Двойной интеграл

[Asmozzz]

Добрый вечер.
Нам преподаватель задал интегральное выражение на дом, вот только вообще не дал эту тему, работали только с интегр.первого порядка. Я тут почитал чуток литературу, только не со всем понял, как в данном случае корректно раскрыть внутренний интеграл.

$\int_2^5\int_0^y$x^2ydxdy$$

так можно? Из внутреннего подынтегрального выражения вынести "y", а дальше по стандарту - раскрыть внутрений, а за ним внешний?


$\int_2^5$ydy\int_0^y$x^2dx$$$

Если мой ход решения не корректен, можно ли увидеть первые шаги решения.
Спасибо.

P.S. Так занимательно формулы набирать

[ewert]

Asmozzz писал(а):

так можно? Из внутреннего подынтегрального выражения вынести y?

$\int_2^5$ydy\int_0^y$x^2dx$$$

Так нужно.

Asmozzz писал(а):

$\int_2^5\int_0^y$x^2ydxdy$$

А вот так записывать кратные интегралы неприлично (неужто ж Ваш преподаватель буквально так и выдал?) -- надо $\int_2^5dy\int_0^yx^2ydx$

Asmozzz писал(а):

P.S. Так занимательно формулы набирать

Ага, а ещё занимательнее Ваша страстная любовь к баксам. Они должны сдоять только по краям формулы.

[AD]

ewert в сообщении #180043 писал(а):

А вот так записывать кратные интегралы неприлично (неужто ж Ваш преподаватель буквально так и выдал?) -- надо $\int_2^5dy\int_0^yx^2ydx$

А мне, наоборот, вторая запись кажется отвратительной. Совершенно не могу с ней работать.

[Asmozzz]

Спасибо за быстрый ответ.


Полетел решать

[ewert]

отвратительна или нет, но она формально корректна. А вот первая -- нет: интеграл может быть кратным, может -- повторным, но не одновременно.

[--mS--]

ewert писал(а):

отвратительна или нет, но она формально корректна. А вот первая -- нет: интеграл может быть кратным, может -- повторным, но не одновременно.

Там всё положительно под интегралом, так что этому интегралу всё равно, кратный он или повторный. У Фихтенгольца, например, именно так записываются и кратные, и повторные интегралы там, где их не нужно специально различать.

[ewert]

дело не в положительности, а в смысле записи. Если человек уже насобачился их считать и осознаёт этот смысл инстинктивно, то ему более-менее всё равно, как записывать. А вот для студентов, как показывает опыт, это довольно часто некоторая проблема. Они запросто могут записать что-нибудь вроде $\int_0^1\int_0^xf(x,y)\,dx\,dy$. И сделать логичный вывод, что это $\int_0^1dy\int_0^xf(x,y)\,dx$. И спокойно, ни в чём не сомневаясь, продолжать считать дальше.

[Asmozzz]

опять озадачился:( возможно ли вычислить такой интеграл, простым методом(а то я уже заметил, что вы тут все решаете. ) или я все-таки в неверном порядке записал и dx и dy и их надо поменять местами? Если пример верен, Можно увидеть шаг замены внутреннего интеграла внешним, если уравнение корректно. $\int_2^5\int_0^xxy^2dxdy$ За ранее спасибо.

[ewert]

Asmozzz в сообщении #180178 писал(а):

опять озадачился возможно ли вычислить такой интеграл,

Прошу прощения. Это была лирика, к конкретно Вашему случаю она не относится. Не обращайте внимания и считайте свой интеграл честно так, как собирались.

[Asmozzz]

Не это уже новый\подобный.

[Александр Т.]

ewert писал(а):

Asmozzz писал(а):

$\int_2^5\int_0^y$x^2ydxdy$$

А вот так записывать кратные интегралы неприлично (неужто ж Ваш преподаватель буквально так и выдал?) -- надо $\int_2^5dy\int_0^yx^2ydx$

Тогда уж (если быть последовательным) наверное так

$$\int_2^5dy\int_0^ydx\,x^2y$$

?
Я когда-то пользовался именно таким обозначением, но потом решил, что логичнее обращаться с обозначением интеграла $\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$ как со скобками ($\int_a^b$ --- левая скобка, $\mathrm{d}x$ --- правая). Если принять такое соглашение, то запись

$$\int\limits_2^5\int\limits_0^yx^2y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

--- правильная. И ее можно преобразовать как

$$ \int\limits_2^5\int\limits_0^y x^2 y \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int\limits_2^5 y \left( \int\limits_0^y x^2 \,\mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y . $$

[ewert]

Александр Т. писал(а):

логичнее обращаться с обозначением интеграла $\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$ как со скобками ($\int_a^b$ --- левая скобка, $\mathrm{d}x$ --- правая).

Дело вкуса, но с моей точки зрения -- как раз нелогично. При разных интегральных преобразованиях дифференциал сплошь и рядом интерпретируется как обычный сомножитель. И привязывать его положение к жёстко определённой позиции -- крайне невыгодно.

(Ваша последняя запись, разумеется, никаких возражений ни с какой точки зрения вызвать не может.)

[Asmozzz]

Вы наверное не обратили внимания на этот интеграл $\int_2^5\int_0^xxy^2dxdy$ Он отличается от первого. Я не могу понять как провести первые преобразования для приведения к стандартному значению. Если сразу попытатся решить внутренний интеграл, получается лабуда какая-та.

[Brukvalub]

Asmozzz в сообщении #180316 писал(а):

Вы наверное не обратили внимания на этот интеграл $\int_2^5\int_0^xxy^2dxdy$ Он отличается от первого.

$\int_2^5\int_0^xxy^2dxdy$=$\int_2^5dx\int_0^xxy^2dy$

[Asmozzz]

Т.е. можно менять внутрениий интеграл на внешний без каких-либо последствий и в функции ничего не меняется?