ИИ и решение уравнений Навье-Стокса

[dsge]

OpenAI утверждает, что проблема тысячелетия, связанная с системой Навье-Стокса, решена. Но драма не в этом. Мужик нашел взрывающиеся решения для уравний Эйлера, т.е. для невязкой жидкости, и использовал для этого Codex. OpenAI через Codex шпионила за ним и использовала его идеи для построения таких решения для Навье-Стокса.
https://x.com/tautologer/status/2097203787656249515?s=43
https://cims.nyu.edu/~tristanb/statement.pdf

[mihaild]

dsge в сообщении #1733405 писал(а):

OpenAI через Codex шпионила за ним и использовала его идеи для построения таких решения для Навье-Стокса

Цитата:

I do not know what their model did, or how. I do not know whether our data was used

Что использование для обучения могло как-то значимо повлиять - сомневаюсь, непонятно, как это можно было бы сделать технически.
Что кто-то посмотрел в логи сессии - исключать нельзя. Некоторые усилия для борьбы с таким, конечно, предпринимаются, но довольно символические.

dsge в сообщении #1733405 писал(а):

OpenAI через Codex шпионила за ним

На всякий случай: Codex тут неважен, у OpenAI одинаковый доступ к данным, приходящим в GPT, через любые обертки. Т.е. общение в чате не менее (и не более) опасно в плане утечек, чем через агентные системы (и замена codex на что-то другое, использующее те же модели, ничего в этом смысле не поменяет).

[Klein]

В X много комментариев по теме. Краткое резюму происходящего Перевод ИИ

Оригинал сообщения: https://x.com/konstiwohlwend/status/2097235335034056835

Цитата:

Краткое изложение этой драмы для тех, кто запутался:

15 августа: Тристан Бакмастер (Tristan Buckmaster) и Левент Алпёге (Levent Alpöge) добиваются прогресса в работе над несколькими важными математическими задачами.

У них НЕТ доказательства задачи тысячелетия с премией в $1 000 000. Однако они утверждают, что получили доказательство для похожей задачи о Навье — Стоксе, которая не относится к задачам тысячелетия, но результаты по ней потенциально могут помочь продвинуться к решению соответствующей задачи тысячелетия.

Левент работает в Anthropic, однако это исследование выполнялось независимо от его работы там, с использованием различных моделей GPT и Claude. Тристан никак не связан с Anthropic.

Начало сентября: до OpenAI доходит слух, что Anthropic решила крупную математическую задачу. Тристан пишет в OpenAI, чтобы прояснить ситуацию, не раскрывая при этом, какую именно задачу они решили и каким способом.

Узнав об этом слухе, OpenAI начинает исследовать уравнения Навье — Стокса с помощью новой внутренней модели.

6 сентября: Себастьян Бюбек (Sébastien Bubeck) из OpenAI сообщает Тристану, что они решили задачу тысячелетия Навье — Стокса с премией в $1 000 000. Использованный подход очень похож на подход Тристана и Левента к их задаче, которая не относится к задачам тысячелетия.

Тристана настораживает совпадение по времени, поскольку лишь немногие другие исследователи работали с использованием такого подхода. OpenAI заявляет, что модель не имела прямого доступа к пользовательским данным Тристана, однако оставляет без ответа вопрос о том, могли ли его разговоры с ChatGPT входить в данные, использованные при обучении модели.

OpenAI заявляет, что готова частично указать вклад Тристана в открытие, связанное с задачей на $1 000 000 (несмотря на то, что сам Тристан эту задачу не решил), — но только при условии, что Левент будет исключён из числа авторов, поскольку он работает в Anthropic.

8 сентября: Тристан отказывается исключать Левента из числа авторов и спешно публикует их результаты независимо.

В настоящее время остаётся неясным, имелось ли у Anthropic отдельное решение задачи тысячелетия стоимостью $1 000 000, или же распространившийся слух на самом деле относился к независимому исследованию Тристана и Левента.

[Rasool]

Статья в Scientific American:
https://www.scientificamerican.com/article/openai-claims-blockbuster-math-breakthrough-amid-swirl-of-controversy/

Цитата:

"Накануне того, как OpenAI объявила о получении доказательства, Бакмастер сообщил в социальных сетях, что они с Альпёге — математиком и сотрудником компании Anthropic — добились прорыва в исследовании уравнений Эйлера; в научном сообществе это достижение считалось важным шагом к решению задачи Навье — Стокса. В заявлении, опубликованном в понедельник, Бакмастер утверждал, что OpenAI узнала о результатах их работы за неделю до этого и применила тот же метод, который он и Альпёге использовали для решения полной задачи.

На брифинге для прессы во вторник математик из OpenAI Себастьен Бубек опроверг слухи о происхождении доказательства. Бубек заявил, что внутренняя модель OpenAI самостоятельно решила задачу Эйлера, используя совершенно иные подходы, нежели Бакмастер и Альпёге. Впрочем, решение полной задачи Навье — Стокса, полученное OpenAI, действительно опиралось на метод, схожий с тем, что использовали эти два математика. При этом, по словам Бубека, доказательство было разработано за выходные — то есть уже после того момента, когда, по утверждению Бакмастера, информация о результатах его работы с Альпёге дошла до OpenAI. Бубек категорически отверг предположение о том, что работа математиков повлияла на действия OpenAI. «Мы не использовали их промпты или доказательства для направления работы наших моделей», — заявил он.

Вероятно, потребуется время, чтобы разобраться в различиях между двумя доказательствами, к тому же проследить происхождение математических идей, сгенерированных искусственным интеллектом, крайне сложно."

[Klein]

OpenAI утверждает , что решение найдено их внутренней моделью ( _не_ GPT-6 Astra - модель для общественного пользования). Также OpenAI формализовало решение в Lean 4.

Перевод ИИ. Полностью статья с кратким описанием решения https://openai.com/index/navier-stokes-solution/

Цитата:

Мы публикуем решение задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса — одной из задач тысячелетия. Это доказательство, полученное внутренней системой OpenAI, показывает, что в динамике решений уравнений Навье — Стокса, описывающих движение жидкости, за конечное время может возникнуть сингулярность. Мы публикуем как изложение доказательства, так и его формализацию в Lean.

Задачи тысячелетия представляют собой одни из самых глубоких вопросов на переднем крае современной математики. Вопрос о том, может ли гладкое трёхмерное течение жидкости утратить гладкость, оставался нерешённым около 90 лет.

Одна из главных целей нашей работы — предоставить учёным инструменты, позволяющие продвигать исследования и технологии на благо всего человечества. Для решения задачи Навье — Стокса мы использовали внутреннюю модель, которая значительно превосходит по возможностям GPT-6 Astra. Мы считаем важным информировать мир о темпах развития искусственного интеллекта и о том, чего следует ожидать от будущих моделей.

...

Наша система получила аналитическое доказательство и формализацию в Lean того, что изначально гладкое течение жидкости, находящейся в состоянии покоя, может за конечное время развить сингулярность. На жидкость действует гладкая внешняя сила, при этом её энергия остаётся конечной на протяжении всей эволюции — от состояния покоя до момента образования сингулярности.

Тем самым решается задача тысячелетия о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса: устанавливается утверждение «C» (а также «D») из официальной формулировки задачи тысячелетия (https://www.claymath.org/wp-content/upl ... stokes.pdf).

-- добавлено через 29 минут --


Пока непонятно, кого следует считать первым. Но похоже у обоих математиков заметный прогресс наметился после того, как они начали интенсивно использовать современные модели последний месяц-полтора. Один пользовался Codex от OpenAI, а другой вообще сотрудник Антропик. Оба утверждают исследование было частной совместной работой и не являлось проектом ни одной компании.

Судя по происходящему в социальных сетях и блогосфере, математическое сообщество выступает, и скорее всего, выступит в защиту обоих математиков.
Надо отметить, что если пользуешься современными моделями через личные аккаунты, то не исключено, что содержимое чатов и рабочих сессий могут использоваться для обучения моделей.

[MoonWatcher]

Klein в сообщении #1733445 писал(а):

Пока непонятно, кого следует считать первым

OpenAI называет первыми математиков:

Цитата:

Мы признаем приоритетность их работы над задачей принудительного Эйлера и поздравляем их с этим замечательным математическим достижением.

И еще важный момент:

Цитата:

Мы (исследователи и агенты) не видели результатов их работы ни в каком виде до тех пор, пока они не опубликовали её публично — в частности, для решения этой проблемы не использовались никакие конкретные данные пользователей. Хотя это маловероятно, мы не можем исключить, что обезличенные данные, полученные в результате использования ими наших продуктов, помогли улучшить наши модели. Однако наши доказательства значительно различаются, и даже точные результаты, доказанные в случае Эйлера (с принудительным и непринудительным условием), отличаются.

[Mikhail_K]

MoonWatcher в сообщении #1733446 писал(а):

OpenAI называет первыми математиков:

Всё-таки уточню: в задаче Эйлера, но не Навье-Стокса.

Klein в сообщении #1733445 писал(а):

Судя по происходящему в социальных сетях и блогосфере, математическое сообщество выступает, и скорее всего, выступит в защиту обоих математиков.

Не очень понятно, от чего их защищать. Они претендуют на приоритет в авторстве ключевой идеи решения проблемы тысячелетия, которую разрабатывали с помощью ИИ, но не самого полного решения этой проблемы. Ну, OpenAI и не против:

OpenAI писал(а):

Наша работа началась 1 сентября после того, как мы услышали слух, который, как мы позже поняли, был связан с Левентом Альпёге, сотрудником компании Anthropic, и Тристаном Бакмастером, профессором математики в Нью-Йоркском университете. После завершения нашего проекта и проверки с помощью Lean (6 сентября), полагая, исходя из слуха, что у них также есть решение уравнений Навье-Стокса, мы связались с ними, чтобы предложить одновременную публикацию нашего результата и отметить их приоритет в совместном объявлении. В этот момент мы узнали, что у них есть решение задачи принудительного Эйлера. В ходе этих обсуждений мы предложили им ознакомиться со всеми использованными нами подсказками, а позже и с доказательством. Мы признаем приоритетность их работы над задачей принудительного Эйлера и поздравляем их с этим замечательным математическим достижением.

Мы (исследователи и агенты) не видели результатов их работы ни в каком виде до тех пор, пока они не опубликовали её публично — в частности, для решения этой проблемы не использовались никакие конкретные данные пользователей. Хотя это маловероятно, мы не можем исключить, что обезличенные данные, полученные в результате использования ими наших продуктов, помогли улучшить наши модели . Однако наши доказательства значительно различаются, и даже точные результаты, доказанные в случае Эйлера (с принудительным и непринудительным условием), отличаются.

[Утундрий]

Любопытно. То есть, можно щёлкнуть кнутом и без кнута. Может быть полезно в токамаках всяких, например.

[Klein]

Результаты моделей OpenAI за 5 лет

2021: GSM8K - набор задач по математике уровня начальной школы
2022: формализованные олимпиадные задачи
2023: GPT-4 - 92% на GSM8K, 700/800 по математической части SAT (стандартизированный вступительный тест в США )
2024: o1 - уровень Американского пригласительного математического экзамена (AIME), достаточный для отбора на Математическую олимпиаду США (USAMO)
2025: золото Международной математической олимпиады (ММО) - 35/42
2026: автономные решения открытых математических задач/ решение задачи тысячелетия уравнение Навье-Стокса

[Padawan]

(Оффтоп)

Теперь, видимо, надо доказывать, что в пространстве начальных условий множество начальных условий, не приводящих к сингулярности, имеет первую категорию Бэра.

-- добавлено через 2 минуты --

По крайней мере так было с примером нигде не дифференцируемой непрерывной функции. Сначала все удивлялись, а потом оказалось, что это типичный случай. Вероятно и здесь так будет. Построенный конкретный пример в этом поможет.

[Red_Herring]

Padawan в сообщении #1733464 писал(а):

[off]Теперь, видимо, надо доказывать, что в пространстве начальных условий множество начальных условий, не приводящих к сингулярности, имеет первую категорию Бэра.

И в оригинальной задаче тысячелетия, и в решении, кто-бы его не получил, речь идет о Навье-Стоксе с внешними силами.
https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2022/06/navierstokes.pdf
Если же говорить о Навье-Стоксе без внешних сил, то доказано, что при малых начальных данных гладкое глобальное решение существует. См. например

Цитата:

H. Koch, D. Tataru, "Well-posedness for the Navier–Stokes equations", Advances in Mathematics, 157(1) (2001), 22–35. DOI: 10.1006/aima.2000.1937.

Но, Вы правы в том, что хотя Задача Тысячелетия решена, это совсем не конец, а скорее начало. Достаточно легко доказать существование обощенного решения: добавляется супервязкось $-\varepsilon \Delta^2 u$, и при$ \varepsilon\to 0$ существует предельная "точка". Но вовсе не факт, что таких обобщенных решений ровно одно. Скорее, дело обстоит так, как с одномерным уравнением Эйлера (оно же Бюргерса без вязкости): таких решений много, но существует критерий позволяющий отбраковать "нефизические решения" (условие энтропии) и тогда будет ровно одно глобальное "физическое" решение

А вот, что касается меэтического поведения ОпенИИ , прямо из первоисточника
https://cims.nyu.edu/~tristanb/statement.pdf
Сегодня, кстати, у нас будет коллоквиум

Цитата:

AI safety for mathematicians by Jacob Tsimerman (University of Toronto)

и я надеюсь, что история с Н-С будет отражена . Если будет видеозапись (я надеюсь), то я помещу ссылку

[mihaild]

Утундрий в сообщении #1733450 писал(а):

То есть, можно щёлкнуть кнутом и без кнута

А можно на пальцах (для уровня "давно забыл стандартный курс диффуров") пояснение, что это означает в данном контексте?

[lel0lel]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1733485 писал(а):

что это означает в данном контексте?

Я тоже не уверен, что правильно понял смысл предложения. Но предположу, что речь, в контексте термоядерного синтеза, идёт о возможности создать критическое давление ("сингулярность" в сплошной среде) с помощью непрерывного возмущения, за конечное время.

[dsge]

До сих пор ещё никто не проверил корректность186 страниц решения проблемы, пишут, что текст очень трудно читать. Tristan Buckmaster пишет, что пока из того, что он прочитал следует, что их подход один к одному совпадает с тем, что он предложил с Levent Alpoge, это несмотря на утверждение OpenAI, что их подход совсем другой. Непонятно как они определили, что "совсем другой", если в OpenAI нет специалистов по НС уравнениям.

Red_Herring в сообщении #1733481 писал(а):

это совсем не конец, а скорее начало

Что для Эйлера, что для НС найдены blowup решения для отдельного начального условия. Убьёт ли это приложения НС уравнений? Энергия не может быть бесконечной, когда скорость жидкости достаточно большая надо уже учитывать релятивистские поправки или молекулярную структуру вещества, модифицировать каким-то образом НС. Может быть, что климат-алармисты выбирают решения именно с такими начальными условиями для своих прогнозов.

Непонятно насколько типичны такие начальные условия. Может быть такие начальные условия составляют "тощее" множество в функциональном пространстве начальных условий или множество меры нуль, в каком-то смысле. Или конечномерное многообразие в функциональном пространстве. Тогда, такими начальными условиями, возможно, можно пренебречь. Тогда НС будет спасена для приложений.

Red_Herring в сообщении #1733481 писал(а):

AI safety for mathematicians by Jacob Tsimerman (University of Toronto)
и я надеюсь, что история с Н-С будет отражена .

Вряд ли новый работник OpenAI будет объективен в этой ситуации. (В скобках теперь надо писать OpenAI, а не University of Toronto)

[Утундрий]

mihaild в сообщении #1733485 писал(а):

что это означает в данном контексте?

Что можно устроить локальный выход за пределы модели, не привлекая геометрию стенок. Правда, просто помахать руками (создать нужные начальные условия) здесь не получится, потому как требуется некая объёмная сила. Так её можно попытаться реализовать какими-то там магнитоактивными взвесями и сконфигурированных полями. Ну или в плазме.