Водяная воронка

[tehnolog]

Почитал сообщения, решил 5 коп. вставить.)))... Вижу картину так:
1).абсолютно невязкая жидкость должна уносить момент импульса в слив. И движение в итоге должно стать строго радиальным (если пренебречь силой Кориолиса). Но если жидкость обладает вязкостью, то она передает часть своего момента импульса прилегающим слоям, те в свою очередь, еще более удаленным от центра воронки слоям. В итоге вся жидкость окружающая воронку приобретает вращательное движение. Тут сила, связанная с градиентом давления - это центростремительная. Она не может изменять момента импульса жидкости ( момент центростремительной силы равен нулю). Но его меняет сила трения (вязкостная сила), которая действует по касательной к окружностям воронки, и момент которой не равен нулю. Момент импульса жидкости, окружающей воронку - накапливается. Это накопление идет за счет приобретения противомомента сливающейся жидкостью, вращательное движение которой несколько тормозится силой вязкостного трения. Таким образом, работает пара моментов вязкостных сил между соседними слоями - уменьшает момент импульса ближних к оси воронки слоев жидкости и увеличивает удаленных.
2). Торнадо рассматривать не стоит в этом ключе, там другая особенность - метеорологическая. Подробно можно почитать например тут "Теоретическая гидромеханика" М.: 1963, (Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе), стр. 166
3) Но мне не понятно другое.. Как жидкость протекающая через винтовую крыльчатку, которая покоится, приобретает вращательное (вихревое) движение. Потому что для невязкой жидкости это противоречит Теореме Томсона.. Но это уже другая тема..

[sergey zhukov]

tehnolog
1. Я тоже так это понимаю. В вязкой жидкости момент импульса стекает в сток медленее потока самой жидкости, как бы отфильтовывается от него (за счет вязкости распространяется против потока жидкости) и накапливается вокруг воронки (пока не наступит равновесие притока и стока момента импульса). Сам поток жидкости должен постоянно приносить момент импульса с периферии (иначе момент импульса в конце концов весь стечет).
Таким образом, в стационарном водовороте вязкой жидкости момент импульса жидкого кольца по мере сжатия к стоку вначале увеличивается, проходит через максимум, затем уменьшается до первоначального значения и сходит в сток. В потоке невязкой жидкости он остается постоянным. В обоих случаях имеется ввиду поток, который уже несет момент импульса с бесконечности.

2. Торнадо слишком сложен. Помимо самого хобота над ним огромное сложное грозовое облако, которое нельзя игнорировать. Я смотрел некоторые материалы по численному моделированию таких суперячеек (грозовых облаков, генерирующих торнадо) на суперкомпьютере. Там действительно много сложного. Я для себя понял, что нужно рассматривать случай попроще - пылевой дьявол.

3. Для идеальной жидкости кроме неразрывного потенциального потока есть еще решения с тангенциальными разрывами скорости (отрыв потока). Для таких решений жидкие контуры не сохраняют целостность при пересечении таких поверхностей, и теорема Томпсона неприменима. Т.е. задача обтекания тела идеальной жидкостью просто не имеет однозначного решения, есть решения с генерацией поверхностей тангенциального разрыва скорости (это по сути "вихревые поверхности"). И становится ясно, что нужно вводить вязкость, которая и определяет решение задачи обтекания тела однозначно.
Если же брать безразрывное потенциальное обтекание, то на крыльчатке поток идеальной жидкости никакого момента импульса не приобретает.

[sergey zhukov]

Положим, вязкая несжимаемая жидкость (вязкость $\mu $) единичной плотности течет от некоторой внешней круговой границы $R_0$ к центру. Течение стационарное, линии тока представляют собой в общем случае спирали. Начальная радиальная скорость $U_r(R_0)$, начальная тангенциальная скорость $U_t(R_0)$. Положим, течение осесимметричное, т.е. таково, что жидкое кольцо остается кольцом. Как будет зависимость тангенциальная составляющая скорости от радиуса $U_t=U_t(r)$?

Жидкость течет спирально. Поток момента импульса через границу $R_0$ складывается из потока момента импульса $M_1$:

$$\frac{{\partial}M_1}{{\partial}t}=2\pi R_0U_rU_tR_0=2\pi R_0^2U_rU_t$$

И потока момента импульса $M_2$ ( $\tau $ – касательные напряжения $\tau =-\mu \frac{dU_t}{\mathit{dr}}$):

$$\frac{{\partial}M_2}{{\partial}t}=2\pi R_0R_0\tau =-2\pi R_0^2\mu \frac{dU_t}{\mathit{dr}}$$

Общий поток импульса через поверхность $R_0$:

$$\frac{{\partial}M}{{\partial}t}=2\pi R_0^2\left(U_r(R_0)U_t(R_0)-\mu \frac{dU_t(R_0)}{\mathit{dr}}\right)=A$$

Этот поток сохраняется в любом сечении $r$ (из условия стационарности любого кольца):

$$ 2\pi r^2\left(U_rU_t-\mu \frac{dU_t}{\mathit{dr}}\right)=A$$

Функция $U_r=U_r(r)$ известна из условий несжимаемости:

$$ U_r\left(r\right)=\frac{R_0} rU_r(R_0)$$

Тогда получаем такое нелинейное дифференциальное уравнение:

$$2\pi r^2\left(\frac{R_0} rU_r(R_0)U_t-\mu \frac{dU_t}{\mathit{dr}}\right)=A$$

$$ -r^2\mu \frac{dU_t}{\mathit{dr}}+\mathit{rR}_0U_r\left(R_0\right)U_t=\frac {A}{2\pi}$$

В определение $A$ входит $\frac{dU_t(R_0)}{\mathit{dr}}$. Это определяет трение на внешней границе $R_0$.

Решение зависит от двух параметров. Интересно, что если задать нулевой поток момента импульса ($A=0$), то чисто радиальное течение - это только одно из возможных решений. Есть много других вариантов, когда поток с нулевым моментом импульса на бесконечности стекает в сток так же с нулевым моментом импульса, но не по радиальным прямым. Выглядит странно, мы такого вроде обычно не наблюдаем. Т.е. не всякая воронка является стоком для момента импульса.

Например, вот четыре разных линии тока частицы вязкой жидкости, которая движется из точки $(1,0)$ к центру:

Решения отличаются вязкостью. Самое вязкое течение спрямляется медленнее всех, менее вязкое - быстрее всех (для невязкого течения существует только радиальное решение). Все решения - с нулевым стоком момента импульса, т.е. частицы падают в сток в пределе радиально.

Что-то вроде "переворота кошки в свободном падении". В этом случае поток начинает на бесконечности радиальное падение, в процессе падения поворачивает на некоторый угол и заканчивает падение в стоке опять радиально.

[peg59]

schoolboy в сообщении #1429036 писал(а):

Автор утверждает, что все-таки наблюдает эффект Кариолиса для воронки в ванной.

Да ерунда это, с Кориолисом. Эффект слишком мал.
Всё просто объясняется асимметрией сливного отверстия. Одни отверстия закручивают по часовой стрелке, другие - против часовой. При значительной асимметрии можно даже пальцем закрутить воду в противоположную сторону, через некоторое время она снова закрутится в свою. (В детстве я этим увлекался, проверял гипотезу.) А если асимметрия мала, то можно закручивать в любую сторону, в какую закрутишь, в ту и продолжает крутиться, т. е. направление определяется какими-то случайностями.

[sergey zhukov]

peg59 в сообщении #1725856 писал(а):

При значительной асимметрии можно даже пальцем закрутить воду в противоположную сторону, через некоторое время она снова закрутится в свою.

Даже еще интереснее. Иногда можно видеть, как в ванной появляется воронка, закрученная, положим, вправо. А по мере уменьшения уровня воды она становится не стабильной, исчезает, и потом появляется, закрученная влево. Может быть, в это время притекают массы воды с другим моментом импульса, конечно.

Понятно, что в ванной и в раковине Кориолиса не увидишь, много более сильных эффектов. Нужно опыт ставить аккуратнее. Я тоже такие эксперименты проводил. В основном сильная зависимость от момента импульса жидкости, которая к моменту слива не до конца успокоилась. Если ее долго выдерживать перед сливом, то воронка может вообще не появиться.