Волновой импульс в механике Ньютона

[chislo_avogadro]

realeugene в сообщении #1725936 писал(а):

Как быть с размерностью?

Плотность массы на скорость, что не так?

realeugene в сообщении #1725936 писал(а):

Что такое тут $p$?

Погонная плотность импульса.

[realeugene]

chislo_avogadro в сообщении #1725935 писал(а):

Как я вижу, в воздействии струны на опору можно найти четыре составляющих силы - начальное натяжение, натяжение вследствие удлинения за счёт синусоидальной формы струны, давление потока импульса волны и уменьшение силы воздействия натяжения вследствие наклона струны в точке крепления.

Точка крепления ничего не знает про волны, бегающие по струне. Её просто струна тащит с некоторой средней силой, и на эту среднюю силу накладывается сила вверх-вниз на нечетных гармониках волны и влево-вправо на чётных. Можно ли натяжение струны считать постоянным вдоль струны? Наверное можно, если скорость звука в стали гораздо больше скорости поперечной волны в струне. Но при этом струна растягивается на двойной частоте, и в среднем на нулевой. И чем больше амплитуда колебаний - тем сильнее струна в среднем растянута. С потоком импульса волны можно связать только изменение среднего натяжения струны вдоль горизонтали, пропорциональное квадрату амплитуды. Струна с волной должна тянуть сильнее.

[realeugene]

chislo_avogadro в сообщении #1725935 писал(а):

Гугл даёт общую формулу для продольной скорости материала, в котором возбуждена поперечная волна, она совпадает, если учесть плотность, с вышеприведенной $p = -\rho\partial_t {\xi}\partial_x {\xi}$. Т.е. струна каким-то образом течёт в направлении волны...

Если струна нерастяжима - то она потечёт вперёд, да.

На эффектах второго порядка в механических волнах моя интуиция ломается. Даже в линейном материале для механических волн присутствуют геометрические нелинейности. Гармоническая механическая волна, поперечная или продольная, генерирует продольную волну на второй и более старших гармониках. С пройденным волной расстоянием генерируемые гармоники накапливаются, и при отсутствии диссипации энергии в конце концов возникает фронт ударной волны.

[chislo_avogadro]

realeugene в сообщении #1725971 писал(а):

На эффектах второго порядка в механических волнах моя интуиция ломается. Даже в линейном материале для механических волн присутствуют геометрические нелинейности. ...

Ну, через этот лес уже хорошо было бы какую-то тропинку протоптать. В электромагнетизме физика продольного импульса вроде ясна, а в механике почему-то нужно долго обсуждать. Но, как мне видится после прикидок, физика действия импульса на опору это просто наклон струны в точке крепления. Соответствующее уменьшение силы натяжения совпадает с потоком импульса по величине и фазе.

[realeugene]

chislo_avogadro в сообщении #1725973 писал(а):

В электромагнетизме физика продольного импульса вроде ясна

Там тоже импульс, передаваемый поглощаемой волной телу, выводится из силы Лоренца, действующей на токи, возбуждаемые поглощаемой волной в поверхности тела.

[chislo_avogadro]

realeugene в сообщении #1725938 писал(а):

чем больше амплитуда колебаний - тем сильнее струна в среднем растянута. С потоком импульса волны можно связать только изменение среднего натяжения струны вдоль горизонтали, пропорциональное квадрату амплитуды. Струна с волной должна тянуть сильнее.

Да, струна вследствие изменения формы при возникновении колебаний растягивается, для синусоидальной стоячей волны оценка даёт такую добавку к начальному натяжению $T_0 -$
$\Delta T = \dfrac{1}{4}T_0\left(\dfrac{v_{\text{звук в металле}}}{v}\right)^2k^2A^2\cos^2(\omega t).$

Если сравнивать её с приведённой ранее оценкой силы, обусловленной потоком импульса -

chislo_avogadro в сообщении #1725935 писал(а):

$F_3\equiv F_{rad}=F_4=\dfrac{1}{2}T_0k^2A^2\cos^2(\omega t),$

то видно, что она содержит величину, скорость звука в металле, которая делает такое сравнение невозможным. И эта сила на много порядков больше.

С потоком импульса волны с этой точки зрения можно связать только уменьшение $T_0$ вследствие наклона струны в точке закрепления.

[realeugene]

chislo_avogadro в сообщении #1726077 писал(а):

$\Delta T = \dfrac{1}{4}T_0\left(\dfrac{v_{\text{звук в металле}}}{v}\right)^2k^2A^2\cos^2(\omega t).$

Интересная форма выражения.

chislo_avogadro в сообщении #1726077 писал(а):

она содержит величину, скорость звука в металле, которая делает такое сравнение невозможным.

Почему невозможно? Вы же сраниваете.

chislo_avogadro в сообщении #1726077 писал(а):

И эта сила на много порядков больше.

Вот именно. И она пропорциональна квадрату амплитуды волны.

chislo_avogadro в сообщении #1726077 писал(а):

С потоком импульса волны с этой точки зрения можно связать только уменьшение $T_0$ вследствие наклона струны в точке закрепления.

Поток импульса связан с любой силой.

[chislo_avogadro]

realeugene в сообщении #1726121 писал(а):

chislo_avogadro в сообщении #1726077 писал(а):

она содержит величину, скорость звука в металле, которая делает такое сравнение невозможным.

Почему невозможно? Вы же сраниваете.

chislo_avogadro в сообщении #1726077 писал(а):

И эта сила на много порядков больше.

Вот именно. И она пропорциональна квадрату амплитуды волны.

Нет, я думаю это сравнение различных свойств. Среди слагаемых силы натяжения нужно отыскать те, которые имеют тот же, скажем так, "физический состав", что и поток импульса $vp$.

Возьмите материал струны, в котором скорость звука иная, и уже будет иное отношение этого вклада в натяжение и потока импульса волны, поскольку $v^2_{\text{звука}} \sim E/\rho$, а $v^2_{\text{волны}} \sim T/\rho.$ А для выражения выше, описывающего уменьшение натяжения за счёт наклона струны, оно неизменно.

realeugene в сообщении #1726121 писал(а):

chislo_avogadro в сообщении #1726077 писал(а):

С потоком импульса волны с этой точки зрения можно связать только уменьшение $T_0$ вследствие наклона струны в точке закрепления.

Поток импульса связан с любой силой.

Конечно. Но речь об импульсе волны.

[realeugene]

chislo_avogadro в сообщении #1725935 писал(а):

$p = -\rho\partial_t {\xi}\partial_x {\xi}$

Это просто продольная проекция механического импульса участка струны при условии, что участок перемещается поперёк наклонённой струны.

В первом приближении скорость волны в струне не зависит от частоты. Так что можно пустить по струне, например, одиночный гауссов импульс. Пожалуй я соглашусь: натяжение струны постоянно и не зависит от положения импульса на струне, но при отражении импульса от конечной точки закрепления, этой точке закрепления будет дополнительно передан удвоенный продольный механический импульс этой шапочки. И его можно связать с дополнительным импульсом, переносимым бегущей волной.

[realeugene]

chislo_avogadro в сообщении #1725935 писал(а):

$p = -\rho\partial_t {\xi}\partial_x {\xi}$

Хм... Если проинтегрировать волну в виде гауссовой шапочки малой амплитуды, по этой формуле у меня получается импульс в два раза больше, чем "дополнительную" масса шапочки умножить на скорость волны. Кто-то где-то ошибся.

А... А вторая половина дополнительного потока импульса внутри шапочки вроде получается как раз через уменьшение горизонтального натяжения струны из-за её наклона.

[realeugene]

Модель такая. По длинной струне летит шапочка $y(x, t)=A e^{-{(x - t)}^2}$ ($v=1$). Эффекты считаем до $o\left(A^2\right)$. Стрена натянута и её считаем нерастяжимой (эффектами дополнительного растяжения струны при ускорении её участков при прохождении шапочки пренебрегаем).

Тогда дополнительная масса (и импульс при $v=1$, $\rho=1$) шапочки:

$$m_+=\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{y_x^2}2 dx}=A^2\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt2}$$

.

А

$$\int_{-\infty}^{+\infty}{-y_x y_t dx}=A^2\frac{\sqrt\pi}{\sqrt2}=2 m_+$$

Объяснение через уменьшение потока импульса в струне из-за наклона струны мне не нравится: через дополнительную массу мы честно считаем импульс центра масс, и концы достаточно длинной нити горизонтальны.

[chislo_avogadro]

realeugene в сообщении #1726203 писал(а):

Объяснение через уменьшение потока импульса в струне из-за наклона струны мне не нравится: через дополнительную массу мы честно считаем импульс центра масс, и концы достаточно длинной нити горизонтальны

Хорошо, из сохранения импульса мы догадываемся, что где-то должна быть сила. Но каков у Вас её механизм воздействия на точку крепления? С учётом того, что сила эта должна быть направлена "наружу".

[realeugene]

chislo_avogadro в сообщении #1726222 писал(а):

Хорошо, из сохранения импульса мы догадываемся, что где-то должна быть сила. Но каков у Вас её механизм воздействия на точку крепления? С учётом того, что сила эта должна быть направлена "наружу".

Через выделенную координату при прохождении шапочки за одно и то же время переносится вперёд полная масса участка струны $m_+$ на расстояние, пропорциональное $m_+$, то есть перемещение массы переносит импульс $m_+^2=O\left(A^4\right)$. Значит через выделенную координату в пределе малой амплитуды весь импульс шапочки $m_+$ всегда переносится наклоном натянутой струны. Интеграл по шапочке это подтверждает. В точке крепения этот импульс удваивается из-за того, что отражённая волна противоположного знака уносит равный импульс: наклон струны там в два раза больше.

Но ваша формула $-y_x y_t$ применима к потоку импульса в одной волне, и она даёт удвоенное значение импульса. Видимо где-то потеряна двойка?

[chislo_avogadro]

realeugene в сообщении #1726228 писал(а):

Но ваша формула $-y_x y_t$ применима к потоку импульса в одной волне, и она даёт удвоенное значение импульса. Видимо где-то потеряна двойка?

Вообще-то приведенное выражение для импульса кажется довольно надёжным, его, как я вижу, получают из лагранжиана струны и оно в таком виде входит в тензор энергии-импульса $(T^{01})$.

Вы даёте свой способ определения импульса, и он, как я понял, даёт величину вдвое меньшую -

realeugene в сообщении #1726203 писал(а):

Тогда дополнительная масса (и импульс при $v=1$, $\rho=1$) шапочки:

$$m_+=\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{y_x^2}2 dx}=A^2\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt2}$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty}{-y_x y_t dx}=A^2\frac{\sqrt\pi}{\sqrt2}=2 m_+$$

Вопрос, действительно ли это импульс волны? Можно проверить, скажем, так - подсчитать энергию и убедиться, что выполняется $P = \frac{\mathcal{E}}{v}$.

-- добавлено через 3 минуты --

Но тут самое интересное, как мне кажется, это механизм действия на опору. Вы, как видно, берёте бесконечную струну и там этот вопрос не стоит.

[realeugene]

chislo_avogadro в сообщении #1726272 писал(а):

Можно проверить, скажем, так - подсчитать энергию и убедиться, что выполняется $P = \frac{\mathcal{E}}{v}$

Так энергия - это этот же интеграл почти этот же интеграл - $y_t$ вместо $y_x$. Но эти частные производные равны с точностью до знака при $v=1$ - соотношение выполняется.

-- добавлено через 2 минуты --

chislo_avogadro в сообщении #1726272 писал(а):

Но тут самое интересное, как мне кажется, это механизм действия на опору.

На опору действует стандартно. Отражается такая же волна противоположного знака, в результате опоре передаётся удвоенный импульс одной волны. Но ваше выражение даёт удвоенный импульс для одной шапочки.

-- добавлено через 4 минуты --

chislo_avogadro в сообщении #1726272 писал(а):

Вообще-то приведенное выражение для импульса кажется довольно надёжным, его, как я вижу, получают из лагранжиана струны и оно в таком виде входит в тензор энергии-импульса $(T^{01})$.

Но отличается в два раза от посчитанного в лоб.