найдите число

[GogalNikolay]

Период десятичной дроби 1/p состоит из чётного числа цифр 2k. Известно, что если этот период умножить на целое число x, где 2 ≤ x ≤ 9, то цифры не изменятся, а лишь сдвинутся по кругу. Известна одна цифра произведения — та, что стоит на границе половин (последняя цифра его первой половины). Найдите множитель и сходное число.

[wrest]

GogalNikolay в сообщении #1737682 писал(а):

Период десятичной дроби 1/p состоит из чётного числа цифр 2k. Известно, что если этот период умножить на целое число x, где 2 ≤ x ≤ 9, то цифры не изменятся, а лишь сдвинутся по кругу. Известна одна цифра произведения — та, что стоит на границе половин (последняя цифра его первой половины). Найдите множитель и сходное число.

Здесь неявно утверждается, что всего "исходных чисел" может быть 8.
Вы уверены? Рекомендую по-человечески сформулировать задачу.
Кроме того, надеюсь, что у вас есть решение, которое вы готовы предоставить модератору по его запросу? Если нет, то лучше такие "задачи" размещать в темах с загадками "догадайтесь что я имел в виду" или в ПРР если всё-таки сформулируете задачу.

[gris]

В одной седьмой период 142857. При умножении на 2,3,4,5,6 будем получать нужные шестизначные числа. Если будет задана третья цифра периода, то можно определить и множитель. Или цикличность нужна для всех восьми множителей? То есть период начинается с единиц, а потом нолик?

[wrest]

gris в сообщении #1737689 писал(а):

В одной седьмой период 142857.

Да, вот вам функция на pari/gp которая возвращает длину периода десятичной записи рационального числа $m/n$ (дробь нескоратимая должна быть, конечно).

rat_period(n)=my(q=n/(2^(valuation(n,2))*5^valuation(n,5)));return(znorder(Mod(10,q)))

Запуск:

? rat_period(19)
%1 = 18
? rat_period(7)
%2 = 6
?

-- добавлено через 10 минут --

gris в сообщении #1737689 писал(а):

В одной седьмой период 142857.

И у этого числа есть вот такие загадочные свойства:
$1+8=4+5=2+7=9$
$14+28+57=99$
$142+857=999$

[GogalNikolay]

wrest в сообщении #1737688 писал(а):

Здесь неявно утверждается, что всего "исходных чисел" может быть 8.

Ну вот видите, сами даже не 8, а 6 поставили, так что неясно, чётное число цифр. Множитель от 2 до 9 с условием, ведь ясно, что количество цифр остаётся неизменным.

gris в сообщении #1737689 писал(а):

То есть период начинается с единиц, а потом нолик?

wrest в сообщении #1737688 писал(а):

Кроме того, надеюсь, что у вас есть решение, которое вы готовы предоставить м

ну а Зачем я бы вам задавал, если бы не было решения, а эта задача подойдёт к олимпиадной.

gris в сообщении #1737689 писал(а):

нужна для всех восьми множителей?

Нет, тут множителей не больше 6, там написано, что если умножить число на х, то количество цифр остаётся прежним, но если число цифр увеличивается, например как в вашем числе 14142843, тут другие правила, и они обязательны для всех таких чисел. 14142843 + 2 первые лишние(14) = 142857, ваше число уменьшилось в 99 раз, но это из других загадок, тут обсуждать не будем.

[wrest]

GogalNikolay в сообщении #1737691 писал(а):

Зачем я бы вам задавал, если бы не было решения, а эта задача подойдёт к олимпиадной.

Прекрасно, тогда сформулируйте, пожалуйста, задачу ясно и чётко.

[GogalNikolay]

wrest в сообщении #1737693 писал(а):

Прекрасно, тогда сформулируйте, пожалуйста, задачу ясно и чётко.

Умножить можете от 2 до 9 при условии, что количество цифр не изменится, но там так и написано, что при умножении они сдвигаются по кругу 1/7, тут множитель не больше 6, и на любой из них можно х. Если количество изменится, то условие дополнительные, как в задаче постом ниже.

[wrest]

GogalNikolay
Я так понял, что ясной постановки задачи тут не будет.
Ок, тогда я пас.

[GogalNikolay]

wrest в сообщении #1737695 писал(а):

GogalNikolay
Я так понял, что ясной постановки задачи тут не будет.
Ок, тогда я пас.

Давайте так я вам объясню, например, у вас есть такое число 30 цифр, 15-я цифра вам будет известно, известно, что число умножая от 2 до... не больше 9 число не меняется, а просто цифры спереди в конец или наоборот, и так упрощаю, число не умножено, просто взята последовательность, цифра 15-я известна, найдите это число.

[wrest]

GogalNikolay в сообщении #1737696 писал(а):

Давайте так я вам объясню,

Не надо, просто сформулируйте задачу. Чтобы был один полный текст задачи, без отсылок туда и сюда.
Заново напишите.

[GogalNikolay]

[quote="wrest в сообщении #1737697"]Не надо, просто сформулируйте задачу. Чтобы был один полный текст задачи, без отсылок туда и сюда.
Заново напишите.
Тут, пожалуй, надо 1/р исправить, правильней будет а/р, и ваше любимое 2/19 тоже самое.

Рассмотрим десятичную дробь вида $a/p$, где $a < p$ и $p$ — простое число.
Известно, что её период состоит из чётного числа цифр — обозначим его $2k$.
Если этот период умножить на целое число $x$, где $2 \le x \le 9$, то цифры
не меняются, а лишь циклически сдвигаются. Дана одна цифра произведения —
последняя цифра его первой половины (то есть цифра на границе половин).
Найдите множитель $x$ и исходное число (период дроби $a/p$).

[gris]

Можно вопрос? Что такое период дроби: повторяющаяся последовательность цифр наименьшей длины в десятичной записи числа или обязательно самая ранняя? То есть у числа $0.12341234...=0.(1234)$ нельзя ли считать периодом $2341: ...=0.1(2341)$

[wrest]

GogalNikolay в сообщении #1737700 писал(а):

Рассмотрим десятичную дробь вида $a/p$, где $a < p$ и $p$ — простое число.

Десятичных дробей таких видов не бывает.
См. определение десятичной дроби например тут: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0 ... 0%B1%D1%8C
Примеры конечных десятичных дробей:
$0,1$
$25,32$
$123,456$
Примеры бесконечных периодических дробей:
$0,11111...=0,(1)$
$0,123123123...=0,(123)$
$0,123456456456...=0,123(456)$
Таким образом, условие некорректное. Сразу неясно что мы рассматриваем.

Учтите замечание и давайте исправленное условие (полное, заново).
Либо давайте своё определение "десятичная дробь это...", либо учтите общепринятое определение и следуйте ему.

[GogalNikolay]

gris в сообщении #1737701 писал(а):

Можно вопрос? Что такое период дроби: повторяющаяся последовательность цифр наименьшей длины в десятичной записи числа или обязательно самая ранняя? То есть у числа $0.12341234...=0.(1234)$ нельзя ли считать периодом $2341: ...=0.1(2341)$

Если вы имеете 1/7, период 0142857 0 не считаем. мы можем если хотите его в периоде нет 0,142857142857…, период — ровно 6 цифр:
142857
142857. Тут нуля в периоде нет, он стоит до периода как целая часть (ноль целых). Это нормально: мы работаем с самим периодом
142857

[gris]

я имею в виду упомянутую, но почему-то не считаемую решением одну девятнадцатую.
$1/19=0.(052631578 947368421)=0.05(263157894 736842105)$, если вам не нравится ведущий ноль.
$ 26315789473684210 5\times 2 =$
$5 26315789473684210$