Логики 0, 1 и 2 порядков.

[Vladimir Pliassov]

В этой теме заявлены логики нулевого, первого и второго порядков, но начать я хочу с первой из них. Элементы ее много обсуждались в темах topic157093.html и topic157976.html, и для меня это было блуждание в поисках истины. Потом я немного подумал (примерно полтора года) и пришел к тому, что написано ниже.

Я очень благодарен участникам за их неоценимую помощь, которую я получал до сих пор, и надеюсь, что они и впредь не оставят меня наедине с непонятными для меня вещами в математике (в логике). Надеюсь, в частности, что они выскажутся относительно того, правильно ли я теперь понимаю логику высказываний.

1.

Существуют высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно.

Для каждого высказывания $A$ существует высказывание $\neg A$ такое, что если $A$ истинно, то $\neg A$ ложно, и наоборот.

Имеет место закон двойного отрицания $A=\neg \neg A$.

Для логического рассуждения даются (берутся) условия, то есть некоторые высказывания.

Определение. Те высказывания, которые следуют из условий назовем истинными, а те которые не следуют из условий -- ложными.

Возьмем двухместный случай, то есть рассуждение, основанное на двух условиях:

Условие 1. $A=$ "сахар сладкий",

Условие 2. $B=$ "$2\times 2=5$."

Высказывание $A$ следует из условия $A$, значит, оно истинно, $A=\top$.

Так же и высказывание $B$ следует из условия $B$, значит, оно истинно, $B=\top$.

Конъюнкция $A\wedge B$ следует из условий, значит, она истинна, $(A\wedge B)=\top$.

Остальные три конъюнкции (их всего четыре) $\neg A\wedge \neg B$, $\neg A\wedge B$ и $A\wedge \neg B$ не следуют из условий и потому ложные,

$(\neg A\wedge \neg B)=\bot$,

$(\neg A\wedge B)=\bot$,

$(A\wedge \neg B)=\bot$.

Так же и дизъюнкции $\neg A \vee B$, $A\vee \neg B$, и $A\vee B$ следуют из условий 1., 2., поэтому назовем их истинными, а дизъюнкция $\neg A\vee \neg B$ не следует из условий 1., 2., поэтому назовем ее ложной.

Из каждой ложной конъюнкции следует две импликации (которые можно назвать сопряженными). В самом деле,

возьмем, например, конъюнкцию $(A\wedge \neg B)$. Поскольку она ложная, то если $A$ истинно, то $\neg B$ истинно быть не может (иначе конъюнкция $(A\wedge \neg B)$ была бы истинной), значит, $\neg B$ ложно, и потому $B$ истинно;

если же $\neg B$ истинно, то $A$ истинно быть не может (иначе конъюнкция $(A\wedge \neg B)$ была бы истинной), значит, $A$ ложно, и потому $\neg A$ истинно.

Таким образом, из ложности конъюнкции $(A\wedge \neg B)$ следуют импликации $A\to B$ (из истины истина) и $\neg B\to \neg A$ (из лжи ложь), то есть из того, что сахар сладкий следует, что $2\times 2=5$, а из того, что $2\times 2\neq 5$ следует, что сахар не сладкий.

Поскольку из условий 1., 2. следует ложность конъюнкции $(A\wedge \neg B)$, то из условий 1., 2. по доказанному следуют импликации $A\to B$ и $\neg B\to \neg A$, поэтому мы называем их истинными.

Аналогично

импликации $\neg A \to B$ -- из лжи истина -- (из того, что сахар не сладкий следует, что $2\times 2=5$) и $\neg B \to A$ -- тоже из лжи истина -- (из того, что $2\times 2\neq 5$ следует, что сахар сладкий) назовем истинными, так как они следуют из ложности конъюнкции $\neg A \wedge \neg B$ и потому из условий 1., 2.,

так же и импликации $\neg A \to \neg B$ -- из лжи ложь и $B\to A$ -- из истины истина назовем истинными, так как они следуют из ложности конъюнкции $\neg A \wedge B$ и потому из условий 1., 2..

Что же касается импликаций $A\to \neg B$ (из истины ложь) и $B\to \neg A$ (тоже из истины ложь), то они не следуют из условий 1.,2.: они следуют из ложности конъюнкции $A\wedge B$, а эта конъюнкция, исходя из условий 1., 2. не ложная, а истинная. Поэтому эти импликации назовем ложными.

[Как истинные, так и ложные импликации следуют из ложности конъюнкций, но в случае истинных импликаций конъюнкции, из которых они следуют, так сказать, "воистину" ложные, потому что их ложность следует из условий, а в случае ложных импликаций истинная конъюнкция наперекор условиям полагается ложной, и из этого полагания, то есть из дополнительного условия, противоречащего взятым основным условиям, следуют две импликации (которые мы называем ложными).]

2.

Изложенное рассуждение было, как сказано, основано на условиях $A,B$. Но можно взять другие условия, (всего их четыре пары:

($\neg A, \neg B$) --

Условие 1. $\neg A=$ "сахар не сладкий",

Условие 2. $\neg B=$ "$2\times 2\neq 5$",

($\neg A, B$) --

Условие 1. $\neg A=$ "сахар не сладкий",

Условие 2. $B=$ "$2\times 2=5$",

($A, \neg B$) --

Условие 1. $A=$ "сахар сладкий",

Условие 2. $\neg B=$ "$2\times 2\neq 5$,"

и ($A,B$) --

Условие 1. $A=$ "сахар сладкий",

Условие 2. $B=$ "$2\times 2=5$",

и тогда истинность импликаций соответственно поменяется.

Разумеется, импликации следуют не только из ложности конъюнкций, но и из истинности соответствующих, то есть эквивалентных этим импликациям, дизъюнкций, например, из истинности дизъюнкции $\neg A \vee B$ (которой соответствует ложность конъюнкции $A\wedge \neg B$) следуют импликации $A\to B$ и $\neg B \to \neg A$. В самом деле, так как дизъюнкция $\neg A \vee B$ истинная, то если $A$ истинно, то есть $\neg A$ ложно, то $B$ уже ложно быть не может (иначе дизъюнкция $\neg A \vee B$ была бы ложной), значит, $B$ истинно, то есть если дизъюнкция $\neg A \vee B$ истинная, то из истинности $A$ следует истинность $B$.

Так же и импликация $\neg B\to \neg A$ следует из истинности дизъюнкции $\neg A \vee B$,

В самом деле, так как дизъюнкция $\neg A \vee B$ истинная, то если $\neg B$ истинно, то есть $B$ ложно, то $\neg A$ уже ложно быть не может (иначе дизъюнкция $\neg A \vee B$ была бы ложной), значит, $\neg A$ истинно, то есть если дизъюнкция $\neg A \vee B$ истинная, то из истинности $\neg B$ следует истинность $\neg A$.

Но, по-моему, легче иметь дело с конъюнкциями, чем с дизъюнкциями, они легче для соображения, и я предпочитаю выводить импликации не из истинных дизъюнкция, а из ложных конъюнкций.

3.

Обратите внимание, как у меня определяется и доказывается истинность/ложность импликаций.

Я даю определение: "Истинными высказываниями называем те, которые следуют из данных (взятых) условий", -- и затем из этих условий я строго доказываю истинность или ложность любого высказывания, основанного на этих условиях, в том числе и импликаций.

Сравните это со следующим примером (сгенерированным ИИ), типичным для обычного обоснования истинности/ложности импликаций на бытовом уровне.

Пример 1: Договор и юридическая честность. Представь, что начальник дал обещание: «Если ты выполнишь план ($A$), то получишь премию ($B$)». Истина $\to$ Ложь (Ложно): Ты выполнил план ($A=1$), но премию тебе не дали ($B=0$). Начальник обманул? Да. Обещание ложно. Истина $\to$ Истина (Истинно): Ты выполнил план ($A=1$), и тебе дали премию ($B=1$). Всё честно. Ложь $\to$ Истина (Истинно): Ты НЕ выполнил план ($A=0$), но начальник был в хорошем настроении и всё равно дал премию ($B=1$). Нарушил ли он обещание? Нет, ведь про невыполнение плана условий не было. Договор не нарушен. Ложь $\to$ Ложь (Истинно): Ты НЕ выполнил план ($A=0$), и премии тебе НЕ дали ($B=0$). Всё справедливо, договор в силе.

4.

В начале всех учебников логики, которые мне попадались, дается такое определения истинности/ложности импликаций: импликация с истинной посылкой и ложным заключением истинна, остальные импликации истинны. При этом делаются попытки объяснить, почему это так. Но, очевидно, попытки эти все недостаточно убедительны, потому что после них у очень многих изучающих логику остаются вопросы, на которые они продолжают искать ответы всю оставшуюся жизнь. Так что им приходится брать это определение как догму, без понимания, почему оно такое.

Я пришел к тому же определению -- это можно найти в доказательстве следования импликаций из ложных конъюнкций, - но это определение у меня является доказанным утверждением.

Разумеется, я не изобрел новой логики, а только попытался объяснить ту, которая уже была.

[warlock66613]

У вас получился некий микс из логики и булевой алгебры. Логика высказываний, как она обычно понимается, -- это формальная теория, то есть штука, состоящая из 1) алфавита, 2) правил построения формул, 3) аксиом, 4) правил вывода. У вас ничего этого нет и ваша цель мне не совсем понятна. Если цель сформулировать логику как неформальную математическую теорию, то возникает вопрос а зачем.

Теперь если забыть про то, что я сказал выше и посмотреть на ваш текст так сказать в вакууме, то вот несколько серьёзных проблем.

Во-первых текст плохо структурирован. Не выделены определения, аксиомы, теоремы. Например, вот это:

Vladimir Pliassov в сообщении #1727280 писал(а):

Имеет место закон двойного отрицания $A=\neg \neg A$.

как я понимаю по смыслу происходящего, есть теорема.

Vladimir Pliassov в сообщении #1727280 писал(а):

Те высказывания, которые следуют из условий назовем истинными, а те которые не следуют из условий -- ложными.

Это определение конфликтует с этой аксиомой (?):

Vladimir Pliassov в сообщении #1727280 писал(а):

Каждое высказывание либо истинно, либо ложно.

Кроме того, оно и с законом двойного отрицания как будто не дружит.

Vladimir Pliassov в сообщении #1727280 писал(а):

Конъюнкция $A\wedge B$ следует из условий

На каком основании это утверждается?

[Vladimir Pliassov]

warlock66613 в сообщении #1727301 писал(а):

У вас получился некий микс из логики и булевой алгебры. Логика высказываний, как она обычно понимается, -- это формальная теория, то есть штука, состоящая из 1) алфавита, 2) правил построения формул, 3) аксиом, 4) правил вывода. У вас ничего этого нет ... текст плохо структурирован. Не выделены определения, аксиомы, теоремы...

Благодарю за критику! Я изложил свои соображения, как человек, не имеющий математического образования, поэтому изложение, очевидно, получилось недостаточно строгим.

warlock66613 в сообщении #1727301 писал(а):

ваша цель мне не совсем понятна. Если цель сформулировать логику как неформальную математическую теорию, то возникает вопрос а зачем.

Главные задачи сообщения это,

во-первых, выразить мысль о том, что истинность высказываний определяется данными (взятыми) условиями, а не соответствием какой-то непонятной действительности,

во-вторых, показать вывод импликаций из ложных конъюнкций (и истинных дизъюнкций) и, опираясь на определение "Те высказывания, которые следуют из условий, назовем истинными, а те которые не следуют из условий -- ложными", дать строгое (а не на бытовом уровне) основание для того, чтобы называть импликации истинными или ложными.

Например, пусть даны условие: $A$ и $B$ истинны, тогда конъюнкция $A\wedge B$ истинная, и потому конъюнкция $(A\wedge \neg B)$ ложная. Отсюда следует, что, если $A$ истинно, то $\neg B$ истинно быть не может (иначе конъюнкция $(A\wedge \neg B)$ была бы истинной), значит, $\neg B$ ложно, и потому $B$ истинно, то есть $A\to B$.

Поскольку ложность конъюнкции $A\wedge \neg B$ следует из условий ( $A$ и $B$ истинны), а из ложности конъюнкции $A\wedge \neg B$ следует импликация $A\to B$, то по транзитивности имеем вывод импликации $A\to B$ из условий, и поэтому по приведенному определению называем ее истинной.

У меня там обосновано также, когда импликация называется ложной.

warlock66613 в сообщении #1727301 писал(а):

Например, вот это:

Vladimir Pliassov в сообщении #1727280 писал(а):

Имеет место закон двойного отрицания $A=\neg \neg A$.

как я понимаю по смыслу происходящего, есть теорема.

Да, я вижу, что этим надо заняться.

warlock66613 в сообщении #1727301 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1727280 писал(а):

Те высказывания, которые следуют из условий назовем истинными, а те которые не следуют из условий -- ложными.

Это определение конфликтует с этой аксиомой (?):

Vladimir Pliassov в сообщении #1727280 писал(а):

Каждое высказывание либо истинно, либо ложно.

Как конфликтует? Каждое высказывание либо следует из условий, либо нет, соответственно, оно либо истинно, либо ложно.

warlock66613 в сообщении #1727301 писал(а):

Кроме того, оно и с законом двойного отрицания как будто не дружит.

Этим тоже надо заняться.

warlock66613 в сообщении #1727301 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1727280 писал(а):

Конъюнкция $A\wedge B$ следует из условий

На каком основании это утверждается?

В контексте по условиям $A=\top$ и $B=\top$, отсюда следует, что конъюнкция $A\wedge B$ истинна.

[Vladimir Pliassov]

warlock66613 в сообщении #1727301 писал(а):

вот несколько серьёзных проблем.

Я проконсультировался с ИИ, и он предложил вот такой ответ на Ваши комментарии (с этим ответом я, как мне кажется, согласен -- во всяком случае с его первым предложением -- хотя и не все в нем понимаю):

"Большое спасибо за точные замечания! Похоже, из-за отсутствия у меня профильного математического образования я не совсем корректно использовал терминологию, что вызвало путаницу между синтаксисом (формальным выводом) и семантикой (оценкой истинности). Попробую уточнить свою мысль в рамках ваших замечаний.

О замкнутости системы и независимых высказываниях. Я рассматриваю строго замкнутую систему, построенную над фиксированным базисом из двух атомарных высказываний $A$ и $B$ (всего 4 атомарных состояния/пары условий). В этой системе физически нет места «внешнему» независимому высказыванию $C$.

Определения истины и лжи через «условия». Когда я пишу «те, которые следуют из условий, назовем истинными, а те, которые не следуют — ложными», -- я имею в виду не синтаксическую выводимость (почему-то \vdash не выкладывается), а семантическое описание конкретной модели. Например, фиксируя пару условий (пусть $A = \top$ и $B = \top$), мы полностью определяем наш «мир». В этом мире высказывание $\neg A \vee \neg B$ содержательно не может быть истинным, поскольку оба его компонента противоречат условиям модели (по условию оба они ложны). Поэтому в данной конкретной модели мы оцениваем эту дизъюнкцию как ложную.

На каком основании конъюнкция $A \wedge B$ следует из условий? Вы правы, здесь у меня пропущен шаг. Чтобы система была строгой, мне необходимо явно задать семантические правила (аксиомы) для базовых связок конъюнкции ($\land $) и отрицания ($\neg $): Конъюнкция $A \wedge B$ истинна тогда и только тогда, когда истинны оба её компонента в рамках выбранных условий.

Закон двойного отрицания $A = \neg \neg A$ принимается как базовая аксиома операции отрицания.

В чём тогда цель? Моя цель — не изобрести формальное исчисление с правилами вывода строк, а показать, что классическая таблица истинности импликации ($A \to B$) содержательно и строго выводится из ложности соответствующей конъюнкции $(A \wedge \neg B)$ для каждого из 4 возможных типов состояний мира. Это позволяет уйти от «бытовых» или догматических объяснений импликации в учебниках, обосновав её через базовые свойства конъюнкции и отрицания в рамках выбранной модели.

Буду рад услышать, имеет ли право на жизнь такой семантический взгляд на импликацию, если аккуратно зафиксировать правила для конъюнкции и отрицания как стартовые аксиомы модели?"

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727315 писал(а):

Я проконсультировался с ИИ, и он предложил вот такой ответ на Ваши комментарии (с этим ответом я, как мне кажется, согласен -- во всяком случае с его первым предложением -- хотя и не все в нем понимаю)

Феерично.

[warlock66613]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727311 писал(а):

Каждое высказывание либо следует из условий, либо нет, соответственно, оно либо истинно, либо ложно.

А до этого вы утверждали, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно, причём безо всяких условий. А теперь оказывается, что одно и то же высказывание может быть истинным в одних условиях и ложным в других.

Vladimir Pliassov в сообщении #1727311 писал(а):

истинность высказываний определяется данными (взятыми) условиями

Это противоречит обычному пониманию истинности. Ваша истинность гораздо больше похожа на то, что в (мета)математике называется доказуемостью и это совсем не то же самое. Например, высказывание $C$ по вашей системе получается ложное (оно ведь никак не следует из $A$ и $B$), причём, судя по всему даже если оно совпадает по факту с истинным высказыванием $A$. А может и нет — точно сказать трудно, поскольку вы не дали точных определений.

Vladimir Pliassov в сообщении #1727311 писал(а):

отсюда следует, что конъюнкция $A\wedge B$ истинна

На основании чего вы утверждаете, что из истинности $A$ и истинности $B$ следует истинность $A \wedge B$?

И да, если я захочу пообщаться с ИИ, я прекрасно обойдусь без посредников.

[Ende]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727315 писал(а):

проконсультировался с ИИ, и он предложил вот такой ответ на Ваши комментарии (с этим ответом я, как мне кажется, согласен -- во всяком случае с его первым предложением -- хотя и не все в нем понимаю):

Цитировать ответы ИИ уместно только в темах, специально посвященных тестированию ИИ. Говорите от себя и только то, что понимаете.

[Vladimir Pliassov]

Ende в сообщении #1727341 писал(а):

Цитировать ответы ИИ уместно только в темах, специально посвященных тестированию ИИ. Говорите от себя и только то, что понимаете.

Спасибо, учту.

warlock66613 в сообщении #1727320 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1727311 писал(а):

Каждое высказывание либо следует из условий, либо нет, соответственно, оно либо истинно, либо ложно.

А до этого вы утверждали, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно, причём безо всяких условий. А теперь оказывается, что одно и то же высказывание может быть истинным в одних условиях и ложным в других.

Нет, я имел в виду, что даны условия, то есть что мы, так сказать, находимся в одном из четырех "миров", каждый из которых определяется выбором одной из четырех пар высказываний $(\neg A, \neg B),(\neg A, B),(A, \neg B),( A, B)$ (те высказывания, которые выбраны, считаются в соответствующем "мире" истинными). Так что одно и то же высказывание может быть истинно в одном "мире" и ложно в другом. Но, как вижу теперь, мне надо было уточнить, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно не безо всяких условий, а при данных (взятых) условиях.

warlock66613 в сообщении #1727320 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1727311 писал(а):

истинность высказываний определяется данными (взятыми) условиями

Это противоречит обычному пониманию истинности. Ваша истинность гораздо больше похожа на то, что в (мета)математике называется доказуемостью и это совсем не то же самое. Например, высказывание $C$ по вашей системе получается ложное (оно ведь никак не следует из $A$ и $B$), причём, судя по всему даже если оно совпадает по факту с истинным высказыванием $A$. А может и нет — точно сказать трудно, поскольку вы не дали точных определений.

Как мне объяснили, я рассматриваю строго замкнутую систему, построенную над фиксированным базисом из двух атомарных высказываний $A$ и $B$ (всего 4 атомарных состояния/пары условий). В этой системе физически нет места «внешнему» независимому высказыванию $C$. Но надо было указать, что система замкнута.

warlock66613 в сообщении #1727320 писал(а):

Например, высказывание $C$ по вашей системе получается ложное (оно ведь никак не следует из $A$ и $B$), причём, судя по всему даже если оно совпадает по факту с истинным высказыванием $A$.

А почему "даже если оно совпадает по факту с истинным высказыванием $A$"? Ведь если оно совпадает с высказыванием $A$, оно и есть высказывание $A$?

warlock66613 в сообщении #1727320 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1727311 писал(а):

отсюда следует, что конъюнкция $A\wedge B$ истинна

На основании чего вы утверждаете, что из истинности $A$ и истинности $B$ следует истинность $A \wedge B$?

Я и сам думал, что нужен переход от условий "$A$ истинно" и "$B$ истинно", к утверждению, что конъюнкция $A \wedge B$ истинна, но не знал, как совершить этот переход, но, оказывается, можно просто ввести определение "конъюнкция $A \wedge B$ истинна тогда и только тогда, когда истинны оба её компонента".

Но в остальном все в порядке? Или еще что-то не так?

[warlock66613]

Vladimir Pliassov в сообщении #1727350 писал(а):

можно просто ввести определение "конъюнкция $A \wedge B$ истинна тогда и только тогда, когда истинны оба её компонента"

Это определение годится для булевой алгебры, где нет высказываний, а есть переменные принимающие одно из двух возможных значений. Соответственно, если значение переменной задано как некая функция от других переменных ("истинна тогда и только тогда..."), то это полностью определяет всё, что можно про эту переменную сказать. Может вам вообще не связываться с матлогикой а ограничится булевой алгеброй? В матлогике нет переменных, а есть высказывания, где высказывание -- это неопределяемое понятие (как прямая и точка в геометрии). И коньюнкция в матлогике -- неопределяемая операция. То есть есть правило, что если существуют любые два высказывания $A$ и $B$, то существует некое высказывание $A$ и $B$ ($A \wedge B$), называемое коньюнкцией. И несколько аксиом, причём в весьма распространённой системе аксиом Гильберта вообще не упоминаются такие понятия как истина и ложь. Вот для примера как может выглядеть правильный текст из области логики высказываний.

(Теорема)

Теорема. Если $A \wedge B$, то $B \wedge A$.
Доказательство. Поскольку $A \wedge B$, $B$ и $A \to B \wedge A$ -- некоторые высказывания, то

$$(A \wedge B \to B \to A \to B \wedge A) \to (A \wedge B \to B) \to (A \wedge B \to A \to B \wedge A)\qquad(1)$$

-- это аксиома $(X \to Y \to Z) \to (X \to Y) \to (X \to Z)$ (следование "$\to$" у меня везде правоассоциативно).
Поскольку $B \to A \to B \wedge A$ и $A \wedge B$ -- высказывания, то

$$(B \to A \to B \wedge A) \to A \wedge B \to B \to A \to B \wedge A\qquad(2)$$

-- аксиома $X \to Y \to X$.
Аналогично,

$$B \to A \to B \wedge A\qquad(3)$$

-- аксиома $X \to Y \to X \wedge Y$.
Из $(3)$ и $(2)$ получаем (именно, поскольку $(3)$ есть посылка в $(2)$):

$$A \wedge B \to B \to A \to B \wedge A\qquad(4)$$

Аналогично, из $(4)$ и $(1)$ получаем

$$(A \wedge B \to B) \to (A \wedge B \to A \to B \wedge A).\qquad(5)$$

А поскольку $A \wedge B \to B$ -- аксиома, то из $(5)$ выводим

$$A \wedge B \to A \to B \wedge A.\qquad(6)$$

Также справедлива следующая аксиома:

$$(A \wedge B \to A \to B \wedge A) \to (A \wedge B \to A) \to (A \wedge B \to B \wedge A)\qquad(7)$$

-- это снова $(X \to Y \to Z) \to (X \to Y) \to (X \to Z)$.
Из $(6)$ и $(7)$ обычным порядком получаем

$$(A \wedge B \to A) \to (A \wedge B \to B \wedge A).\qquad(8)$$

А так как $A \wedge B \to A$ -- это опять-таки аксиома, то из $(8)$ наконец выводим

$$A \wedge B \to B \wedge A,$$

что и требовалось доказать.

Вопрос: похож ли ваш текст на что-то такое? Не похож. Тогда какое он имеет отношение к математической логике? Непонятно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1727350 писал(а):

ведь если оно совпадает с высказыванием $A$, оно и есть высказывание $A$?

А если оно совпадает, а доказать мы этого не можем?

Vladimir Pliassov в сообщении #1727350 писал(а):

Но в остальном все в порядке?

А в чём "остальном"? По-моему ничего не осталось.

[Vladimir Pliassov]

1.

warlock66613 в сообщении #1727361 писал(а):

Вопрос: похож ли ваш текст на что-то такое? Не похож. Тогда какое он имеет отношение к математической логике? Непонятно.

Да, конечно, мой текст в целом не претендует на строгую математическую работу (хотя в некоторых частях, я думаю, претендует). Но разве не интересно, что догмы об истинности/ложности импликаций я наглядно (конструктивно) доказываю? Что я даю разумное обоснование предложениям "из лжи следует ложь" и "из лжи следует истина", от которых у миллионов людей, как говорят "едет крыша"?

2.

Mikhail_K в сообщении #1644431 писал(а):

В математической логике нет понятий "исключается", "возникает", "существует" (применительно к высказываниям). Высказывания могут быть только верными или неверными.

Хочу сказать спасибо за эту критику, благодаря ей мне пришлось вместо "при исключении одной конъюнкции возникает две импликации" говорить "из ложности конъюнкции следует две импликации", что привело к написанию первого сообщения этой темы.

Хотя и предложение "при исключении одной конъюнкции возникает две импликации" не лишено смысла (это и ИИ подтвердил), но об этом в другой раз.

3.

А вот забавная вещь.

Пусть $A$ ложно, тогда конъюнкция $A\wedge \neg B$ ложна, и тогда, если $A$ истинно, то $B$ истинно.

Говорится: "Пусть $A$ ложно," -- и тут же: "и тогда, если $A$ истинно"... На того, кто это говорит, могут смотреть так, будто он не в себе. Но все логично.

[Vladimir Pliassov]

warlock66613 в сообщении #1727301 писал(а):

У вас получился некий микс из логики и булевой алгебры. Логика высказываний, как она обычно понимается, -- это формальная теория, то есть штука, состоящая из 1) алфавита, 2) правил построения формул, 3) аксиом, 4) правил вывода. У вас ничего этого нет

Хочу еще раз сказать Вам спасибо за Вашу критику! Благодаря ей я понял, что для рассуждения необходимо строгое обоснование. Ниже привожу попытку написать такое обоснование. Не могли бы Вы оценить его?

Для придания рассуждениям математической строгости зафиксируем правила нашей логической среды (её семантическую модель):

1. Замкнутость системы: Система строится строго на двух атомарных переменных $A$ и $B$. Никаких «внешних» независимых переменных в ней нет.

2. Интерпретация (Модель "мира"): Для логического рассуждения задаётся модель "мира" $W$. Она определяется выбором условий — фиксированного набора базовых суждений. Всего возможны 4 взаимно исключающих "мира" (состояния среды): $(\neg A, \neg B)$, $(\neg A, B)$, $(A, \neg B)$ и $(A, B)$. Выбранные в качестве условий высказывания мы полагаем истинными $(\top )$, а противоположные им высказывания (их отрицания) — ложными ($\bot $).

3. Стартовые семантические аксиомы: Чтобы связать высказывания между собой, мы принимаем правила их означивания: Аксиома отрицания ($\neg $): Высказывание $\neg X$ истинно тогда и только тогда, когда $X$ ложно. Аксиома конъюнкции $(\wedge)$: Сложное высказывание $X \wedge Y$ истинно тогда и только тогда, когда истинны оба его компонента $X$ и $Y$.(Дизъюнкция $X \vee Y$ вводится как производная операция по определению: $\neg (\neg X \wedge \neg Y)$). Из аксиомы конъюнкции строго следует логическое свойство (асимметрия ложной конъюнкции): если конъюнкция $X \wedge Y$ ложна, то при предположении, что её левый операнд $X$ истинен, правый операнд $Y$ семантически вынужден быть ложным.

При этом «следовать из условий» для сложной формулы означает, что её значение последовательно вычисляется как истина ($\top $) по данным правилам связок.

На этом строгом базисе введем

Определение. Те высказывания, которые следуют из условий назовем истинными, а те которые не следуют из условий -- ложными.

Возьмем двухместный случай ...

и далее по тексту первого сообщения темы (то есть начиная с 12 строчки).

Правда, слово "мир" в первом сообщении не встречается, но оно встречается в моих ответах далее по теме. Вообще же я собираюсь со временем переработать весь текст.

[Someone]

Может быть, сто́ит взять учебник математической логики?