Логики 0, 1 и 2 порядков.

[Anton_Peplov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727774 писал(а):

Их четыре:

Все верно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1727774 писал(а):

Всего 4 возможных входных набора условия. Для каждого из этих 4 наборов функция может выдать либо $0,$, либо $1$. Значит, всего таких функций существует $2^4 = 16$.

Подход уловили верно, выписали все функции. Отождествления со стандартными связками досконально не проверял, но на беглый взгляд все правильно.

Собственно, к чему я Вас подводил. Булевых функций двух переменных всего 16, и все они известны. Никакой мистики и очень мало вариантов. Вам не нравится стандартная импликация, хорошо. Какую из оставшихся 15 функций Вы предлагаете на ее место?

[Vladimir Pliassov]

Anton_Peplov в сообщении #1727804 писал(а):

Собственно, к чему я Вас подводил. Булевых функций двух переменных всего 16, и все они известны. Никакой мистики и очень мало вариантов. Вам не нравится стандартная импликация, хорошо. Какую из оставшихся 15 функций Вы предлагаете на ее место?

Спасибо!

Я не говорил, что мне не нравится стандартная импликация. И ее место как раз там, где она сейчас. Я только хотел показать, что знак $1$ в таблицах истинности получают те высказывания, которые -- в замкнутой системе --выводимы из данных условий, а те высказывания, которые не выводимы из данных условий, получают $0$.

Двухместная логика высказываний это ведь замкнутая система?

[Anton_Peplov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727829 писал(а):

Я только хотел показать, что знак $1$ в таблицах истинности получают те высказывания, которые -- в замкнутой системе --выводимы из данных условий, а те высказывания, которые не выводимы из данных условий, получают $0$.

Я не понимаю смысла этой фразы. В логике высказываний нет никаких "условий". Есть понятие выводимости формулы из множества других формул. Возможно, Вы это имеете в виду.

Если Вы хотите понять связь выводимости с истинностью, то есть два фундаментальных понятия: тавтология и теорема. Формула логики высказываний называется общезначимой, или тавтологией, если она принимает значение $1$ при любых значений входящих в нее переменных (которые называются еще атомарными высказываниями). Например, $A \vee \neg A$ - тавтология. Теорема логики высказываний - это формула, выводимая из ее аксиом по ее правилам вывода. Есть несколько равносильных формулировок логики высказываний, использующих несколько отличающиеся наборы аксиом (точнее, схем аксиом). А вот правило вывода обычно используют только одно - modus ponens.

Замечательное свойство исчисления высказываний состоит в том, что в нем всякая теорема есть тавтология (это называется непротиворечивостью), и обратно, всякая тавтология есть теорема (а это называется полнотой).

Vladimir Pliassov в сообщении #1727829 писал(а):

Двухместная логика высказываний это ведь замкнутая система?

Используйте термины правильно. Логика, где высказывания принимают только два значения, называется не двухместной, а двоичной или бинарной. К тому же я не знаю, что Вы здесь понимаете под замкнутой системой. Возможно, полную. Но если и так, мне не удается понять, что Вы имели в виду.

Лучше бы Вам разобраться в предмете по порядку (т.е. по учебнику), а не изобретать велосипеды с квадратными колесами. Книги, которые могу порекомендовать:

Клини. Математическая логика (идеально как введение в предмет)
Верещагин, Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 2. Языки и исчисления (чуть сложнее и больше информации, чем нужно новичку, хорошо в качестве второй книги).

[Vladimir Pliassov]

Anton_Peplov в сообщении #1727835 писал(а):

я не знаю, что Вы здесь понимаете под замкнутой системой.

Под замкнутой системой, в данном случае бинарной, я понимаю систему только из двух переменных (из двух высказываний) $A$ и $B$, то есть в ней нет места некоторой переменной $C$, и потому нельзя сказать, что исходя из условий $A=\top$ и $B=\top$, высказывание $C$ ложно, так как оно не выводится из них. Ну и наличие условий необходимо, иначе ничего нельзя вывести -- не из чего.

Anton_Peplov в сообщении #1727835 писал(а):

Я не понимаю смысла этой фразы. В логике высказываний нет никаких "условий". Есть понятие выводимости формулы из множества других формул. Возможно, Вы это имеете в виду.

Можете посмотреть следующий текст? В нем я как мог выразил свою мысль.

Ex falso quodlibet

Шаг 1. Переход от конъюнкции к импликативной структуре (заметьте, здесь я говорю не "к импликации", а "к импликативной структуре", чтобы не давать тому, к чему мы переходим, истинностной оценки). Пусть нам даны фиксированные условия: $\neg A=\top, \neg B=\top$. Из них семантически следует ложность конъюнкции $(A \wedge B)$. Переведем этот факт на язык правил рассуждения (синтаксиса). Что значит ложность конъюнкции? Это значит, что утверждения $A$ и $B$ не могут быть выполнены одновременно. Если мы гипотетически примем посылку, что $A$ истинно, то в силу ложности конъюнкции мы вынуждены заключить, что $B$ ложно (то есть истинно $\neg B$). Мы получили структуру рассуждения: «Приняв посылку $A$, мы с необходимостью приходим к заключению $\neg B$». В логике такая структура «вывод следствия из посылки» и фиксируется знаком импликации: $A \to \neg B$. На данном этапе мы не оцениваем её истинность, мы просто построили саму формулу (структуру импликации) из ложности конъюнкции.

Шаг 2. Транзитивность дедукции Свяжем цепочку воедино: из исходных семантических условий $\neg A=\top, \neg B=\top$ следует ложность конъюнкции $A \wedge B$. Из ложности конъюнкции $A \wedge B$ дедуктивно конструируется импликативная структура $A \to \neg B$. Следовательно, из условий $\neg A=\top, \neg B=\top$ по транзитивности логически выводится структура формулы $A \to \neg B$.

Шаг 3. Семантическая оценка и критерий истинности Теперь введем строгое определение (критерий):

Определение (критерий): высказывание называется истинным в данной системе условий, если оно синтаксически выводимо из этих условий.

Поскольку формула $A \to \neg B$ была выведена из условий $\neg A=\top, \neg B=\top$, мы согласно определению называем её истинной. Проделав аналогичные шаги для ложной конъюнкции $(A \wedge \neg B)$, мы построим формулу $A \to B$ и также назовем её истинной. Это и дает независимое (то есть не основанное на таблице истинности) обоснование принципу Ex falso quodlibet: обе импликации истинны, потому что их структура строго порождается условиями, а именно, исходной ложностью переменных.

mihaild в сообщении #1727777 писал(а):

Но всё же не надо путать истинность и выводимость. Их связь - это довольно нетривиальная теорема.

Можете посмотреть предыдущие несколько абзацев, начиная со слов Ex falso quodlibet, и сказать, имеет ли там место смешение истинности и выводимости?

mihaild в сообщении #1727777 писал(а):

Не знаю, что такое "догматическое определение" и "импликативная структура".

Как я понимаю, догматическое определение это определение, основанное на догмах, то есть на аксиомах. Например, Вы говорите, что правило "Ложные импликации это те, у которых истинная посылка и ложное заключение, остальные импликации истинные" это определение импликации. Поскольку оно основано на таблице истинности, которая берется как аксиома, я называю это определение догматическим. Но если сначала доказать таблицу истинности, то есть доказать, что для импликации эта таблица должна быть такой, какая она есть, а потом уже основывать на ней определение импликации, то это определение не будет догматическим.

Под импликативной структурой я понимаю импликацию, для которой не определено, истинная она или ложная. Импликация $A\to B$ не является ни тождественно истинным, ни тождественно ложным высказыванием, то есть из нее самой по себе, без дополнительных сведений, не видна ее истинность или ложность. Если же мы получим соответствующие дополнительные сведения, например, что $A$ истинно и $B$ истинно, или хотя бы что конъюнкция $A\wedge \neg B$ ложна, то сможем присвоить импликативной структуре $A\to B$ значение "истина", то есть заключить, что импликация $A\to B$ истинна.

mihaild в сообщении #1727777 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1727774 писал(а):

Но если принять условие "солёная вода есть металл" за истинное, тогда сможем

Нет, не сможем. Каким образом?

Пусть высказывание "солёная вода есть металл" истинно, и при этом дана импликация "из того, что солёная вода есть металл, следует, что солёная вода проводит ток", тогда по modus ponens имеем, что солёная вода проводит ток.

Geen в сообщении #1727788 писал(а):

Посмотрите на таблицу всех функций, которую Вы написали, и предложите варианты.

Теперь понял, что Вы имеете в виду: то же самое, что и здесь:

Anton_Peplov в сообщении #1727804 писал(а):

Булевых функций двух переменных всего 16, и все они известны. Никакой мистики и очень мало вариантов. Вам не нравится стандартная импликация, хорошо. Какую из оставшихся 15 функций Вы предлагаете на ее место?

Да, выбирать надо из 16 вариантов. Но, прежде чем смотреть на таблицу, ее надо составить, и я думаю, что она составлена так, как я и говорю: знак $1$ в таблицах истинности получают те высказывания, которые -- в замкнутой системе, то есть в бинарной логике высказываний -- выводимы из данных условий, а те высказывания, которые не выводимы из данных условий, получают $0$, -- хотя когда ее составляли, об этом, может быть, и не думали.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727845 писал(а):

Можете посмотреть предыдущие несколько абзацев, начиная со слов Ex falso quodlibet , и сказать, имеет ли там место смешение истинности и выводимости?

У Вас там гораздо больше путаницы. Начиная с того, что не сказано, что такое "семантически следует".

Vladimir Pliassov в сообщении #1727845 писал(а):

высказывание называется истинным в данной системе условий, если оно синтаксически выводимо из этих условий

А это как раз то смешение, о котором я говорил.
Посмотрите мой пост выше (а лучше посоветованные Anton_Peplov книги) про правильные определения истинности и выводимости. Истинность формулы - это свойство оценки, а никакой "системы условий" там нет.

Vladimir Pliassov в сообщении #1727845 писал(а):

Но если сначала доказать таблицу истинности

Таблицу истинности доказать нельзя, доказать можно только утверждения.

Vladimir Pliassov в сообщении #1727845 писал(а):

то есть доказать, что для импликации эта таблица должна быть такой, какая она есть

Это будет второй вариант - сформулировать желаемые свойства импликации, и из них вывести, какая у импликации должна быть таблица истинности. В целом допустимо, но конкретно в данном случае скорее бесполезно.
Впрочем, и для этого подхода тоже нужно явно сформулировать желаемые свойства.

В целом, первые попытки построить логическое исчисление были не позже Аристотеля, а в удобоваримом (современном) виде его сформулировали только в XX веке. ИМХО всё же попытка в одиночку воспроизвести результат трудов математиков за две тысячи лет - не очень удачная идея, я бы советовал начать с того, что уже сделано.

[Anton_Peplov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727845 писал(а):

Но, прежде чем смотреть на таблицу, ее надо составить,

Вы же сами ее составляли. Там не о чем думать. В таблице перечислены все 16 существующих функций $\mathbb B \times \mathbb B \to \mathbb B$. Семнадцатый вариант невозможен. Или Вы можете его предложить?

Vladimir Pliassov в сообщении #1727845 писал(а):

Можете посмотреть следующий текст?

Нет, извините. Я не заинтересован разбирать Ваши кустарные блуждания в материале за первый курс. Хотите изучить логику - берите учебник.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727845 писал(а):

Переведем этот факт на язык правил рассуждения (синтаксиса). Что значит ложность конъюнкции?

Вы же сами говорили, что в языке правил нет истинности и ложности. А тут в каждом предложении привлекается семантика.

Vladimir Pliassov в сообщении #1727845 писал(а):

Это значит, что утверждения $A$ и $B$ не могут быть выполнены одновременно.

Догма о конъюнкции.

Vladimir Pliassov в сообщении #1727845 писал(а):

Если мы гипотетически примем посылку, что $A$ истинно, то в силу ложности конъюнкции мы вынуждены заключить

Догма о доказательстве от противного.

Vladimir Pliassov в сообщении #1727845 писал(а):

что $B$ ложно (то есть истинно $\neg B$).

Догма об отрицании.

То есть ваше рассуждение все равно строится на догмах. Мало того, оно еще и постоянно смешивает синтаксис с семантикой, и вам приходится повторять его почти без изменений четыре раза.

А для исчисления высказываний давно известен набор, как вы выражаетесь, догм, из которых вывод ведется чисто синтаксически, без привлечения понятия истинности.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1727865 писал(а):

Вы же сами говорили, что в языке правил нет истинности и ложности. А тут в каждом предложении привлекается семантика.

Признаюсь Вам (и всем), что это мне помогал писать мой друг ИИ. Он клялся, что теперь никто не сможет обнаружить в тексте ни одной погрешности.

Нет, вы не думайте, что я просто копировал его слова и переносил их в свое сообщение, я очень много исправлял, спрашивал у него: "Может быть, лучше так?" -- он отвечал: "О, да! Так гораздо лучше! У тебя потрясающая интуиция!" -- и я переделывал то, что он мне прислал. В конце концов мне показалось, что написано достаточно хорошо, он в очередной раз горячо одобрил, и я выложил этот пост.

За эти несколько дней я в какой-то степени познакомился с семантикой и синтаксисом, и по-моему, между ними должен быть какой-то мостик, который поможет мне как следует выразить свою мысль.

Что же касается самой мысли, то она по-прежнему кажется мне стоящей.

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727883 писал(а):

я очень много исправлял

Вы бы лучше потратили это время на чтение учебника... тогда бы у "вашего друга" вообще бы спрашивать не пришлось.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727883 писал(а):

Нет, вы не думайте, что я просто копировал его слова и переносил их в свое сообщение, я очень много исправлял, спрашивал у него: "Может быть, лучше так?" -- он отвечал: "О, да! Так гораздо лучше! У тебя потрясающая интуиция!" -- и я переделывал то, что он мне прислал

Вы неправильно его готовите. Попробуйте в начале дописать "объясни, почему это полный бред".

Vladimir Pliassov в сообщении #1727883 писал(а):

Что же касается самой мысли, то она по-прежнему кажется мне стоящей

Неправильно кажется.

Вообще, в чем ваша задача? Я соглашусь с Geen - если бы Вы время, потраченное на изобретение велосипедов в соавторстве с нейронками, потратили на чтение учебников - Вы бы, скорее всего, уже понимали материал существенно лучше.

[Vladimir Pliassov]

Anton_Peplov в сообщении #1727835 писал(а):

Клини. Математическая логика (идеально как введение в предмет)
Верещагин, Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 2. Языки и исчисления (чуть сложнее и больше информации, чем нужно новичку, хорошо в качестве второй книги).

Спасибо! Читаю логику Клини.

tolstopuz в сообщении #1727865 писал(а):

То есть ваше рассуждение все равно строится на догмах.

Так ведь любое рассуждение строится на догмах (на аксиомах). Но я пытаюсь сократить их количество: обосновать одну из них (таблицу истинности), чтобы она перестала быть догмой.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727931 писал(а):

Так ведь любое рассуждение строится на догмах (на аксиомах). Но я пытаюсь сократить их количество: обосновать одну из них (таблицу истинности), чтобы она перестала быть догмой.

Это давно уже сделано. Нейронка от Гугла отлично понимает вопрос "докажи в системе аксиом гильберта для исчисления высказываний таблицу истинности импликации":
https://share.google/aimode/BK087Xpmzqt3XeAfQ
Отлично выводятся все ваши формулы, четко обозначены требуемые аксиомы и правило вывода, не требуется даже ни конъюнкция, ни дизъюнкция. Более того, все чисто синтаксически, без истинности/ложности.

[mihaild]

tolstopuz в сообщении #1727940 писал(а):

Нейронка от Гугла отлично понимает вопрос "докажи в системе аксиом гильберта для исчисления высказываний таблицу истинности импликации": https://share.google/aimode/BK087Xpmzqt3XeAfQ

Там что-то странное. Появляются какие-то загадочные значки $0$ и $1$, которых в аксиомах не было.

[tolstopuz]

mihaild в сообщении #1727944 писал(а):

Там что-то странное. Появляются какие-то загадочные значки $0$ и $1$, которых в аксиомах не было.

Наоборот, не появляются, а исчезают.

Цитата:

Для этого вместо семантических понятий «истина» ($1$) и «ложь» ($0$) мы доказываем выводимость ($\vdash$) самой формулы (если она истинна) или её отрицания (если она ложна).

[mihaild]

tolstopuz в сообщении #1727946 писал(а):

Наоборот, не появляются, а исчезают.

А дальше "доказываем $1 \to 1 = 1$".
В целом, если мы говорим чисто о выводимости, и в языке нет значков $\top$ и $\bot$, то я не понимаю, что вообще такое "таблица истинности".

Цитата:

Для этого вместо семантических понятий «истина» ($1$) и «ложь» ($0$) мы доказываем выводимость ($\vdash$) самой формулы (если она истинна) или её отрицания (если она ложна).

А это теорема о полноте, причем тут импликация?