Задача по тепломассообмену, цилиндрическая стенка

[GraNiNi]

EUgeneUS
Конечно, между поверхностями будет некий воздушный зазор некоторой толщины. И что, вся задача сводится к нахождению толщины этого зазора?

[rockclimber]

EUgeneUS в сообщении #1733976 писал(а):

GraNiNi в сообщении #1733974 писал(а):

в месте контакта они имеют одинаковую температуру.

Нет.

Может быть и нет, но в инженерных расчетах при проектировании промышленного оборудования - да.

EUgeneUS в сообщении #1733976 писал(а):

GraNiNi в сообщении #1733974 писал(а):

в месте контакта они имеют одинаковую температуру.

Если бы твердые соприкасающиеся поверхности всегда имели бы нулевую разницу темпрературы, то термопаста была бы не нужна

Физика - это таки наука о том, когда и чем можно пренебречь. У процессора тепловыделение с единицы поверхности - как у электрочайника, а каждый лишний градус перегрева - это риск угробить компьтер. Условия работы какой-нибудь доменной печи или промышленного теплообменника в этом смысле гораздо более щадящие.

[EUgeneUS]

rockclimber в сообщении #1733980 писал(а):

Физика - это таки наука о том, когда и чем можно пренебречь.

Совершенно верно.

rockclimber в сообщении #1733980 писал(а):

У процессора тепловыделение с единицы поверхности - как у электрочайника, а каждый лишний градус перегрева - это риск угробить компьтер. Условия работы какой-нибудь доменной печи или промышленного теплообменника в этом смысле гораздо более щадящие.

Это всё рукомахательно.
Там разница температур 380 К, означит температура внутри больше 680 К.
Условия задачи прозрачны, как слеза комсомолки, и что нужно найти - совершенно понятно.
А вот с числовыми данными - проблема, да.

-- добавлено через 1 минуту --

Kirik69
Меня гложут смутные сомнения, что вместо цилиндрической трубы Вы считаете "плоский сэндвич". Поэтому просил Вас записать выражения для разниц температур.

Однако, попытался довести задачу для конца, в честном расчете для трубы. И тоже получил отрицательную величину

[GraNiNi]

Kirik69 в сообщении #1733916 писал(а):

Известно, что при постоянной температуре окружающей среды и коэффциенте теплоотдачи ( 14 Вт/(м К) повышение температуры внутренней поверхности футеровки на 37 К приводит к повышению наружной поверхности трубы на 10 К

Это условие избыточно, а исходя из данных по теплопроводности трубы и футеровки - неверно.
При повышение температуры внутренней поверхности футеровки на 37 К, температура наружной поверхности трубы повысится не на 10, а на 3,3К.

Но так и не понятно, что нужно найти?

[EUgeneUS]

GraNiNi в сообщении #1733987 писал(а):

При повышение температуры внутренней поверхности футеровки на 37 К, температура наружной поверхности трубы повысится не на 10, а на 3,3К.

У меня получилось 3.5...3.6K.
Это при нулевом тепловом сопротивление на границе "футеровка-железобетон".
Поэтому тепловое сопротивление на границе "футеровка-железобетон" при этом условии (10К) оказывается отрицательным.

GraNiNi в сообщении #1733987 писал(а):

Но так и не понятно, что нужно найти?

Вы упорно игнорируете вопрос задачи.

Тут, конечно, интересно, откуда ТС взял эту задачу?
Из какого-нибудь задачника с инженерными задачами, или так сказать "из жизни".

[EUgeneUS]

EUgeneUS в сообщении #1733990 писал(а):

У меня получилось 3.5...3.6K.

Задача похожа на учебную задачу в какой-нибудь инженерной теплотехнической специальности.
Но у ТС в целом ход решения был верный, а на возможную ошибку указал ранее.
Поэтому приведу полное решение.

[Parkhomuk]

EUgeneUS в сообщении #1733976 писал(а):

Если бы твердые соприкасающиеся поверхности всегда имели бы нулевую разницу темпрературы, то термопаста была бы не нужна

В идеализированной модели, действительно - не нужна, но в жизни несколько иначе: поверхности твердых тел имеют шероховатость, которая препятствует плотному (полному) сопряжению (т.е., на самом деле только малая часть поверхностей соприкасаются, а в остальной части существует воздушный зазор), кроме того, при эксплуатации (тепловой поток) такие поверхности меняют свою кривизну, из-за чего контакт в различных точках может быть потерян. Вот для чего нужна термопаста (пластичная и вязкая), чтобы устранять эти паразитные воздушные полости (в случаях когда нужно низкое тепловое сопротивление).
В этой же задаче, тепловое сопротивление на границе трубы с футеровкой, без знания ее физических свойств, учесть невозможно (может можно пренебречь, а может нужно считать как дополнительный слой).

[EUgeneUS]

Обозначения, как в этом сообщении

Числовые данные:
$R_1 = 0.9 / 2 - 0.15 = 0.3$ метра
$R_2 = 0.9 / 2 = 0.45$ метра
$R_3 = 1.4/2 = 0.7$ метра

$\varkappa_1 = 0.58 $ Вт/(м К) - теплопроводность футеровки
$\varkappa_2 = 1.3 $ Вт/(м К) - теплопроводность железобетона
$\alpha_1 = 14 $ (Вт/м^2 К) - коэффициент теплопередачи с внешней стенки трубы
$\alpha_x $ (Вт/м^2 К) - неизвестный коэффициент теплопередачи между футеровкой и железобетоном.

Теперь запишем разницы температур:
$T_1 - T_2 = \frac{Q}{l} \frac{1}{2 \pi} \frac{1}{\varkappa_1} \ln \frac{R_2}{R_1} = \frac{Q}{l} \frac{1}{2 \pi} r_1$

Где $Q$ - тепловой поток, $l$ - длина участка трубы.
И ввели обозначение: $r_1 = \frac{1}{\varkappa_1} \ln \frac{R_2}{R_1}$
Строго говоря, тепловое сопротивление будет $\frac{1}{l} \frac{1}{2 \pi} \frac{1}{\varkappa_1} \ln \frac{R_2}{R_1}$, но обозначение выше - удобнее.
Посчитаем величину $r_1 = \frac{1}{\varkappa_1} \ln \frac{R_2}{R_1} \approx \frac{1}{0.58} 0.4055 \approx 0.699 \approx 0.7 \frac{[K] \cdot [m]}{[W]}$

$T_2 - T_3 = \frac{Q}{l} \frac{1}{2 \pi} \frac{1}{\alpha_x R_2} = \frac{Q}{l} \frac{1}{2 \pi} r_x$
$r_x = \frac{1}{\alpha_x R_2}$

$T_3 - T_4 = \frac{Q}{l} \frac{1}{2 \pi} \frac{1}{\varkappa_2} \ln \frac{R_3}{R_2} = \frac{Q}{l} \frac{1}{2 \pi} r_3$
$r_3 = \frac{1}{\varkappa_2} \ln \frac{R_3}{R_2} \approx \frac{1}{1.3} 0.4418 \approx 0.3399 \approx 0.34 \frac{[K] \cdot [m]}{[W]}$

$T_4 - T_5 = \frac{Q}{l} \frac{1}{2 \pi} \frac{1}{\alpha_1 R_3} = \frac{Q}{l} \frac{1}{2 \pi} r_4$
$r_4 = \frac{1}{\alpha_1 R_3} \approx \frac{1}{14 \cdot 0.7} \approx 0.102 \frac{[K] \cdot [m]}{[W]}$

-- добавлено через 24 минуты --

величины без штрихов - до повышения температуры
величины со штрихами - после повышения температуры

$(T_1' - T_1) - (T_5' - T_5) = \Delta T_1 - \Delta T_5 = \frac{\Delta Q}{l} \frac{1}{2 \pi} (r_1 + r_x + r_3 + r_4)$
$(T_4' - T_4) - (T_5' - T_5) = \Delta T_4 - \Delta T_5 = \frac{\Delta Q}{l} \frac{1}{2 \pi} r_4$

$\Delta T_1 = 37 [K]$
$\Delta T_4 = 10 [K]$
$\Delta T_5$ равно нулю по условию, и здесь имеет смысл "погрешность измерения окружающей температуры".

запишем вот такой агрегат (обратим внимание, что $\Delta T_5$ в числителе сократилось, а в знаменателе - нет):

$\frac{\Delta T_1 - \Delta T_4}{\Delta T_4 - \Delta T_5 } = \frac{r_1+r_x + r_3}{r_4}$

И выразим $r_x $

$r_x = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_4}{\Delta T_4 - \Delta T_5 } r_4 - r_1 - r_3$

Обратим внимание, что тут происходит вычитание из большого числа двух больших чисел, чтобы получить малое.
А значит умеренные относительные погрешности исходных данных приведут к большой относительной погрешности результата

Подставим числовые данные:
$r_x \approx 0.275 - 0.7 - 0.34$
Мало того, что получается отрицательный результат. Так уменьшаемое меньше любого из двух вычитаемых

-- добавлено через 5 минут --

Теперь решим задачу предложенную уважаемым GraNiNi

$\r_x = 0$
$\Delta T_1 = 37 [K]$
$\Delta T_4 - ?$

$\Delta T_4 = \Delta T_1 \frac{r_4}{r_1+r_3} \approx 37 \frac{0.102}{0.7+0.34} \approx 3.6 [K]$

-- добавлено через 7 минут --

Разница примерно 10% с этим результатом:

GraNiNi в сообщении #1733987 писал(а):

температура наружной поверхности трубы повысится не на 10, а на 3,3К.

связана либо с тем, что не было учтено, что считается для цилиндрической трубы, или я где-то в арифметике ошибся

-- добавлено через 6 минут --

Parkhomuk в сообщении #1734012 писал(а):

В этой же задаче, тепловое сопротивление на границе трубы с футеровкой, без знания ее физических свойств, учесть невозможно (может можно пренебречь, а может нужно считать как дополнительный слой).

Задача поставлена так, что нужно считать, как дополнительный слой.
А уже потом, получив численный результат, можно сравнивать и рассуждать: можно этим пренебречь или нет.
Но тут какие-то "косяки" с численными данными в условиях.

[Parkhomuk]

EUgeneUS в сообщении #1734014 писал(а):

Задача поставлена так, что нужно считать, как дополнительный слой.
А уже потом, получив численный результат, можно сравнивать и рассуждать: можно этим пренебречь или нет.
Но тут какие-то "косяки" с численными данными в условиях.

Решил повнимательнее присмотреться к задаче. Первое, что бросилось в глаза: это размерность теплоотдачи в условии, и если это не опечатка, то это теплоотдача на единицу длины трубы, а не единицу площади ее поверхности. Тогда все понятно, и по моим прикидкам разница температур на поверхностях контакта трубы с футеровкой получается около 150 градусов (чудес нет). Щас решил прикинуть, что если это опечатка и теплоотдача все-же с единицы поверхности (как я уже понял по вашим расчетам там получается отрицательный тепловой поток, однако там может оказаться хитрее если температура контакта очень высока, а передача тепла идет за счет лучистой)

[EUgeneUS]

Parkhomuk в сообщении #1734024 писал(а):

Первое, что бросилось в глаза: это размерность теплоотдачи в условии, и если это не опечатка, то это теплоотдача на единицу длины трубы, а не единицу площади ее поверхности.

Это опечатка.
Почитайте тему, задавал этот вопрос ТС.

[Parkhomuk]

EUgeneUS в сообщении #1734026 писал(а):

Это опечатка.
Почитайте тему, задавал этот вопрос ТС.

Ответ ТС на этот вопрос не гарантирует что это верно.

Но если это все же правда, то

Parkhomuk в сообщении #1734024 писал(а):

передача тепла идет за счет лучистой

тогда тут необходимо еще какое-то дополнительное условие (например, температура внешней среды), т.к. ответ будет зависеть от значения температуры внутренней поверхности трубы. Тут идея в том, что при лучистом способе передачи энергии тепловой поток зависит не только от перепада температуры на стенках, но и от значения самой температуры стенок (т.к. пропорционален разности четвертых степеней температур), поэтому даже если разница температур снижается, но сама температура стенок растет, то это может перевесить уменьшение разницы температур. Формулы у меня получаются слишком громоздкими, пока до ума не довел, как будет результат выложу здесь.

-- добавлено через 16 минут --

Вопрос с лучистой передачей снимается, при этих исходных данных это невозможно, т.к. тут не только разница температур снижается, но и снижается температура внешней стенки футеровки, а значит в условии либо ошибка в цифровых значениях, либо опечатки никакой нет, а есть ровно то что написано, без додумок.

[EUgeneUS]

Parkhomuk в сообщении #1734030 писал(а):

Ответ ТС на этот вопрос не гарантирует что это верно.

Согласен.
Посчитаем этот вариант:
$\alpha_1 = 14 $ (Вт/м К)

Тогда:
$T_4 - T_5 = \frac{Q}{l} \frac{1}{\alpha_1} = \frac{Q}{l} \frac{1}{2 \pi} r_4$
$r_4 = \frac{2 \pi}{\alpha_1} \approx 0.4488 \approx 0.45$

$r_x = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_4}{\Delta T_4} r_4 - r_1 - r_3 \approx 2.7 \cdot 0.45 -0.7 - 0.34 \approx 0.175$

$T_3 - T_4 = \frac{Q}{l} \frac{1}{2 \pi} \frac{1}{\varkappa_2} \ln \frac{R_3}{R_2} = \frac{Q}{l} \frac{1}{2 \pi} r_3 = 380 K$
$T_2 - T_3 = \frac{Q}{l} \frac{1}{2 \pi} \frac{1}{\alpha_x R_2} = \frac{Q}{l} \frac{1}{2 \pi} r_x$

$T_2 - T_3 = (T_3 - T_4)\frac{r_3}{r_x} \approx 380 \frac{0.175}{0.34} \approx 196 K$

-- добавлено через 6 минут --

Опять значение близкое к

Parkhomuk в сообщении #1734024 писал(а):

и по моим прикидкам разница температур на поверхностях контакта трубы с футеровкой получается около 150 градусов (чудес нет).

Но всё таки заметно отличающееся.
Parkhomuk, Вы "цилиндричность" трубы учитывали?

И интересно, а какая разница температур между окружающей средой и внутренней стенкой футеровки?

$T_1 - T_5 = \frac{Q}{l} \frac{1}{2 \pi} (r_1 + r_x+ r_3+r_4)$

$T_1 - T_5 = (T_3 - T_4)\frac{r_1 + r_x+ r_3+r_4}{r_4} \approx 380 \frac{0.7 + 0.175 + 0.34 + 0.45}{0.45} \approx 1400 K$
При $T_5 \approx 300 K$, $T_1 \approx 1700 K$
Немало.

[Parkhomuk]

EUgeneUS в сообщении #1734035 писал(а):

Но всё таки заметно отличающееся.
Parkhomuk, Вы "цилиндричность" трубы учитывали?

Учитывал, но я прикидывал сразу в числах, а в одном месте так вообще округлил до одной значащей цифры, так что такое различие вполне допускаю, а у Вас более точно получилось.

[EUgeneUS]

Parkhomuk в сообщении #1734030 писал(а):

Вопрос с лучистой передачей снимается, при этих исходных данных это невозможно, т.к. тут не только разница температур снижается, но и снижается температура внешней стенки футеровки, а значит в условии либо ошибка в цифровых значениях, либо опечатки никакой нет, а есть ровно то что написано, без додумок.

Вопрос с лучистой передачей снимается по другой причине.
Если изменение температуры внутренней стенки футеровки ($\Delta T_1 = 37$ K) было сделано "в рабочем режиме" ($T_1 \approx 1700$ K), то это изменение мало: около 2.2%
И, скорее всего будет достаточно линейного члена для приемлемой точности.

[Parkhomuk]

EUgeneUS
Похоже, что лучистую все равно придется учитывать, хоть мне и не удалось применить трюк на который я по-началу рассчитывал, все равно получается что при таком перепаде температуры на границе трубы и футеровки (с учетом самих температур этой границы) лучистый поток просто огромный, и выходит, что именно он является определяющим тепловое сопротивления границы, поэтому в действительности перепад будет значительно ниже