Что такое поле в физике вообще? Эта некая функция, заданная на многообразии

. Почему

? Потому что приборы могут определять только натуральные числа и больше или меньше. Остальное мы всё построили для удобства. Множество, в котором сходится любая последовательность Коши и похожа на наш мир (чтоб не пи-адиаческие числа) и т.п. В общем, все уже привыкли к такому абстрактному множеству, как Вещественные числа,

в простонародье.
Поле в физике--это некая гладкая функция, которой присваиваются вводные параметры--координаты и состояние поля (значение вещественнозначной функции). Областью исследования данной функции над многообразием

является нахождение симметрий данной функции относительно преобразований этих 4 координат. Так вот, электромагнитное поле, что удовлетворяет всем опытам, должно обладать симметрией

.
Что это дает в классическом смысле. Уравнения движения должны подчинятся правилам, которые прописаны как уравнения движения для зарядов. Ничего больше. Просто решение уравнений движения.
Насчет КТП, там всё на порядок сложнее. Считайте, что любое обращение к значению поля возможно только через взаимодействие с функцией поля нужного вам оператора. Пространство полей КТП--функциональное пространство.
Это вам краткое содержание, как сейчас понимают взаимодействия в физике.