Волновой импульс в механике Ньютона

[chislo_avogadro]

realeugene в сообщении #1726306 писал(а):

Это импульс "дополнительной" длины нити в шапочке, которая переместилась вперёд за 1 секунду на расстояние 1. Но есть ещё равный ей импульс "основной" нити, длина которой за 1 секунду равна 1 и расстояние перемещения вперёд равно $m_+$. Так что суммарно импульс шапочки равен таки $2 m_+$.

Это как-то неясно. Покажите хотя бы исходные формулы, как вычисляются эти две длины.

realeugene в сообщении #1726308 писал(а):

В стоячей волне поток импульса нулевой.

Ну и в закрытом ящике суммарный импульс всех молекул нулевой, а давление имеет место.

-- добавлено через 3 минуты --

realeugene в сообщении #1726308 писал(а):

Так отражаются все линейные волны от закоротки.

Вот, вы привели пример электромагнитной волны. Там вполне можно указать механизм её воздействия на отражающую стенку. Непонятно, почему вы отказываете в таком объяснении в случае механической волны.

[realeugene]

chislo_avogadro в сообщении #1726309 писал(а):

Ну и в закрытом ящике суммарный импульс всех молекул нулевой, а давление имеет место.

Ну проинтегрируйте сами.

-- добавлено через 57 секунд --

chislo_avogadro в сообщении #1726309 писал(а):

Там вполне можно указать механизм её воздействия на отражающую стенку.

Возбуждается в стенке ток, на него воздействует сила Лоренца. В случае механической волны воздействие чисто механическое.

-- добавлено через 1 минуту --

chislo_avogadro в сообщении #1726309 писал(а):

Покажите хотя бы исходные формулы, как вычисляются эти две длины.

realeugene в сообщении #1726203 писал(а):

Тогда дополнительная масса (и импульс при $v=1$, $\rho=1$) шапочки:

$$m_+=\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{y_x^2}2 dx}=A^2\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt2}$$

[chislo_avogadro]

realeugene в сообщении #1726310 писал(а):

Тогда дополнительная масса (и импульс при $v=1$, $\rho=1$) шапочки:

$$m_+=\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{y_x^2}2 dx}=A^2\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt2}$$

Это, как я понимаю, длина выпрямленной гауссианы (шляпки). Почему вы её удваиваете?

-- добавлено через 37 секунд --

realeugene в сообщении #1726310 писал(а):

Ну проинтегрируйте сами.

В ящик вместо молекул можно поместить излучение, например, в виде стоячих волн. Общий импульс нулевой. Что будет с давлением?

realeugene в сообщении #1726310 писал(а):

В случае механической волны воздействие чисто механическое.

Ну вот какое именно? Удар что-ли?

[realeugene]

chislo_avogadro в сообщении #1726312 писал(а):

Почему вы её удваиваете?

Это я показывал вам тут.

chislo_avogadro в сообщении #1726309 писал(а):

Это как-то неясно.

-- добавлено через 3 минуты --

chislo_avogadro в сообщении #1726312 писал(а):

Ну вот какое именно? Удар что-ли?

Наклон и только наклон. Удвоенный при отражении. Но с отражнием есть тонкость: нужно учитывать дополнительное растяжение/сжатие струны.

Почему наклон даёт он даёт только половину импульса проходящей шапочки? Это же тот же самый интеграл $m_+$.

-- добавлено через 53 секунды --

chislo_avogadro в сообщении #1726312 писал(а):

В ящик вместо молекул можно поместить излучение, например, в виде стоячих волн. Общий импульс нулевой. Что будет с давлением?

Это не ответ на предложение вам проинтегрировать самому.

[chislo_avogadro]

realeugene в сообщении #1726203 писал(а):

через дополнительную массу мы честно считаем импульс центра масс,

А вот любопытно, с какой скоростью у Вас движется центр масс. Ведь не со скоростью волны?
Вы приписываете импульс $mv$ массе, которая реально не движется со скоростью $v$.

-- добавлено через 2 минуты --

realeugene в сообщении #1726313 писал(а):

Это не ответ на предложение вам проинтегрировать самому.

Это ответ, почему такое интегрирование с необходимостью даёт нуль, и почему это не относится к вопросу о давлении на стенку.

[realeugene]

chislo_avogadro в сообщении #1726314 писал(а):

А вот любопытно, с какой скоростью у Вас движется центр масс. Ведь не со скоростью волны?

С нулевой. Струна бесконечная.

-- добавлено через 10 минут --

chislo_avogadro в сообщении #1726314 писал(а):

Это ответ, почему такое интегрирование с необходимостью даёт нуль, и почему это не относится к вопросу о давлении на стенку.

Афигеть! А когда футбольный мяч влетает в ворота, он заносит в них импульс, но не оказывает на створ ворот давления. Оказывается, в ТЭИ за поток импульса отвечают целых 9 независимых компонент с разным смыслом.

В общем с переносом импульса наклоном струны через координату пока что не понятно: где-то теряется половина импульса. Может быть и натяжение струны внутри шапочки уменьшается в дополнение к её наклону? При продольном ускорении/торможении центра шапочки? Кажется, порядок малости как раз нужный. Позже на компе проинтегрирую.

[realeugene]

realeugene в сообщении #1726320 писал(а):

Может быть и натяжение струны внутри шапочки уменьшается в дополнение к её наклону?

Ха, а это так и есть! При прохождении шапочки участки струны должны переместиться вперёд на расстояние $m_+$. Из второго закона Ньютона производная натяжения нити вдоль длины $T_x=-\rho a dx$. Далеко позади нить покоится и натяжение $T_0$, откуда $T_0-T=\rho u$ ($\rho=\operatorname{const}$), тут $u$ - горизонтальная скорость элемента струны. Если проинтегрировать это уменьшения натяжения струны под шапочкой по времени для фиксированной координаты, получится как раз вторая недостающая половина импульса $m_+$. Так что половина импульса такой шапочки переносится через фиксированную координату уменьшением натяжения струны под шапочкой, и вторая половина импульса - дополнительным уменьшением горизонтальной проекции натяжения струны при её наклоне. А вот скорость струны в переносе горизонтального импульса через фиксированную координату вообще никакой роли не играет.

[chislo_avogadro]

realeugene в сообщении #1726347 писал(а):

Так что половина импульса такой шапочки переносится через фиксированную координату уменьшением натяжения струны под шапочкой

Похоже на правду. Получается, что и в бегущей волне импульс можно связать с локальным уменьшением натяжения струны.

[realeugene]

chislo_avogadro в сообщении #1726385 писал(а):

realeugene в сообщении #1726347 писал(а):

Так что половина импульса такой шапочки переносится через фиксированную координату уменьшением натяжения струны под шапочкой

Похоже на правду. Получается, что и в бегущей волне импульс можно связать с локальным уменьшением натяжения струны.

Смотря как считать. Если импульс волны в фиксированный момент времени - это интеграл вдоль нити кинетического импульса. Если поток импульса через фиксированную координату - это интеграл по времени изменения горизонтальной проекции натяжения нити в этой координате. Ввиду закона сохранения импульса и несущественности других компонент при малой амплитуде волны, они равны.

[chislo_avogadro]

realeugene в сообщении #1726387 писал(а):

Смотря как считать.

Если выписать тензор из лагранжиана, то получаем всё и сразу -

$$\mathcal{L} = - T_0 + \left[\frac{1}{2}\rho_0 \left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2 - \frac{1}{2}T_0 \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2\right], $$

$$ T^{\mu\nu} = T^{\mu\nu}_{\text{без волны}} + T^{\mu\nu}_{\text{волны}} = \begin{pmatrix} T_0 + \mathcal{E}_{\text{волны}} & g \\ S & -T_0 + \mathcal{E}_{\text{волны}} \end{pmatrix}. $$

Натяжение струны, вызванное волной, $T^{11}$, равно плотности энергии.

$$T^{01} &= -\rho \frac{\partial u}{\partial t} \frac{\partial u}{\partial x} = g && \text{--- плотность импульса}. $$

[realeugene]

chislo_avogadro в сообщении #1726614 писал(а):

Если выписать тензор из лагранжиана, то получаем всё и сразу

Только это приближённый лагранжиан, не учитывающий продольную скорость элементов струны и нелинейности старших порядков. Проверять не буду, но хорошо если не потерялось ничего важного.

[chislo_avogadro]

realeugene в сообщении #1726615 писал(а):

Только это приближённый лагранжиан, не учитывающий продольную скорость элементов струны и нелинейности старших порядков.

Ну да, приближение. Это тот лагранжиан, который приводит к линейному волновому уравнению. Плотность импульса и натяжение, вызываемые волной, ищутся в том же приближении, соответственно и тензор.

[realeugene]

chislo_avogadro в сообщении #1726706 писал(а):

Ну да, приближение. Это тот лагранжиан, который приводит к линейному волновому уравнению. Плотность импульса и натяжение, вызываемые волной, ищутся в том же приближении, соответственно и тензор.

Только плотность импульса и изменение натяжения - это эффекты второго порядка. Как вообще получается какой-то горизонтальный импульс если в лагранжиане горизонтальное смещение элементов струны не учитывается никак?

[realeugene]

chislo_avogadro в сообщении #1726614 писал(а):

Если выписать тензор из лагранжиана

Можно поинтересоваться как именно вы это делаете? У вас нерелятитвистский лагранжиан, а в ньютоновской механике ещё нет единого ТЭИ. Есть только тензор напряжений, но в нём нет плотности импульса, только потоки через поверхности.

[amon]

realeugene в сообщении #1726745 писал(а):

У вас нерелятитвистский лагранжиан, а в ньютоновской механике ещё нет единого ТЭИ.

"Сохранение" энергии-импульса в СТО есть следствие инвариантности уравнений движения относительно группы преобразований Лоренца. Для любого волнового уравнения есть аналогичная группа инвариантности, отличающаяся заменой скорости света на "скорость звука". Соответственно, все формулы из СТО перетаскиваются на волновые уравнения соответствующими заменами.