Водяная воронка

[sergey zhukov]

Снова вернулся к вопросу образования водяной воронки. Вот в чем вопрос:

Возьмем осесимметричный сосуд с отверстием внизу, наполненный вязкой неподвижной жидкостью, подвесим его на нитке и откроем нижнее отверстие. Вся система, включая вытекающую жидкость, сохраняет нулевой момент импульса. Утверждается, что строго радиальное вытекание жидкости неустойчиво, т.е. рано или поздно должна образоваться воронка. Тогда жидкость на сливе приобретет момент импульса, а сосуд, следовательно, приобретет противоположный момент импульса.

Такой сосуд может приобрести момент импульса только за счет трения жидкости о его стенки. Причем ясно, что силы трения могут раскручивать сосуд только в направлении течения жидкости у стенок сосуда. Если предположить, что направление течения жидкости у стенок сосуда совпадает с направлением течения жидкости в воронке, то получается противоречие: сосуд раскручивается в том же направлении, что и вытекающая струя, что невозможно по закону сохранения импульса.

Значит, течение у стенок сосуда имеет направление, противоположное направлению течения этой жидкости в воронке. Т.е. когда малая часть жидкости в воронке закручивается в одну сторону с высокой скоростью, большая часть жидкости в сосуде закручивается в противоположную сторону с малой скоростью.

Допустим, подвешенный сосуд невесом. Тогда мы получаем, что сначала возникает воронка, направленная, скажем, по часовой стрелке. Это приводит к тому, что основная масса жидкости в сосуде начинает раскручиваться против часовой стрелки. Рано или поздно это должно привести к следующему. Либо направление вытекающей воронки должно смениться на противоположное и остаток жидкости вытечет закрученным в обратную сторону (нулевой момент импульса вытекшей жидкости сохраняется). Либо остаток жидкости, раскрученный вместе с сосудом в противоположную сторону, вообще перестанет вытекать из сосуда. Первый вариант, похоже, как раз часто наблюдается в ванной, когда воронка действительно меняет направление вращения.

Если сосуд зафиксировать (как это бывает обычно с ванной или раковиной), то мы по прежнему получаем, что при образовании воронки жидкость в воронке закручивается в одну сторону, а вся остальная жидкость - в другую. Причем эта противоположно закрученная часть постоянно тормозится вязким трением о стенки сосуда, и таким образом сосуд передает жидкости вращающий момент, который и приводит к тому, что вытекающая из ванны жидкость действительно имеет момент импульса бОльший, чем до вытекания.

Механизм раскручивания жидкости в воронке примерно такой же, как и механизм раскручивания по часовой стрелке спиральной трубки (правой), внутри которой против часовой стрелки катится с ускорением сверху-вниз массивный шарик. В воронке одни частицы жидкости движутся подобным образом вдоль других частиц, в результате чего жидкая "трубка" получает обратный импульс (по сути, как в паре "болт-гайка", которую выше приводили в пример.).

Если все это верно, то образование воронки - это, похоже, существенно трехмерный процесс? Его нельзя смоделировать в плоском случае?

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1540977 писал(а):

Если все это верно, то образование воронки - это, похоже, существенно трехмерный процесс? Его нельзя смоделировать в плоском случае?

Можно попробовать в осесимметричном. Тогда надо будет решать уравнения в двумерной области, что попроще.

[artur_k]

sergey zhukov в сообщении #1540977 писал(а):

Значит, течение у стенок сосуда имеет направление, противоположное направлению течения этой жидкости в воронке. Т.е. когда малая часть жидкости в воронке закручивается в одну сторону с высокой скоростью, большая часть жидкости в сосуде закручивается в противоположную сторону с малой скоростью.

А в системе отсчета, связанной с сосудом - вся жидкость закручивается в одну сторону. Соответственно,

sergey zhukov в сообщении #1540977 писал(а):

Если сосуд зафиксировать (как это бывает обычно с ванной или раковиной)

То тоже вся жидкость будет закручена в одну сторону. Конечно, если перейти в систему отсчета, связанную с удаленными звездами, то ванна вместе с землей и очень тонким пристенным слоем воды окажутся закручены в другую сторону :)

[sergey zhukov]

artur_k
Я взял невесомый сосуд для простоты. Если взять весомый, то относительно него жидкость именно закручивается вдоль стенок в обратном направлении, иначе такой сосуд нельзя было бы раскрутить.

В ванной есть реальный поток воды, закрученный противоположно движению воды в воронке. Иначе нельзя объяснить, откуда у вытекающей струи появляется момент импульса. Противоположный момент импульса частично накапливается в остатках воды в ванной, частично - передается стенкам ванны этими остатками через вязкое трение.

Есть хорошее упрощенное объяснение того, как это работает. Представим себе, что мы сделали твердую воронкообразную поверхность со спиральными канавками или прямо спиральными лопатками внутри (она плавучая), и вложили ее внутрь реальной водяной воронки. Тогда верхние слои воды текут в сток по поверхности нашей твердой воронки вдоль ее спиральных канавок или лопаток и раскручивают эту поверхность в противоположном направлении. Вода в глубине ванны, окружающая эту поверхность с обратной стороны, закручивается этой поверхностью при помощи вязкого трения в сторону, противоположную той, в которую вращается вода в спиральных канавках на поверхности.

В жидкости без такой поверхности происходит то же самое, только сложнее понять, каким образом.

[chislo_avogadro]

sergey zhukov в сообщении #1541052 писал(а):

В ванной есть реальный поток воды, закрученный противоположно движению воды в воронке. Иначе нельзя объяснить, откуда у вытекающей струи появляется момент импульса.

И наблюдения это подтверждают? Казалось бы, стенок сосуда достаточно, чтобы унести противоположный момент импульса...

[sergey zhukov]

chislo_avogadro
Так если около этих стенок не будет обратного потока воды и, соответственно, вязкого трения, то никакого отрицательного импульса от потока стенкам передано не будет, разумеется. А прямой поток в воронке может передать стенкам только свой, положительный импульс (это явно не то, что нужно).

Наблюдения я пока не проводил, но собираюсь.

[artur_k]

sergey zhukov
Еще раз, вот эпюра скоростей (конечно, она не линейная должна быть, но суть отражает) в лабораторной системе отсчета:

$$\tikz[scale=0.6]{\draw[very thick, black] (6,0) arc (0:180:6);\draw[-] (0,0) -- (0,6) node[above] {$V_s$};\draw[very thick,->] (0,1) -- (3,1);\draw[very thick,->] (0,2) -- (2,2);\draw[very thick,->] (0,3) -- (1,3);\draw[thin, gray] (4,0) arc (0:180:4);\draw[-] (-0.1,4) -- (0.1,4) node[above right] {$V_0=0$};\draw[very thick,->] (0,5) -- (-1,5);\draw[very thick,->] (0,6) -- (-2,6);\draw[-] (-2,6) -- (3,1);}$$

А это в системе отсчета, вращающейся с сосудом:

$$\tikz[scale=0.6]{\draw[very thick, black] (6,0) arc (0:180:6);\draw[-] (0,0) -- (0,6) node[above] {$V_s=0$};\draw[very thick,->] (0,1) -- (5,1);\draw[very thick,->] (0,2) -- (4,2);\draw[very thick,->] (0,3) -- (3,3);\draw[thin, gray] (4,0) arc (0:180:4);\draw[-] (-0.1,4) -- (0.1,4) node[above right] {$V_0$};\draw[very thick,->] (0,4) -- (2,4);\draw[very thick,->] (0,5) -- (1,5);\draw[-] (0,6) -- (5,1);}$$

[chislo_avogadro]

sergey zhukov в сообщении #1541069 писал(а):

Так если около этих стенок не будет обратного потока воды и, соответственно, вязкого трения, то никакого отрицательного импульса от потока стенкам передано не будет, разумеется.

Пусть имеется клин, способный без трения скользить по горизонтальной поверхности. На наклонной его плоскости есть жёлоб, по которому может катиться металлический шар. Шар передаёт импульс клину.

Теперь вместо шара пусть будет поток воды из бачка, закреплённого на клине сверху. Нужен ли "обратный поток" воды, чтобы клин получил импульс и пришёл в движение?

[sergey zhukov]

artur_k
В принципе, я согласен. Все тут правильно. Только пара замечаний:

1. Эта картинка почти верна для стационарного случая, т.е. когда жидкость и сосуд вращаются с неизменной скоростью (с поправкой на то, что эпюра скоростей жидкости в системе сосуда все же должна быть перпендикулярна стенке сосуда (иначе он будет продолжать ускоряться вязким трением)). Если рассматривать развитие процесса вытекания воды из подвешенного сосуда, то там нигде стационарное состояние не достигается, так что и в системе сосуда обратный поток наблюдаться все же будет. Проще всего представить очень тяжелый сосуд, который почти не раскручивается в процессе спуска воды. Очевидно, в системе такого сосуда все будет выглядеть почти как в лабораторной системе. Если сосуд делать все легче и легче, то да, картинка будет приближаться к вашей;

2. Я думаю, вы уже поняли, что даже если в системе сосуда нет обратного потока жидкости, то в лабораторной системе он как раз должен быть. Это у вас на картинке хорошо нарисовано.

chislo_avogadro
В этом случае с клином и желобом что шар, что поток жидкости - это одно и то же, разумеется. Вопрос в том, где в водяной воронке клин? Я то как раз хочу сказать, что клин - это просто другая часть той же жидкости.

Если сосуд - фигура вращения, то жидкость либо вообще не может получить момент импульса от сосуда (если нет трения), либо может получить его через трение, но тогда около стенок должен быть противоположный поток. Если же сосуд - не фигура вращения (скажем, имеет крыльчатку), то момент может быть передан потоку через давление . Мы этот случай не рассматриваем (хотя и здесь раскручивание сосуда в обратную сторону очевидно).

На самом деле происходит так: в зоне воронки часть потока получает правое вращение и уходит в слив. Другая часть потока получает левое вращение и уходит к стенкам сосуда, где при помощи трения частично передает момент импульса сосуду.

[chislo_avogadro]

sergey zhukov в сообщении #1541138 писал(а):

где в водяной воронке клин?

Можно сформулировать как задачу по механике. Имеется круглая коническая воронка, могущая свободно вращаться вокруг своей оси симметрии. С краю воронки под некоторым углом к образующей конуса запускается шар с некоторой заданной скоростью. Найти момент шара относительно оси воронки. Будет он меняться?
Возможно, вместо шара надо взять плоский предмет с некоторым малым трением о поверхность воронки.

Если вспомнить, как вода смерчем вытекает из бутылки, то в возможности противопотока сразу как-то возникает сомнение.

[sergey zhukov]

chislo_avogadro
Чтобы вода смерчем вытекала из бутылки, ее (воду) нужно предварительно сильно раскрутить. Это совсем другой случай - жидкость уже имеет значительный момент импульса. Если в бутылке (без дна и перевернутой) спокойная вода и мы открываем слив, то, скорее всего, воронка вообще не образуется за то время, пока выливается вода.

Если пускать шарик по гладкой воронке, то не очевидно, что там происходит с его моментом импульса (вообще, он может измениться, если шарик катится без проскальзывания, т.к. в этом случае есть не только нормальная, но и касательная составляющая реакции поверхности воронки, которая может изменить момент импульса шарика). Проще сразу рассматривать воронку со спиральным каналом, по которому катится шарик. Тогда все гораздо очевиднее (шарик, скользя и падая по каналу, раскручивается по направлению закрутки канала, воронка раскручивается в противоположную сторону). Поверхность водяной воронки, по моему, часто как раз ближе к спиральной поверхности, чем к поверхности вращения.

[artur_k]

Я хочу привести вас к мысли, что в закрепленном неподвижно сосуде никакого противотока не будет.

sergey zhukov в сообщении #1541138 писал(а):

Если рассматривать развитие процесса вытекания воды из подвешенного сосуда, то там нигде стационарное состояние не достигается, так что и в системе сосуда обратный поток наблюдаться все же будет.

Не усложняйте. Вот вы подвесили посудину массы $m$, в момент времени $t=0$ выдернули пробку, через время $\Delta t$ на высоте от дна $h$ замерили скорости жидкости вдоль радиуса. Получили эпюру, как на первой картинке. Теперь вы взяли точно такую же посудину, но массы $2m$. И через такое же время на такой же высоте измерили скорости. Поверхность нулевой скорости, обозначенная на рисунке серой линией, останется на месте? Или сместится? В какую сторону? А теперь, если повторять такой опыт, наращивая массу сосуда все больше и больше, в пределе до бесконечности, что будет происходить с поверхностью нулевой скорости?

[sergey zhukov]

artur_k
Эта задача плохо решается в плоском случае. Один поток течет по поверхности, другой - в глубине. Я бы тут не хотел все это обсуждать, т.к. придется рисовать объемное течение.

Самый простой довод все же такой: если сосуд подвешен, то закон сохранения момента импульса требует, чтобы в системе "оставшаяся жидкость-сосуд" момент импульса непрерывно нарастал (т.к. закрученная струя непрерывно уносит момент импульса).

Можно предположить такие варианты: либо в этой системе разрастается противоположно закрученный поток жидкости, либо нарастает момент импульса сосуда.

Предположим, что второе. Если взять очень массивный сосуд, то увеличение его момента импульса практически никак не скажется на его скорости, т.е. противопоток жидкости вроде бы не требуется.

Однако как в этой системе может нарастать момент импульса сосуда? Только через вязкое трение, которое оказывает на него обратный поток жидкости. Обратный поток первичен. В отсутствии трения он сам целиком обеспечивает нарастание момента импульса системы "оставшаяся жидкость - сосуд". При наличии трения он частично передает этот момент импульса сосуду, но и сам продолжает существовать (иначе никакой передачи момента импульса сосуду происходить не будет).

Но невозможна ситуация, когда обратного потока нет, а момент импульса сосуда нарастает.

[zykov]

Довольно типичная ситуация, когда в начале вытекающий поток закручен в одну сторону, а в конце он меняет направление закрученности.
Вот в вики:

Цитата:

В некоторых экспериментах[9] наблюдалось изменение направления вращения жидкости при приближении поверхности жидкости ко дну сосуда.

[artur_k]

sergey zhukov в сообщении #1541201 писал(а):

Но невозможна ситуация, когда обратного потока нет, а момент импульса сосуда нарастает.

Однако, когда вы переходите в неинерциальную систему отсчета, связанную с сосудом (а именно это происходит, когда вы рассматриваете неподвижно закрепленный сосуд), то скорость сосуда - ноль, ускорение - ноль, сила, действующая на него - тоже ноль, момент импульса сосуда не нарастает.

Когда вы раскручиваете детскую юлу, вас же не удивляет, что она приобретает момент импульса в одну сторону, а никаких частей с противоположным моментом импульса нет?