Это всё понятно, но откуда следует, что наш континуум линейно независимых функций войдёт в базис
Любое линейно независимое семейство векторов можно дополнить до базиса.
Разумеется, этот наш континуум войдет не в
любой базис. Но это и не нужно.
Извиняюсь за непонятливость, а что такое алгебраическая размерность? Как она определяется...
Как в курсе линейной алгебры. Базисом ["Гамеля"] называется такое множество векторов, что любое конечное его подмножество линейно независимо, и любой вектор пространства выражается (конечной!!!) линейной комбинацией векторов этого множество. Мощность базиса называется алгебраической размерностью. Остальное я уже расписал выше:
Пространства одинаковой размерности изоморфны. Это вроде бы даже очевидно. Ну то есть во всех пространствах есть базис, все базисы любого пространства равномощны (то есть имеется понятие размерности), и пространства одинаковой размерности изоморфны, а неодинаковой - нет. То есть полная классификация. И всё это жутко неконструктивно. Думаю, это много где есть. В Куроше вроде было ("Лекции по общей алгебре").
Добавлено спустя 3 минуты 28 секунд:Всё же мне кажется неверным такое предположение: мощность базиса Гамеля линейного пространства равна мощности самого пространства.
Ну вы прям троллите, я бы сказал. Предположение, конечно, неверно. Но в нашем частном случае верно, доказательство - смотри выше.
А ваше рассуждение с
![$\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/3/433badc501d4f8a183b14684b47f305e82.png)
и
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
, кстати, не лишено смысла: только надо рассматривать их не как пространства над
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
, а как пространства над полем
![$\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/4/0f452ec0bcf578fa387e4857f80f03f482.png)
рациональных чисел. Тогда они тоже будут бесконечномерными, и там тоже будут континуальные базисы Гамеля, и потому они будут изоморфны. В частности, отсюда следует, что изоморфны аддитивные группы
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
и
![$\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/3/81324f07e9ffb7920321df72cc0bee1b82.png)
, и это общеизвестно всё.
Добавлено спустя 1 минуту 13 секунд:т.е. вот это не совсем понятно откуда:
Ах, да, Вы уже заметили, что я это написал, да? Ну это доказывается одновременно с рассуждением, что в любом пространстве есть базис, тем же методом.