тех точках, в которых она равна нулю.

Подозреваю, что корень проблемы растет из того, что даже вычислимую функцию не всегда возможно сравнить с нулем. Но это уже другая проблема.

Цитата:

Если у нас есть закон исключённого третьего, то я не вижу никакого смысла "исключать" какие-либо аксиомы. Высказывание ведь как таковое не исчезнет, и вопрос: "Истинно ли оно?", - не потеряет смысл. А закон исключённого третьего нам определённо диктует: либо это утверждение (аксиома бесконечности) истинно, и тогда его нужно принять за аксиому, либо оно ложно, и тогда нужно принять за аксиому его отрицание.

Я всегда понимал закон исключенного третьего так: если доказано, что высказывание не ложно, то оно истинно и наоборот. При этом, разумеется, есть логические выражения, истинность которых невозможно определить. Они в моем понимании, и высказываниями не являются (как невычислимые функции не являются функциями). Высказывание (предикат) - это некий логический закон, однозначно ставящий в соответствие аргументу результат.

Добавлено спустя 25 минут 31 секунду:

Кстати, еще раз к вопросу о корне функции. По условию теоремы функция определена на всем отрезке. Но если она несравнима с нулем в какой-то точке, то определить ее непрерывность в этой точке невозможно (так как у непрерывной функции пределы слева и справа равны самому значению функции в точке). Так как все конструктивные функции непрерывны на своей области определения, делаем вывод, что если функция не сравнима с нулем в какой-то точке отрезка, мы не можем гарантировать, что она определена на всем отрезке, что противоречит условию теоремы. Значит, условие теоремы исключает из ее действия все несравнимые с нулем функции.

[ewert]

Nxx в сообщении #194201 писал(а):

Так как все конструктивные функции непрерывны на своей области определения,

фтопку такия функция, ибо практика показывает, что существуют функции и разрывныя, которые -- кровь из носу -- а как-то обрабатывать надобно.

И обрабатывать необходимо именно их разрывность как медицинский факт.

[epros]

Nxx писал(а):

В любой науке выражение "несуществование немыслимо" может означать только одно: это существует.

Это весьма вольная интерпретация. Немыслимо - значит немыслимо, не укладывается в наши представления - и не более того. Что оно существует - это более сильное утверждение.

Вот пример: Записываем $x=0.3333\dots$ и обрываем запись на тройке, номер которой совпадает с максимальным совершенным числом. Если такового нет, то не обрываем (получаем бесконечный ряд троек). В любом случае (есть максимальное совершеное число или нет) число $x$ будет рациональным, т.е. у оно представляется дробью $x=\frac{m}{n}$ (таково классическое рассуждение). Таким образом можно сказать, что числитель $m$ в любом случае "существует". Так?

Ну так раз "существует", предъявите его плизз. За свои слова, как говорится. нужно отвечать.

А вот конструктивист не скажет, что число $m$ "существует", он скажет, что оно "не может не существовать". Это значит, что он его предъявить не может. Даже не может утверждать, что это число "потенциально вычислимо". Но он может утверждать, что вывод о несуществовании числа $m$ ни в каком случае невозможен.

Nxx писал(а):

А почему бы не сказать прямо "существует, но в глаза не видел"?

Зачем утверждать то, чего не знаешь (в глаза не видел)?

Nxx писал(а):

Какие собственно говоря, есть варианты?

1. Существует и возможно построить
2. Существует, но невозможно построить
3. Не существует
4. Неизвестно, существует или нет.

Есть вариант, описанный выше: Теоретический вывод о несуществовании исключается, но более про "существование" ничего утверждать нельзя.

Nxx писал(а):

Я всегда понимал закон исключенного третьего так: если доказано, что высказывание не ложно, то оно истинно и наоборот. При этом, разумеется, есть логические выражения, истинность которых невозможно определить.

Тем не менее, для таких высказываний тоже утверждается, что они либо истинны, либо ложны.

Nxx писал(а):

Они в моем понимании, и высказываниями не являются (как невычислимые функции не являются функциями). Высказывание (предикат) - это некий логический закон, однозначно ставящий в соответствие аргументу результат.

Как это высказываниями не являются? Почему "существует максимальное совершенное число" - не высказывание? А вдруг кто-нибудь его докажет или опровергнет? Эдак Вы всё, Вам пока что достоверно неизвестное, запишете в "не высказывания".

ewert писал(а):

фтопку такия функция, ибо практика показывает, что существуют функции и разрывныя, которые -- кровь из носу -- а как-то обрабатывать надобно.

И обрабатывать необходимо именно их разрывность как медицинский факт.

Это где-то раньше уже обсуждали: Действительно "фтопку", ибо такие объекты ("разрывные функции") - на самом деле никакие не функции, по той простой причине, что функция - это отображение, а в данном случае есть примеры таких объектов, которые такая "функция" никуда не отображает. Вас же наверное не смущает, что дельта-функция - это на самом деле никакая не функция? Хотя такой математический объект существует. А с точки зрения конструктивного анализа и тета-функция - это на самом деле никакая не функция, хотя такой математический объект существует.

Кстати, всё это касается только функций на $\mathbb{R}$.

[ewert]

epros в сообщении #194274 писал(а):

ибо такие объекты ("разрывные функции") - на самом деле никакие не функции, по той простой причине, что функция - это отображение,

Никто не в силах запретить отображению быть разрывным, а поскольку такие отображения практически значимы -- то и не вправе.

epros в сообщении #194274 писал(а):

Вас же наверное не смущает, что дельта-функция - это на самом деле никакая не функция?

Нет, конечно. Число 2 -- тоже не функция, и тем не менее меня это число нисколько не смущает. Вообще, как ни странно, не все вещи в этом мире суть функции.

epros в сообщении #194274 писал(а):

Кстати, всё это касается только функций на $\mathbb{R}$.

Кстати, $\mathbb{R}$ в этой теме абсолютно не при чём.

[Nxx]

Цитата:

Это весьма вольная интерпретация. Немыслимо - значит немыслимо, не укладывается в наши представления

Там, кстати, говорится не "немыслимо", а "невозможно". Так что, наши мыслительные способности и представления тут не при чем.

Цитата:

Вот пример: Записываем $x=0.3333\dots$ и обрываем запись на тройке, номер которой совпадает с максимальным совершенным числом. Если такового нет, то не обрываем (получаем бесконечный ряд троек). В любом случае (есть максимальное совершеное число или нет) число $x$ будет рациональным, т.е. у оно представляется дробью $x=\frac{m}{n}$ (таково классическое рассуждение). Таким образом можно сказать, что числитель $m$ в любом случае "существует". Так?

Ну так раз "существует", предъявите его плизз. За свои слова, как говорится. нужно отвечать. Smile

А вот конструктивист не скажет, что число $m$ "существует", он скажет, что оно "не может не существовать".

Если максимальное совершенное число можно найти конструктивно (=вывести из аксиом арифметики), то знаменатель существует, если нельзя, то не существует, по-моему, тут все понятно. То есть, он вполне может не существовать. Также как и сумма ряда 1-1+1-1... или предел какого-нибудь выражения.

Цитата:

Есть вариант, описанный выше: Теоретический вывод о несуществовании исключается, но более про "существование" ничего утверждать нельзя.

То есть "доказать несуществование нельзя"? Не согласен. Считаю, что теорема утверждает другое.

Цитата:

Тем не менее, для таких высказываний тоже утверждается, что они либо истинны, либо ложны.

Вот с этим я не согласен. Утверждение, что любое выражение или истинно или ложно эквивалентно утверждению, что у любого ряда есть сумма, а у любой последовательности предел. Как бывают расходящиеся ряды, бывают и "расходящиеся" высказывания, как например, в парадоксе брадобрея (кстати, этот парадокс, как и парадокс Рассела можно записать в виде бесконечного расходящегося ряда).

Но если доказано, что ряд не расходится, то он сходится. Если доказано, что предела не может не быть, то он есть. Или по-вашему, бывает иначе?

Цитата:

Как это высказываниями не являются? Почему "существует максимальное совершенное число" - не высказывание? А вдруг кто-нибудь его докажет или опровергнет? Эдак Вы всё, Вам пока что достоверно неизвестное, запишете в "не высказывания".

Есть логические выражения, которые неизвестно, являются высказываниями или нет. Также как есть выражения, про которые неизвестно, являются они функциями или нет (то есть, вычислимы ли они). Также как есть выражения, про которые неизвестно, являются ли они числами (например, сумма ряда, предел и т..д., пока не доказано, что он сходится).

[MaximKat]

epros в сообщении #194274 писал(а):

Зачем утверждать то, чего не знаешь (в глаза не видел)?

а вы папу римского в глаза видели?

[Xaositect]

Nxx в сообщении #194286 писал(а):

То есть "доказать несуществование нельзя"? Не согласен. Считаю, что теорема утверждает другое.

Можно доказать существование - существует
Можно доказать несуществование - не существует
Можно доказать, что несуществование ведет к противоречию - не может не существовать.

Если доказать существование нельзя - то иногда можно доказать более слабое утверждение о невозможности несуществования. Иногда доказать нельзя даже его.

[Nxx]

Цитата:

Можно доказать, что несуществование ведет к противоречию - не может не существовать.

И чем же это высказывание более слабое, чем "существует"? Приведите пример, когда высказывание "не может не существовать" верное, а "существует" - ложное.