Логики 0, 1 и 2 порядков.

[Anton_Peplov]

Vladimir Pliassov

Чтобы сделать первые шаги в исчислении высказываний, удобно смотреть на высказывания просто как на переменные, принимающие два возможных значения. В этом суть. У переменной из $\mathbb R$ бесконечное множество возможных значений, а у высказывания - ровно два. Их можно называть истиной и ложью, можно - единицей и нулем, можно - сеном и соломой. Суть не меняется, это лишь названия. Будем называть их нулем и единицей. Обозначим двухэлементное множество $\mathbb B = \{0, 1\}$.

Упражнение 1. Перечислите все функции $\mathbb B \to \mathbb B$. Сколько их? Найдите среди них константы и стандартную логическую связку НЕ.

Упражнение 2. Перечислите все функции $\mathbb B \times \mathbb B \to \mathbb B$. Сколько их? Найдите среди них константы и стандартные логические связки: НЕ, И, ИЛИ, исключающее ИЛИ, импликацию, равносильность, стрелку Пирса, штрих Шеффера.

[Vladimir Pliassov]

dgwuqtj в сообщении #1727510 писал(а):

Для логики высказываний, как и любой другой логики, есть синтаксис и семантика. Синтаксис — это просто логические формулы, правильно составленные из переменных и связок, плюс правила вывода (скажем, в стиле Гильберта или исчисление секвенций). Это абстрактные комбинаторные объекты, на этапе синтаксиса мы ничего не говорим про истину, ложь и т.д. Имеет смысл только спрашивать, выводится ли данная формула из данного набора при помощи наших правил.

А ещё есть семантика. Можно брать конкретное множество $\mathbb{B} = \{\text{истина}, \text{ложь}\}$, можно любую булеву алгебру. Это должно быть множество, на котором заданы обычные математические функции, которые соответствуют булевым связкам (например, логическое "И" будет конкретной функцией $\mathbb{B} \times \mathbb{B} \to \mathbb{B}$). Интерпретацией логики высказываний в таком множестве $\mathbb{B}$ называется сопоставление каждой формальной переменной какого-то элемента $\mathbb{B}$. И тогда каждую формулу можно при помощи интерпретации вычислить в какой-то элемент $\mathbb{B}$. Так что интерпретация по сути задаёт истинность формул.

Наконец, есть связь между синтаксисом и семантикой. У нас есть абстрактный вывод формул друг из друга, а есть интерпретации. Вот есть теорема, что если какие-то формулы истинны в некоторой интерпретации, то всё, что из них выводится, тоже истинно. А есть другая теорема, что некая формула $P$ не выводится из данных $Q_1, \ldots, Q_n$, то существует какая-то интерпретация, где все $Q_i$ истинны, а $P$ ложно. Это теоремы для интерпретаций в $\mathbb{B}$.

Так что формальный вывод (часть синтаксиса) позволяет проверять истинность (часть семантики).

Благодарю Вас за этот весьма содержательный пост! Я уже начал работу по его осмыслению и надеюсь со временем ее завершить.

Anton_Peplov в сообщении #1727542 писал(а):

Чтобы сделать первые шаги в исчислении высказываний, удобно смотреть на высказывания просто как на переменные, принимающие два возможных значения. В этом суть. У переменной из $\mathbb R$ бесконечное множество возможных значений, а у высказывания - ровно два. Их можно называть истиной и ложью, можно - единицей и нулем, можно - сеном и соломой. Суть не меняется, это лишь названия. Будем называть их нулем и единицей. Обозначим двухэлементное множество $\mathbb B = \{0, 1\}$.

Упражнение 1. Перечислите все функции $\mathbb B \to \mathbb B$. Сколько их? Найдите среди них константы и стандартную логическую связку НЕ.

Упражнение 2. Перечислите все функции $\mathbb B \times \mathbb B \to \mathbb B$. Сколько их? Найдите среди них константы и стандартные логические связки: НЕ, И, ИЛИ, исключающее ИЛИ, импликацию, равносильность, стрелку Пирса, штрих Шеффера.

Большое спасибо за это задание! Постараюсь выполнить его как можно лучше и представить результат Вам на проверку.

Someone в сообщении #1727537 писал(а):

Я нифига не понял, что Вы хотели "найти". Попробуйте сформулировать свои вопросы более отчётливо.

Главный вопросы:

1. Откуда взялось правило "Ложные импликации это те, у которых истинная посылка и ложное заключение, остальные импликации истинные" (в том числе и "из лжи следует истина", от которой "едет крыша")? Чем это правило обосновано?

(Кстати, у меня в тексте первого сообщения опечатка, написано: "Ложные импликации это те, у которых истинная посылка и истинное заключение". Но исправить я ее не могу, остается надеяться, что читатели поймут, что это опечатка.)

В учебниках (которые мне попадались) это правило дается как догма, и при этом приводятся бытовые примеры, вроде того, что кандидат в президенты что-то пообещал (у Клини?), чтобы хоть как-то эту догму обосновать. Я же в первом сообщении вывожу это правило, исходя из определения "Те высказывания, которые следуют из условий, назовем истинными, а те которые не следуют из условий -- ложными" и из строгого доказательства следования импликации из ложной конъюнкции:

Пусть $A=\top, B=\top$. Возьмем конъюнкцию $(A\wedge \neg B)$. Поскольку она ложная, то, если $A$ истинно, $\neg B$ истинно быть не может (иначе конъюнкция $(A\wedge \neg B)$ была бы истинной), значит, $\neg B$ ложно, и потому $B$ истинно.

(Правда, как выяснилось, формулировка этого обоснования у меня не во всем строгая, но над устранением этого недостатка я сейчас работаю.)

2. Чем определяется истинность простых высказываний?

(Истинность всех остальных, то есть составных, высказываний определяется через истинность простых.)

У меня она определяется условиями. Например, при условиях $A=\top, B=\top$ имеем $A=\top, B=\top$ -- очень просто.

Someone в сообщении #1727537 писал(а):

Логические связки ниоткуда не выводятся, они просто определяются своими таблицами истинности. Можно рассматривать всякие мотивировки, почему таблицы истинности именно такие, но любые мотивировки опираются на естественный язык, который, мягко выражаясь, не очень последователен.

Как я сказал, у меня мотивировка хотя бы отчасти строгая.

Someone в сообщении #1727537 писал(а):

Вы слишком много внимания уделяете мотивировкам, которые нужно понять и после этого больше не вспоминать.

Но ведь сначала надо понять? Вот это я и пытаюсь сделать.

Someone в сообщении #1727537 писал(а):

Объекты исчисления высказываний называются "высказываниями". О чём они "высказываются", на этом этапе абсолютно не интересно, потому что "высказываться" они могут о чём угодно.

Согласен.

Someone в сообщении #1727537 писал(а):

Истинность и ложность тоже никакими "условиями" не определяются. Молча предполагается, что откуда-то известно, истинно высказывание или ложно. Откуда именно — опять же никому не интересно, потому что от этого ничего не меняется.

А вот тут я бы хотел уточнить. Как я понимаю, Вы имеете в виду, что когда некоторые высказывания берутся в качестве условий рассуждения -- и тогда они в этом рассуждении полагаются истинными, -- не имеет значения, почему именно они, а не их отрицания, берутся в качестве условий. С этим я тоже согласен. Например, я в одном из своих примеров взял условиями:

Условие 1. $A=$ "сахар сладкий",

Условие 2. $B=$ "$2\times 2=5$", --

и для того, кто ведет рассуждение, исходя из этих условий, не имеет значения, почему я взял эти условия. Но в другом примере я взял другие условия:

Условие 1. $\neg A=$ "сахар не сладкий",

Условие 2. $B=$ "$2\times 2=5$", --

и опять для того, кто ведет рассуждение, не имеет значения, почему я взял эти условия, он просто исходит из них.

Но когда некоторые высказывания уже взяты в качестве условий, истинность всех высказываний в рассуждении зависит от этих условий.

Тут важный момент: при таком подходе истинность высказываний зависит от условий, а не от соответствия какой-то действительности, поэтому философию можно оставить в стороне.

Someone в сообщении #1727537 писал(а):

К тому же, у математиков много разных логик, и не обязательно с двумя значениями истинности, да и логические связки в них могут определяться иначе, но самая широко применяемая — именно классическая логика.

Я пока что беру самый простой -- двухместный -- случай самой простой логики -- логики высказываний.

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727561 писал(а):

Откуда взялось правило "Ложные импликации это те, у которых истинная посылка и ложное заключение, остальные импликации истинные" (в том числе и "из лжи следует истина", от которой "едет крыша")? Чем это правило обосновано?

А какие могут быть варианты?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727561 писал(а):

Откуда взялось правило "Ложные импликации это те, у которых истинная посылка и ложное заключение, остальные импликации истинные"

Это определение импликации. После второго задания от Anton_Peplov советую сделать третье: посчитать количетсво существенно зависящих от обоих аргументов функций $\mathbb B^2 \to \mathbb B$. У существенной части из них есть названия.

Вопрос больше из серии "почему кошку назвали кошкой". Могли бы назвать и как-то иначе.

[tolstopuz]

Someone в сообщении #1727537 писал(а):

У Вас я нашёл кустарную попытку построения классического исчисления высказываний.

Да, такое впечатление, что он доказывает $\neg A \lor B \vdash A \to B$, но не понимает, как это формализовать.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1727567 писал(а):

Да, такое впечатление, что он доказывает $\neg A \lor B \vdash A \to B$, но не понимает, как это формализовать.

Да, именно так! Но сейчас работаю над формализацией.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727570 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1727567 писал(а):

Да, такое впечатление, что он доказывает $\neg A \lor B \vdash A \to B$, но не понимает, как это формализовать.

Да, именно так! Но сейчас работаю над формализацией.

Так формализация давно уже есть, и не одна. Нужны аксиомы и правила вывода, которые будут настолько интуитивно понятны, что в них нет никаких сомнений. Посмотрите, например, $11$ аксиом на стр. $40$ второй части Верещагина-Шеня.

($1$) $A \to (B \to A)$ (истина следует из чего угодно)
($8$) $(A \to C) \to ((B \to C) \to ((A \lor B) \to C))$ (разбор случаев)
($9$) $\neg A \to (A \to B)$ (из лжи следует что угодно)

И единственное правило вывода $A, A \to B \vdash B$ (modus ponens).

Этого уже достаточно. Ибо:
1. $\neg A \to (A \to B)$ (аксиома $9$)
2. $B \to (A \to B)$ (аксиома $1$)
3. $(\neg A \to (A \to B)) \to ((B \to (A \to B)) \to ((\neg A \lor B) \to (A \to B)))$ (аксиома $8$)
И три раза modus ponens.

На естественном языке это тоже выглядит довольно просто, гораздо проще, чем у вас: по условию или $A$ ложно, или $B$ истинно (или и то и другое); если $A$ ложно, то из лжи следует что угодно, в частности $B$, а если $B$ истинно, то истина следует из чего угодно, в частности, из $A$.

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727561 писал(а):

А вот тут я бы хотел уточнить. Как я понимаю, Вы имеете в виду, что когда некоторые высказывания берутся в качестве условий рассуждения -- и тогда они в этом рассуждении полагаются истинными, -- не имеет значения, почему именно они, а не их отрицания, берутся в качестве условий. С этим я тоже согласен.

Если согласны, то и забудьте об этм. Фактически Вы пытаетесь прицепить интерпретацию к формальной теории, которая на этом этапе ни в какой интерпретации не нуждается. Интерпретация появится, когда Вы начнёте с помощью исчисления высказываний решать какие-то конкретные задачи. Для самого исчисления высказываний интерпретация не нужна, потому что в ней всё определяется чисто синтаксически: есть алфавит, есть правила построения формул, есть логические аксиомы, которые называются тавтологиями, и есть правило вывода (modus ponens — правило отделения). Всё остальное выводится из тавтологий с помощью правила вывода.

Vladimir Pliassov в сообщении #1727561 писал(а):

Откуда взялось правило "Ложные импликации это те, у которых истинная посылка и ложное заключение, остальные импликации истинные" (в том числе и "из лжи следует истина", от которой "едет крыша")? Чем это правило обосновано?

Ну вот в Википедии есть хороший пример.

Правило отделения выглядит так: $\frac{A,A\to B}B$.
Оно означает следующее: если истинны высказывания $A$ и $A\to B$, то истинно $B$.
Например, пусть высказывание $A$ означает "нечто есть металл", а $B$ — "нечто проводит ток". Тогда $A\to B$ можно прочитать как "если нечто есть металл, то оно проводит ток".
Например, если "нечто" — это медь, то, поскольку медь — металл, то медь проводит ток. Здесь высказывания $A$ и $B$ оба истинны.
Но ток проводят не только металлы. Например, солёная вода тоже проводит ток. Мы же имеем право подставить вместо "нечто" солёную воду? Имеем. Мы что угодно можем подставить.
Тогда высказывание $A$ утверждает, что "солёную вода есть металл" и является ложным, а высказывание $B$ утверждает, что "солёную вода проводит ток" и является истинным.
Но правилом отделения мы в этом случае воспользоваться не можем.

И обязательно сделайте упражнения, которые Вам рекомендовали.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727280 писал(а):

В самом деле, так как дизъюнкция $\neg A \vee B$ истинная, то если $A$ истинно, то есть $\neg A$ ложно, то $B$ уже ложно быть не может (иначе дизъюнкция $\neg A \vee B$ была бы ложной), значит, $B$ истинно, то есть если дизъюнкция $\neg A \vee B$ истинная, то из истинности $A$ следует истинность $B$.

Здесь вы используете доказательство от противного: пусть $A$ истинно; допустим, что $B$ ложно, тогда $\neg A \vee B$ ложно, что противоречит условию, значит, $B$ истинно. Но если у нас есть доказательство от противного и закон исключенного третьего ($B \lor \neg B$ истинно), то мы вполне можем доказать, что из лжи следует что угодно (то есть если $\neg A$ истинно, то $A \to B$, хоть даже если $B=$"я папа римский").

[Vladimir Pliassov]

dgwuqtj в сообщении #1727510 писал(а):

Vladimir Pliassov
Вы в итоге выкинули почти всю логику.

Прежде всего хочу снова сказать Вам спасибо за Вашу критику, она направила меня на знакомство с семантикой и синтаксисом, о которых я ничего толком не знал. Теперь, когда Вы, другие участники и ИИ частично просветили меня в этом вопросе (не могу замалчивать заслуги моего нового друга ИИ), позвольте мне не согласиться с Вами. Я не выкинул логику, а попытался найти её конструктивное основание. Я хочу предложить строгое обоснование таблицы истинности вместо того, чтобы брать ее как догму, в частности, строгое обоснование предложения "импликации из лжи следует ложь и из лжи следует истина истинны" -- через цепочку шагов, где мы сначала порождаем структуру связки $\to$, а затем даем ей семантическую оценку.

Возьмем Ex falso quodlibet.

Шаг 1. Переход от конъюнкции к импликативной структуре (заметьте, здесь я говорю не "к импликации", а "к импликативной структуре", чтобы не давать тому, к чему мы переходим, истинностной оценки). Пусть нам даны фиксированные условия: $\neg A=\top, \neg B=\top$. Из них семантически (новое слово для меня!) следует ложность конъюнкции $(A \wedge B)$. Переведем этот факт на язык правил рассуждения (синтаксиса). Что значит ложность конъюнкции? Это значит, что утверждения $A$ и $B$ не могут быть выполнены одновременно. Если мы гипотетически примем посылку, что $A$ истинно, то в силу ложности конъюнкции мы вынуждены заключить, что $B$ ложно (то есть истинно $\neg B$). Мы получили структуру рассуждения: «Приняв посылку $A$, мы с необходимостью приходим к заключению $\neg B$». В логике такая структура «вывод следствия из посылки» и фиксируется знаком импликации: $A \to \neg B$. На данном этапе мы не оцениваем её истинность, мы просто построили саму формулу (структуру импликации) из ложности конъюнкции.

Шаг 2. Транзитивность дедукции Свяжем цепочку воедино: из исходных семантических условий $\neg A=\top, \neg B=\top$ следует ложность конъюнкции $A \wedge B$. Из ложности конъюнкции $A \wedge B$ дедуктивно конструируется импликативная структура $A \to \neg B$. Следовательно, из условий $\neg A=\top, \neg B=\top$ по транзитивности логически выводится структура формулы $A \to \neg B$.

Шаг 3. Семантическая оценка и критерий истинности Теперь введем строгое определение (критерий):

Определение (критерий): высказывание называется истинным в данной системе условий, если оно синтаксически выводимо из этих условий.

Поскольку формула $A \to \neg B$ была выведена из условий $\neg A=\top, \neg B=\top$, мы согласно определению называем её истинной. Проделав аналогичные шаги для ложной конъюнкции $(A \wedge \neg B)$, мы построим формулу $A \to B$ и также назовем её истинной. Это и дает независимое (то есть не основанное на таблице истинности) обоснование принципу Ex falso quodlibet: обе импликации истинны, потому что их структура строго порождается условиями, а именно, исходной ложностью переменных.

tolstopuz в сообщении #1727580 писал(а):

Здесь вы используете доказательство от противного: пусть $A$ истинно; допустим, что $B$ ложно, тогда $\neg A \vee B$ ложно, что противоречит условию, значит, $B$ истинно.

Да! Я как-то о этом не думал, но это так.

tolstopuz в сообщении #1727580 писал(а):

Но если у нас есть доказательство от противного и закон исключенного третьего ($B \lor \neg B$ истинно), то мы вполне можем доказать, что из лжи следует что угодно (то есть если $\neg A$ истинно, то $A \to B$, хоть даже если $B=$"я папа римский").

Вы навели меня на мысль.

Ex falso quodlibet можно вывести как из двух ложных конъюнкций, так и из двух истинных дизъюнкций.

При условиях $\neg A=\top, \neg B=\top$ рассмотрим дизъюнкцию $\neg A\vee B$. Она истинна, и поэтому, если $\neg A$ ложно, то $B$ ложно быть не может, поэтому $B$ истинно, то есть, если $A$ истинно, то $B$ истинно: $A\to B$.

Но и дизъюнкция $\neg A\vee \neg B$ тоже истинна, и поэтому, если $\neg A$ ложно, то $\neg B$ ложно быть не может, поэтому $\neg B$ истинно, то есть, если $A$ истинно, то $\neg B$ истинно: $A\to \neg B$.

Обе эти импликации истинны (несмотря на их абсурдность с бытовой точки зрения), поскольку выводятся из данных условий ("$\neg A=\top, \neg B=\top$"), и вместе они составляют то, что называется Ex falso quodlibet.

tolstopuz в сообщении #1727575 писал(а):

На естественном языке это тоже выглядит довольно просто, гораздо проще, чем у вас: по условию или $A$ ложно, или $B$ истинно (или и то и другое); если $A$ ложно, то из лжи следует что угодно, в частности $B$, а если $B$ истинно, то истина следует из чего угодно, в частности, из $A$.

Это же и есть догма.

Задания постараюсь выполнить и на остальные комментарии ответить как можно скорее.

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727660 писал(а):

Это же и есть догма.

Простите, а что Вы называете "догмой"?

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727660 писал(а):

Это же и есть догма.

Догма для вас - это неинтуитивная аксиома? Можно признать аксиомой снятие двойного отрицания $\neg \neg A \to A$, которое вы считаете интуитивным, и вывести из него Ex falso quodlibet. Надеюсь, вы считаете достаточно очевидным принцип "истина следует из чего угодно"?

[Vladimir Pliassov]

Anton_Peplov в сообщении #1727542 писал(а):

Упражнение 1. Перечислите все функции $\mathbb B \to \mathbb B$. Сколько их? Найдите среди них константы и стандартную логическую связку НЕ.

Их четыре:

$f_1(x) = 0$ (для любого $x$) — константа ноль (всегда выдает $0$).

$f_2(x) = 1$ (для любого $x$) — константа единица (всегда выдает $1$).

$f_3(x) = x$ — тождественная функция (ничего не меняет).

$f_4(x) = 1 - x$ — стандартная логическая связка НЕ (отрицание): $f_4(0) = 1$, а $f_4(1) = 0$.

Anton_Peplov в сообщении #1727542 писал(а):

Упражнение 2. Перечислите все функции $\mathbb B \times \mathbb B \to \mathbb B$. Сколько их? Найдите среди них константы и стандартные логические связки: НЕ, И, ИЛИ, исключающее ИЛИ, импликацию, равносильность, стрелку Пирса, штрих Шеффера.

Здесь 4 пары аргументов: $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,0)$ или $(1,1)$. Всего 4 возможных входных набора условия. Для каждого из этих 4 наборов функция может выдать либо $0,$, либо $1$. Значит, всего таких функций существует $2^4 = 16$. Чтобы найти среди них все нужные связки, запишем их через результаты для четырех входных наборов в строгом порядке: $(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)$. Назовем этот вектор выходов «кодом» функции.

1. (0 0 0 0) -- константа $0$,

2. (0 0 0 1) -- конъюнкция,

3. (0 0 1 0) --

4. (0 0 1 1)

5. (0 1 0 0)

6. (0 1 0 1)

7. (0 1 1 0) -- исключающее ИЛИ (XOR, сложение по модулю $2$, $\oplus$),

8. (0 1 1 1) -- дизъюнкция,

9. (1 0 0 0) -- стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ, $\downarrow $)

10. (1 0 0 1) -- равносильность (эквивалентность, $\equiv $),

11. (1 0 1 0) -- не $y$,

12. (1 0 1 1)

13. (1 1 0 0) -- не $x$,

14. (1 1 0 1) -- импликация,

15. (1 1 1 0) -- Штрих Шеффера (И-НЕ, $\mid $)

16. (1 1 1 1) -- константа $1$

mihaild в сообщении #1727566 писал(а):

После второго задания от Anton_Peplov советую сделать третье: посчитать количество существенно зависящих от обоих аргументов функций $\mathbb B^2 \to \mathbb B$. У существенной части из них есть названия.

Что значит "существенно зависящих от обоих аргументов функций"? Разве не все они существенно зависят от обоих аргументов?

mihaild в сообщении #1727566 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1727561 писал(а):

Откуда взялось правило "Ложные импликации это те, у которых истинная посылка и ложное заключение, остальные импликации истинные"

Это определение импликации.

Это догматическое определение импликации, которое неотделимо от ее истинностной оценки, а я сначала из условий вывожу импликативную структуру, не имеющую истинностной оценки, а потом присваиваю ей эту оценку -- положительную ($1$), поскольку она выводима из условий. А если не выводима -- отрицательную оценку ($0$).

mihaild в сообщении #1727566 писал(а):

Вопрос больше из серии "почему кошку назвали кошкой". Могли бы назвать и как-то иначе.

Кстати о названиях: "истинное"/ "ложное" (высказывание) это просто кодовые слова, первое у меня означает выводимое из условий, второе -- не выводимое из условий или принадлежащее данной модели/ не принадлежащее данной модели. Но можно было бы взять другие кодовые слова, например, "красное"/ "синее" или "красное"/ "не красное".

Someone в сообщении #1727578 писал(а):

Тогда высказывание $A$ утверждает, что "солёная вода есть металл" и является ложным, а высказывание $B$ утверждает, что "солёная вода проводит ток" и является истинным.
Но правилом отделения мы в этом случае воспользоваться не можем.

Да, это понятно. Но если принять условие "солёная вода есть металл" за истинное, тогда сможем.

Geen в сообщении #1727564 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1727561 писал(а):

Откуда взялось правило "Ложные импликации это те, у которых истинная посылка и ложное заключение, остальные импликации истинные" (в том числе и "из лжи следует истина", от которой "едет крыша")? Чем это правило обосновано?

А какие могут быть варианты?

Конечно, если смотреть интуитивно, импликации "из истины истина" и "из истины ложь", наверное, всем понятны, и их можно исключить из рассмотрения. Но остальные две -- их куда? и на каком основании?

Geen в сообщении #1727667 писал(а):

Простите, а что Вы называете "догмой"?

Как я понимаю, догма это аксиома, но в бытовой речи слово "догма" имеет некоторый оттенок, что не имеет отношения к логике. Можно взять таблицу истинности как аксиому, не обосновывая ее, что обычно и делается, и тогда ее можно назвать догмой. Я попытался ее обосновать: то высказывание, которое выводится из условий (в замкнутой системе), в таблице истинности получает оценку $1$, а то высказывание, которое не выводится из условий, получает оценку $0$.

Если доказать догму, она перестает быть догмой.

tolstopuz в сообщении #1727670 писал(а):

Догма для вас - это неинтуитивная аксиома?

Нет, по-моему, интуиция здесь ни при чем: независимо от того, (интуитивно) легко или (интуитивно) трудно понять аксиому, она есть аксиома, при этом в быту она может называться догмой.

Но об интуитивных аксиомах: аксиома "истинно то высказывание, которое соответствует действительности" (она, кажется, принадлежит Аристотелю) не имеет смысла, пока не определено, что такое действительность. Если в двухместной логике высказываний одну из ее четырех моделей назвать действительностью, то можно говорить: "Высказывание истинно, если оно соответствует действительности".

tolstopuz в сообщении #1727670 писал(а):

Можно признать аксиомой снятие двойного отрицания $\neg \neg A \to A$, которое вы считаете интуитивным, и вывести из него Ex falso quodlibet.

Честно говоря, когда я писал первое сообщение этой темы, я особо не задумывался над тем, строгие или не строгие у меня понятия отрицания, двойного отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, но теперь -- благодаря критике участников -- задумываюсь.

warlock66613 в сообщении #1727301 писал(а):

Например, вот это:

Vladimir Pliassov в сообщении #1727280 писал(а):

Имеет место закон двойного отрицания $A=\neg \neg A$.

как я понимаю по смыслу происходящего, есть теорема.

В частности, сегодня попытался вывести двойное отрицание, опираясь на единственность отрицания (см. ниже).

Еще одно: я не выдумываю свою систему, мне надо просто описать двузначную логику высказываний (она состоит из 4 моделей.).

Попытка описания (пока неполного).

Существуют так называемые высказывания, каждое высказывание может быть как истинным, так и ложным (в разных моделях), но не может быть истинным и ложным одновременно (то есть в одной и той же модели). Для каждого высказывания $A$ существует одно и только одно отрицание, то есть такое высказывание $\neg A$, что $A$ и $\neg A$ не могут быть одновременно истинными или одновременно ложными, то есть обе конъюнкции

$$(A=\top) \wedge (\neg A= \top)\eqno (1)$$

и

$$(A=\bot) \wedge (\neg A= \bot)\eqno (2)$$

ложны. Другими словами,

$$(A=\top \Leftrightarrow \neg A=\bot), (A=\bot \Leftrightarrow \neg A=\top)$$

.

Из этого следует $\neg \neg A=A$. В самом деле,

$$(\neg A=\top \Leftrightarrow \neg \neg A=\bot), (\neg A=\bot \Leftrightarrow \neg \neg A=\top)$$

то есть обе конъюнкции

$$(\neg A=\top) \wedge (\neg \neg A= \top)\eqno (3)$$

и

$$(\neg A=\bot) \wedge (\neg \neg A= \bot)\eqno (4)$$

ложны (так же как и обе конъюнкции (1) и (2)). А так как для $\neg A$ по определению существует одно и только одно отрицание $C$, то есть такое высказывание $C$, что $A$ и $C$ не могут быть одновременно истинными или одновременно ложными, то $\neg \neg A=A$.

-- добавлено через 10 минут --

tolstopuz в сообщении #1727670 писал(а):

Надеюсь, вы считаете достаточно очевидным принцип "истина следует из чего угодно"?

Вот уж нет! -- с интуитивной точки зрения (разумеется, из-за той его части, которая представляет собой импликацию "из лжи следует истина"). Но когда я его вывожу -- из ложных конъюнкций или из истинных дизъюнкций -- он становится очевидным.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727774 писал(а):

Что значит "существенно зависящих от обоих аргументов функций"?

Функция существенно зависит от какого-то аргумента, если хотя бы иногда, поменяв этот аргумент, и не поменяв остальные, можно поменять значения функции.
Например $x \wedge y$ существенно зависит от $x$, потому что если $y = 1$, то при изменении значения $x$ значение функции изменится. А вот функция $\neg y$ не зависит от $x$ существенно - как ни меняй $x$, значение функции не изменится.

Vladimir Pliassov в сообщении #1727774 писал(а):

Это догматическое определение импликации, которое неотделимо от ее истинностной оценки, а я сначала из условий вывожу импликативную структуру

Не знаю, что такое "догматическое определение" и "импликативная структура". Таблица истинности - это стандартный способ определения булевых функций.
Альтернативой могло бы быть выписывание свойств, которым функция должна удовлетворять, и последующее доказательство единственности функции, им удовлетворяющей. Но в данном случае это не очень полезно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1727774 писал(а):

Кстати о названиях: "истинное"/ "ложное" (высказывание) это просто кодовые слова, первое у меня означает выводимое из условий , второе -- не выводимое из условий или принадлежащее данной модели/ не принадлежащее данной модели .

Безусловно, от переименования ярлыков ничего не меняется.
Но всё же не надо путать истинность и выводимость. Их связь - это довольно нетривиальная теорема.
Строго это всё строится так - у нас есть некоторый базовый набор булевых переменных, из которых мы можем собирать формулы. Оценкой этого набор называется функция из этого набора в истину/ложь. Дальше по таблице рекурсивно определяется истинность/ложность каждой формулы при данной оценке.
А вот выводимость формулы (из данного множества формул) означает, что можно получить данную формулу, начиная с формул из множества, по некоторым правилам вывода. Например есть правило modus ponens: $a, a \rightarrow b \vdash b$. Т.е. если мы уже вывели (или имели изначально) формулы $a$ и $a \rightarrow b$, то мы можем вывести $b$.
И есть некоторый набор правил вывода (классическое исчисление высказываний), и набор теорем (теоремы о дедукции, о корректности и о полноте), которые вместе говорят следующее: формула $A$ выводится (по этим правилам) из множества формул $S$ в том и только в том случае, когда при любой оценке, при которой все формулы из $S$ истинны, $A$ тоже истинна.

Vladimir Pliassov в сообщении #1727774 писал(а):

Но если принять условие "солёная вода есть металл" за истинное, тогда сможем

Нет, не сможем. Каким образом?

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727774 писал(а):

Но остальные две -- их куда? и на каком основании?

Посмотрите на таблицу всех функций, которую Вы написали, и предложите варианты.