найдите число

[wrest]

gris в сообщении #1737706 писал(а):

я имею в виду упомянутую, но почему-то не считаемую решением одну девятнадцатую.

Там тоже загадочно, смотрите

1/19=0.(052631578 947368421)

052631578+947368421=999999999
052631+578947+368421=999999
052+631+578+947+368+421=999+999+999
05+26+31+57+89+47+36+84+21=99+99+99+99
0+5+2+6+3+1+5+7+8+9+4+7+3+6+8+4+2+1=9*9

[GogalNikolay]

gris в сообщении #1737706 писал(а):

я имею в виду упомянутую,

526315789473684210 х 2=1 052 631 578 947 368 420 не 18 а 19 чисел в этом случаи первую цифру мы будем прибавлять к последней это дополнительное условие к задачи ноль берите если такое число получится Пусть $N$ — натуральное число, записываемое ровно $2k$ цифрами (запись
рассматривается как строка из $2k$ цифр; она может начинаться с нуля,
например $052631578947368421$).

wrest в сообщении #1737702 писал(а):

Учтите замечание и давайте исправленное условие (полное, заново).

Задача (исправленная формулировка).

Пусть $p$ — простое число, а $a$ — натуральное число, $a < p$, взаимно простое с $p$.
Обыкновенная дробь $a/p$ представляется бесконечной периодической десятичной дробью,
у которой период состоит из чётного числа цифр $2k$ (запись периода берётся с ведущими
нулями, если они есть).

Известно, что при умножении этого периода (как целого числа из $2k$ цифр) на любое
целое $x$, где $2 \le x \le 9$, получается число из тех же $2k$ цифр, то есть
цифры не меняются, а лишь циклически сдвигаются.

Известна одна цифра такого произведения — та, что стоит на границе половин
(последняя цифра его первой половины, то есть цифра на позиции $k$).

Найдите множитель $x$ и исходное число — период дроби $a/p$.
Давайте без дробей, если вам так удобно.
Задача.

Пусть $N$ — натуральное число, записываемое ровно $2k$ цифрами (запись
рассматривается как строка из $2k$ цифр, при циклических сдвигах допускаются
ведущие нули).

Известно, что при умножении $N$ на некоторое целое число $x$, где $2 \le x \le 9$,
получается число, записываемое теми же $2k$ цифрами: цифры не меняются, а лишь
циклически сдвигаются (произведение является циклическим сдвигом цифр числа $N$).

Известна одна цифра этого произведения — та, что стоит на границе половин
(последняя цифра его первой половины, то есть цифра на позиции $k$).

Найдите множитель $x$ и число $N$.

Примечание. Оказывается, все такие числа $N$ — это в точности периоды десятичной
записи дробей $a/p$ с простым знаменателем $p$, у которых период состоит из
чётного числа цифр. Но для решения задачи знание дробей не требуется: всё
определяется указанным свойством умножения.

[wrest]

GogalNikolay
Ну, раз вы знаете решение, то пусть "Известна одна цифра этого произведения — та, что стоит на границе половин
(последняя цифра его первой половины, то есть цифра на позиции )." -- равна 2.
Соответственно,

GogalNikolay в сообщении #1737709 писал(а):

Найдите множитель $x$ и число $N$.

[GogalNikolay]

wrest в сообщении #1737702 писал(а):

Примеры бесконечных периодических дробей:

Теорема.

Пусть $N$ — натуральное число, записываемое ровно $2k$ цифрами, $k \ge 2$, и
для каждого целого $x$, $2 \le x \le 9$, произведение $xN$ записывается ровно
$2k$ цифрами и является циклическим сдвигом цифр $N$ (сдвиг — перестановка
цифр $N$ по кругу как строки из $2k$ цифр). Обозначим $d$ цифру произведения
$xN$ на позиции $k+1$ (первую цифру его второй половины). Тогда:

(1) Первая цифра произведения $xN$ равна самому множителю $x$ (для всех
$x = 2, \ldots, 9$).

(2) Цифра $d$ равна $9 - x$. В частности, по одной цифре $d$ множитель
восстанавливается однозначно: $x = 9 - d$.

(3) Запись числа $N$ имеет вид: одна или более единиц, за которыми следует
цифра $0$, и лишь после этого нуля могут встречаться цифры, большие $1$.

(4) Длина ряда единиц в начале $N$ ничем не ограничена сверху.

Доказательство.

Структура числа. Число $N$ является циклическим сдвигом периода дроби
с знаменателем $p$: если через $a$ обозначить остаток, соответствующий
первой цифре записи, то старшие цифры $N$ повторяют десятичную запись числа
$u = 10a/p$, а умножение на $x$ переводит остаток $a$ в $xa \bmod p$,
то есть циклически сдвигает цифры. (Полное описание класса — пункт г)
задачи; здесь мы опираемся на него.)

Оценка $u$. Из того, что $9N$ умещается в $2k$ цифрах, следует
$9N < 10^{2k}$, то есть $N < \dfrac{10}{9} \cdot 10^{2k-1}$. Поскольку $N$
начинается с цифр числа $u$ (с точностью до округления последнего разряда),
отсюда $u \le 10/9$. С другой стороны, $N$ не начинается с нуля, а $2N$ —
сдвиг $N$, поэтому $u \ge 1$. Итого $u \in [1;\ 10/9]$.

Докажем (1). Для каждого $x = 2, \ldots, 9$ имеем $xu \ge x \cdot 1 = x$ и
$xu \le x \cdot 10/9 \le 10$. Равенство сверху при $x \le 8$ невозможно,
а при $x = 9$ означало бы $u = 10/9$, что несовместимо с рациональностью
$u = 10a/p$ (десятичная запись $10/9$ не обрывается). Равенство снизу
$xu = x$ означало бы $a = p/10$ — нецелое при простом $p > 5$. Значит,
$x \le xu < x + 1$, то есть $\lfloor xu \rfloor = x$ — первая цифра
произведения равна $x$. Это (1).

Докажем (2). Так как $9N$ — циклический сдвиг цифр $N$, выполняется свойство
Миди: сумма первой и второй половин цифр произведения (как $k$-значных чисел)
равна $10^k - 1$, числу из $k$ девяток. Но сумма двух $k$-значных чисел равна
$10^k - 1$ в точности тогда, когда их цифры поразрядно дополняют друг друга
до $9$: переноса нет. Поэтому первая цифра второй половины равна
$9 - (\text{первая цифра произведения}) = 9 - x$. Это (2), и $x = 9 - d$
определяется по $d$ однозначно.

Докажем (3). Из $9N < 10^{2k}$ следует $N < \dfrac{10}{9} \cdot 10^{2k-1}$,
поэтому старшие цифры $N$ поразрядно не превосходят цифр числа
$1{,}1111\ldots$: идущие подряд единицы могут смениться только нулём, а не
любой другой цифрой. После первого нуля ограничение перестаёт действовать,
и дальнейшие цифры произвольны. Случай «одни единицы» исключён: тогда
$9N = 99\ldots9$, а сплошные девятки не являются циклическим сдвигом числа
из одних единиц (первая цифра произведения была бы $9$, что по (1) дало бы
$x = 9$ лишь при нулях во второй половине — противоречие). Это (3).

Докажем (4). В экстремальных примерах, где число прижато к потолку:
$u = \dfrac{10a}{p} = \dfrac{10}{9}\left(1 - \dfrac{1}{p}\right)$ при
$a = (p-1)/9$, отклонение записи от $1{,}1111\ldots$ имеет порядок $1/p$.
Поэтому при сколь угодно большом простом $p$ с полным периодом первые цифры
$N$ дают сколь угодно длинный ряд единиц, за которым следует ноль, — и лишь
потом возможно отличие от единиц. Конструктивно: $p = 19$ даёт начало
$10\ldots$, $p = 109$ — $110\ldots$, $p = 1063$ — $1110\ldots$,
$p = 10459$ — $11110\ldots$; знаменатели растут примерно в $10$ раз на каждую
новую единицу — прямое следствие прижатия $u$ к потолку $10/9$. Это (4).

$\blacksquare$

Замечание. Пункт (2) — рабочая часть фокуса: зритель называет одну цифру,
стоящую на границе половин, и по ней однозначно восстанавливается множитель,
$х = 9 - d$, — причём это верно для всего класса, независимо от того,
какое $p$ стоит за числом.

-- добавлено через 18 минут --

wrest в сообщении #1737723 писал(а):

у, раз вы знаете решение, то пусть "Известна одна цифра этого произведения — та, что стоит на границе половин
(последняя цифра его первой половины, то есть цифра на позиции )." -- равна 2.
Соответственно,

При $d = 2$ (последняя цифра первой половины произведения) остаются только
нечётные множители, кроме пяти:

• $x = 3$: последняя цифра $N$ равна 9, минимальный пример
  $N = 1304347826086956521739$ (период дроби $3/23$), $X(N) = 7$;
• $x = 7$: последняя цифра $N$ равна 1, минимальный пример
  $N = 1340206\ldots22680412371$ (период дроби $13/97$), $X(N) = 7$;
• $x = 9$: последняя цифра $N$ равна 3, минимальный пример
  $N = 1034482758620689655172413793$ (поворот $9/29$), $X(N) = 9$.

«а теперь скажите, что будет, если цифра стоит не на границе, а сразу за ней — и сравните»
Заметим: для определения множителя достаточно одной цифры на позиции
k+1. Цифра на позиции k ничего не добавляет к
определению x — она лишь позволяет дополнительно проверить,
что названное произведение согласуется с найденным числом N
(её значение обязано равняться 9 минус последняя цифра
произведения).

[wrest]

GogalNikolay в сообщении #1737735 писал(а):

При $d = 2$ (последняя цифра первой половины произведения) остаются только
нечётные множители, кроме пяти:

Я не понял ответ.
На вопрос

GogalNikolay в сообщении #1737709 писал(а):

Найдите множитель $x$ и число $N$.

ведь должен быть конкретный ответ, типа $x$ равно тому-то (конкретное число), $N$ равно тому-то (конкретное число)?

Или вы предполагали что в ответе будет ветвление, что если $N$ заканчивается на то-то, тогда $x$ равен тому-то.
А ведь в условиях не сказано, на что оканчивается $N$
Вот если бы вы написали, в условиях, что "известно, что последняя цифра N равна m", то можно было бы этим как-то пользоваться. Но вы не написали.

Видимо, надо вам переделать условия ещё раз.

Чтобы вам ещё раз потом не переписывать, проверьте, что условий достаточно для решения.
Ибо, как мне видится, там ещё будет кое-что.

[GogalNikolay]

wrest в сообщении #1737745 писал(а):

Вот если бы вы написали, в условиях, что "известно, что последняя цифра N равна m", то можно было бы этим как-то пользоваться. Но вы не написали.

Извините, именно цифра последняя на первой половине и показывает, какая последняя цифра числа. в вашем случаи это 7
Задача о циклических числах: одна цифра — и весь множитель

Предварительное замечание. Условие и формулировки уточнялись по ходу
обсуждения — спасибо товарищу за вопрос про цифру 2 на позиции k:
он сразу вывел на веер из трёх множителей и заставил чётко развести случаи
k и k+1. Ниже — итоговая версия.

Условие

Пусть N — натуральное число, записываемое ровно 2k
цифрами, k \ge 2.

Для числа N определим X(N) — наибольшее целое
число, при котором для любого целого x, 2 \le x \le X,
произведение xN записывается ровно 2k цифрами и
является циклическим сдвигом цифр N (сдвиг — перестановка цифр
N по кругу как строки из 2k цифр; начинаться
произведение с нуля не может, поскольку 2N \ge 2 \cdot 10^{2k-1}).

Известно, что X(N) \ge 5.

Известна одна цифра произведения xN — первая цифра его второй
половины (цифра на позиции k+1); обозначим её d.

1. Найдите все пары (x, N), совместимые с данным
   d.
2. Для каждого найденного N найдите и докажите формулу для
   X(N).
3. Верно ли, что при данном N цифра d определяет
   x однозначно? А если знаменатель составной — найдите исключения.
4. Опишите все числа N с X(N) \ge 5.

Примечание 1 (свойство Миди). Для всех таких N сумма
первой и второй половин цифр равна числу из k девяток,
10^k - 1. Отсюда: если первая цифра произведения равна
f, то d = 9 - f.

Примечание 2. Пример: N = 105263157894736842, здесь
X = 9: для каждого x = 2, \ldots, 9 произведение —
циклический сдвиг цифр N, первая цифра произведения равна
x, а цифра на позиции k+1 равна 9 - x.
Такие числа — циклические сдвиги периода дроби 1/p с простым
p.

Теорема.

Пусть N — натуральное число, записываемое ровно 2k
цифрами, k \ge 2, и для каждого целого x,
2 \le x \le 9, произведение xN записывается ровно
2k цифрами и является циклическим сдвигом цифр N.
Пусть, кроме того, знаменатель p прост (эквивалентно:
p \mid 10^k + 1; для простого p с периодом
2k это выполнено автоматически). Обозначим d цифру
произведения xN на позиции k+1. Тогда:

(1) Первая цифра произведения xN равна самому множителю
x (для всех x = 2, \ldots, 9).

(2) Цифра d равна 9 - x. В частности, по одной
цифре d множитель восстанавливается однозначно:
x = 9 - d.

(3) Запись числа N имеет вид: одна или более единиц, за которыми
следует цифра 0, и лишь после этого нуля могут встречаться цифры, большие 1.

(4) Длина ряда единиц в начале N ничем не ограничена сверху.

Доказательство.

Структура числа. Число N — циклический сдвиг периода дроби со
знаменателем p: если через a обозначить остаток,
соответствующий первой цифре записи, то старшие цифры N
повторяют десятичную запись числа u = 10a/p, а умножение на
x переводит остаток a в xa \bmod p.

Оценка u. Из того, что 9N < 10^{2k}, следует
N < \dfrac{10}{9} \cdot 10^{2k-1}. Поскольку N
начинается с цифр числа u, отсюда u \le 10/9. С
другой стороны, N не начинается с нуля, а 2N —
сдвиг N, поэтому u \ge 1. Итого
u \in [1;\ 10/9].

Докажем (1). Для каждого x = 2, \ldots, 9 имеем
xu \ge x и xu \le x \cdot 10/9 \le 10. Равенство
сверху при x \le 8 невозможно, а при x = 9 означало
бы u = 10/9, что несовместимо с рациональностью
u = 10a/p. Равенство снизу xu = x означало бы
a = p/10 — нецелое при простом p > 5. Значит,
x \le xu < x + 1, то есть \lfloor xu \rfloor = x.
Это (1).

Докажем (2). Так как 9N — циклический сдвиг цифр N,
выполняется свойство Миди: сумма первой и второй половин цифр произведения
равна 10^k - 1. Сумма двух k-значных чисел равна
10^k - 1 тогда и только тогда, когда их цифры поразрядно
дополняют друг друга до 9. Поэтому первая цифра второй половины равна
9 - x. Это (2).

При простом знаменателе с периодом 2k свойство Миди
гарантировано условием p \mid 10^k + 1. Для составных
p бывают исключения — см. пункт в) и замечание ниже.

Докажем (3). Из 9N < 10^{2k} следует
N < \dfrac{10}{9} \cdot 10^{2k-1}, поэтому старшие цифры
N поразрядно не превосходят цифр числа 1{,}1111\ldots:
идущие подряд единицы могут смениться только нулём. После первого нуля
ограничение перестаёт действовать. Случай «одни единицы» исключён: тогда
9N = 99\ldots9, а сплошные девятки не являются циклическим
сдвигом числа из одних единиц. Это (3).

Докажем (4). В экстремальных примерах
u = \dfrac{10a}{p} = \dfrac{10}{9}\left(1 - \dfrac{1}{p}\right)
при a = (p-1)/9, и отклонение записи от 1{,}1111\ldots
имеет порядок 1/p. Поэтому при сколь угодно большом простом
p с полным периодом первые цифры N дают сколь
угодно длинный ряд единиц, за которым следует ноль. Конструктивно:
p = 19 даёт начало 10\ldots,
p = 109 — 110\ldots,
p = 1063 — 1110\ldots,
p = 10459 — 11110\ldots; знаменатели растут примерно
в 10 раз на каждую новую единицу. Это (4). \blacksquare

Замечание к пункту в). При простом p цифра
d на позиции k+1 определяет x
однозначно. Для составных знаменателей бывают исключения: при
p = 551 = 19 \cdot 29 (k = 126) свойство Миди
нарушается (p \nmid 10^k + 1), и у соответствующего числа
множители x = 6 и x = 9 дают одну и ту же цифру на
границе. При этом пункт (1) («первая цифра произведения равна x»)
выполнен у всех чисел класса с X = 9, включая исключения.

Ответ на вопрос товарища: что если известная цифра равна 2, но стоит на
позиции k (последняя цифра первой половины)?

Здесь ответ другой, и это поучительно. По Миди цифра на позиции k
дополняет до 9 последнюю цифру произведения: цифры на позициях i
и k+i дополняют друг друга до 9, поэтому позиция k
парна с последней цифрой, а позиция k+1 — с первой. Значит,
xN оканчивается на L = 9 - 2 = 7, то есть
x \cdot (\text{последняя цифра } N) \equiv 7 \pmod{10}.

Чётные множители и x = 5 отпадают сразу (чётное произведение не
оканчивается на 7, умножение на 5 даёт 0 или 5). Остаётся ровно три варианта:

x   последняя цифра N   минимальный пример                         X(N)
3   9                   N = 1304347826086956521739 (период 3/23)    7
7   1                   N = 1340206...22680412371 (поворот 13/97)   7
9   3                   N = 1034482758620689655172413793            9
                        (поворот 9/29)

Проверка на x = 9:
9N = 9310344827586206896551724137; граница половин после
93103448275862, последняя цифра первой половины равна 2 —
сходится.

В переборе до p < 1000 таких пар всего 430:
x = 3 — 282, x = 7 — 114, x = 9 — 34.

Замечание о позиции k. Позиция k —
последняя цифра первой половины произведения — тоже даёт фокус, но по другой
механике. По Миди она дополняет до 9 последнюю цифру произведения:
L = 9 - d_k. С другой стороны, L = x \cdot j \bmod 10,
где j — последняя цифра N. Отсюда фильтр по
чётности: если d_k такова, что L нечётна (как при
d_k = 2: L = 7), то x нечётен и не
равен 5; если L чётна, x чётен или равен 5.

Главное: пока N оканчивается на 1, 3, 7 или 9, умножение на
j взаимно просто с 10, и по одной цифре d_k
множитель восстанавливается однозначно:
x = (9 - d_k) \cdot j^{-1} \bmod 10, где j^{-1} —
обратимое по модулю 10. Красивый частный случай: если N
оканчивается на 1, то j^{-1} = 1 и формула совпадает с той же
x = 9 - d_k, что и для позиции k+1.

Однозначность на позиции k локальна: она держится для
фиксированного N с хорошей последней цифрой, но формула зависит
от N — в отличие от позиции k+1, где
x = 9 - d работает для всего класса сразу, без знания числа.
Пример коллизии: у витринного числа N = 105263157894736842
последняя цифра 2, поэтому цифра на позиции k не определяет
x однозначно: d_k = 1 отвечает и x = 4,
и x = 9; d_k = 3 — x = 3 и
x = 8; d_k = 5 — x = 2 и
x = 7.

Итог: обе позиции дают фокус. Позиция k+1 — универсальная
формула x = 9 - d для всего класса; позиция k —
формула с обратным элементом j^{-1}, требующая знать
последнюю цифру N.

О новизне. Мы не претендуем на приоритет: свойства циклических чисел,
включая то, что произведения начинаются с множителя, и дополняемость цифр
до 9 (теорема Миди, 1836), известны давно. Неизвестно нам и то, где именно
сформулирован ответ на вопрос задачи — возможно, это фольклор.
Тем не менее нам не встречались в литературе: (а) исключения из свойства
Миди
Если бы сразу стояло к+1 мы бы спокойно послали теорему х=9-d» и жили дальше. А так в посте теперь есть то, чего обычно нет у фокусов с числами: граница применимости

[wrest]

GogalNikolay
Ну в целом вроде норм.
Но посмотрите как трансформировались условия. Из вроде бы простых вырос какой-то монстр. Плюс пришлось сделать существенную поправку, что известная не k-я цифра а k+1, плюс пришлось переформулировать из периодических дробей в натуральные числа.

В итоге, в чём же олимпиадность? Предполагается знание или изобретение теоремы Миди? И плюс доказательство соответствия "циклических чисел" десятичной записи некоторых специальных рациональных?

Так в чём же олимпиадность, а?

[wrest]

gris в сообщении #1737701 писал(а):

Что такое период дроби: повторяющаяся последовательность цифр наименьшей длины в десятичной записи числа или обязательно самая ранняя?

Это, кстати, требует явного определения/указания. Тут можно говорить о главном периоде (т.е. минимальной длины). Потому что кратные главному - тоже периоды. Ну и конечно, коль скоро мы говорим о конкретной позиции внутри, надо явно обозначить что является началом.

-- добавлено через 22 минуты --

GogalNikolay
Вот вам тема для исследования.
Период десятичной записи дробей $1/353;1/449, 1/641, 1/1409, 1/69857$ равен 32.
Побейте рекорд - найдите такой период десятичной записи дробей чётной длины, что ему соответствует больше 5 различных дробей вида $1/p$ ($p$ - простое число).
Мне удалось найти такой период, что подходят 6 дробей. Но больше - не получилось.
P.S. Собсно почему не получилось: ну как обычно это бывает с поиском чего-то в теории чисел, возникли проблемы с факторизацией больших чисел. Вроде бы существовать должно, но найти не получается.

[GogalNikolay]

wrest в сообщении #1737777 писал(а):

В итоге, в чём же олимпиадность? Предполагается знание или изобретение теоремы Миди? И плюс доказательство соответствия "циклических чисел" десятичной записи некоторых специальных рациональных?

Так в чём же олимпиадность, а?

Ну, скажем так, о теореме Миди я узнал только вчера, готовя вам ответ, до этого самостоятельно это обнаружил и готовил теорему, что каждой цифре соответствует строго своя пара, так цифра на месте к — это последняя цифра, а к + 1. Первая задача просто тривиальная, когда решение известно, больше не представляет труда, знание теоремы не нужно, вы ведь сами почти дошли, надо было просто проявить закономерность и внимательность, вы писали 999999, и обратить внимание, почему по этим цифрам к и к + 1 можно найти число, это ведь большая подсказка, вы должны были поставить вопрос, как по какой цифре вы бы могли сами найти число, вы все привыкли искать такие числа через формулы, как тут писали, но ведь по последней цифре без формул легко это находить, если вам скажут: переставьте одну цифру с конца в начало, число увеличится в х раз, ну и предложенная мной задача проста для её решения, если уже оно известно, когда решение впервые, то... Так что вы не правы о знании Миди, нужно было спросить, как по одной, и самим догадаться, проверив то, что вы бы выявили на паре-тройке чисел, вы ведь к правильному ответу были практически рядом, немного внимания не хватило, ну и тут новое, то, чего нет у Миди, например, наше число, умноженное, скажем, на 99, дает 2 цифры больше первоначальному, и то, что их убирая спереди, прибавляя к числу, вновь возвращает число к правилу Миди, что касается олимпиадности, не знаю, может то, что решение, когда очень простое, только мало кто может решить, ну, помните, как увеличения куба в 13 раз, сложного ничего нет, а решить... Ну и спасибо вам за активный диалог и вопрос про 2, я давно это решал и вроде как вылазил из этого, но давно этим не занимался, а вспоминать и снова решать уже интереса нет, там цифры к + 1 и к + 2 определяются в первоначальном числе однозначно, и по ним можно было приходить к однозначному ответу по цифре к, ну бог с ним, проехали, ещё раз спасибо за диалог.

[wrest]

GogalNikolay в сообщении #1737793 писал(а):

вы ведь сами почти дошли, надо было просто проявить закономерность и внимательность, вы писали 999999, и обратить внимание, почему по этим цифрам к и к + 1 можно найти число, это ведь большая подсказка, вы должны были поставить вопрос, как по какой цифре вы бы могли сами найти число, вы все привыкли искать такие числа через формулы, как тут писали, но ведь по последней цифре без формул легко это находить, если вам скажут: переставьте одну цифру с конца в начало, число увеличится в х раз, ну и предложенная мной задача проста для её решения, если уже оно известно, когда решение впервые, то... Так что вы не правы о знании Миди, нужно было спросить, как по одной, и самим догадаться, проверив то, что вы бы выявили на паре-тройке чисел, вы ведь к правильному ответу были практически рядом,

Вы не поняли что и зачем я писал. "Механика" задачи понятна уже давно, в том числе на теорему Миди я наткнулся ещё в прошлые разы. Но судя по формулировке задачи, понимания не было у вас.

Олимпиадный раздел подразумевает, что условие сформулировано чётко, задача решаемая именно в "олимпиадном" режиме. Но всё это оказалось не так.
Вам не надо было писать сюда ваши решения/размышления. Надо было отточить формулировку задачи, понять какие ответы вы ожидаете/можете получить и т.п.

-- добавлено через 7 минут --

GogalNikolay в сообщении #1737793 писал(а):

я давно это решал и вроде как вылазил из этого, но давно этим не занимался, а вспоминать и снова решать уже интереса нет

Ну если соберётесь ещё что-то в олимпиадный раздел публиковать, подойдите ответственней. Если хотите что-то просто обсудить, выбирайте другой раздел.

[GogalNikolay]

wrest в сообщении #1737794 писал(а):

подойдите ответственней. Если хотите что-то просто обсудить, выбирайте другой раздел.

Да я обычно в свободный полёт. Да, спасибо, учту. Сюда больше обещаю ни ногой.

[gris]

wrest, тогда я отвечу на вашу загадку:
Обратные к простым $[1621, 8101, 19441, 27541, 68041, 119881]$ имеют длину периода 1620.
Обратные к простым $[15901, 63601, 95401, 111301, 349801, 5724001, 5739901]$ имеют длину периода 15900.
Вообще много интересного открыл для себя в теме. GogalNikolay !пишите ещё!

[GogalNikolay]

gris в сообщении #1737814 писал(а):

имеют длину периода 1620.
Вообще много интересного открыл для себя в теме. GogalNikolay !пишите ещё!

Спасибо за понимание и доброе слово.

[wrest]

gris в сообщении #1737814 писал(а):

тогда я отвечу на вашу загадку:
Обратные к простым $[1621, 8101, 19441, 27541, 68041, 119881]$ имеют длину периода 1620.

Супер! Я нашёл другой пример, с периодом 74. Но видимо я что-то где-то проглядел и неправильно искал.

-- добавлено через 13 минут --

Немного углубимся в тему.
"Полнопериодные" простые $p$ по основанию 10, то есть такие что десятичная запись дроби $a/p, a \in \{2..p-1\}$ является циклическим сдвигом десятичной записи дроби $1/p$, перечислены тут: A001913

[Booker48]

gris в сообщении #1737814 писал(а):

Вообще много интересного открыл для себя в теме.

Когда-то задумался, почему бы не сделать арифметику периодических дробей (без перевода в вид $\frac{p}{q}$).
Но очень быстро обнаружил, что
$0,(01)\cdot 0,(01)$ имеет длину периода 198.
Хотя и удивительно регулярно выглядит:
$0,(000102030405060708091011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939495969799)$

-- добавлено через 3 минуты --

Гм, не отображается до конца.
В общем, в периоде последовательно записаны $00, 01, 02, 03, ..., 96, 97, 99$.
В записи отсутствует $98$.