Вопросы chislo_avogadro о сравнении хода часов

[chislo_avogadro]

Geen в сообщении #1725362 писал(а):

Вы можете полагать что угодно, но не в ПРР.

Я ничего тут не утверждал в категорической форме. Почувствуйте разницу. Но можете сообщить, модератор решит.

[eslitak]

chislo_avogadro в сообщении #1725356 писал(а):

Значит, скорость в формуле ТС должна быть локальной (относительно локального покоящегося наблюдателя).

Да. Вам спасибо за понимание и уточнение, Cos(x-pi/2) за его идею с неподвижными часами "С" в нужной точке, и вообще всем за интерес к задаче.

chislo_avogadro в сообщении #1725356 писал(а):

И, хоть убей, его формула должна быть верна.

Я так понял, требующие "сигналов" не утверждают, что формула не верна, но отрицают целесообразность разговора об свойствах физического явления (в данном случае - замедления времени) без привязки к конкретным экспериментам. То есть, кроме рассматриваемого явления предлагается учесть ещё эффект Доплера, особенности распространения света через искривлённое пространство и, возможно, что-то ещё. Что же, наверное, с точки зрения профессионала такой подход правилен и прагматичен. Но в плане осмысления явления на уровне чуть выше научно-популярного (чуть выше - потому что всё же есть формула) он несколько перегружен, не так ли? "Этого слона нужно есть по частям"

[Mikhail_K]

eslitak в сообщении #1725366 писал(а):

Я так понял, требующие "сигналов" не утверждают, что формула не верна, но отрицают целесообразность разговора об свойствах физического явления (в данном случае - замедления времени) без привязки к конкретным экспериментам.

eslitak в сообщении #1725366 писал(а):

Но в плане осмысления явления на уровне чуть выше научно-популярного (чуть выше - потому что всё же есть формула) он несколько перегружен, не находите?

Убедитесь, что понимаете, что такое относительность одновременности. Убедитесь, что понимаете, как она относится к этому вопросу. Вопрос должен исчезнуть.

Ну, сильно упрощая, это как спрашивать "какова скорость Земли?" не указывая систему отсчёта. Относительно чего скорость? Проблема в бессмысленности вопроса без дополнительных пояснений. В этой теме вопрос немного другой, но ситуация аналогичная.

[eslitak]

Mikhail_K в сообщении #1725367 писал(а):

Убедитесь, что понимаете, что такое относительность одновременности. Убедитесь, что понимаете, как она относится к этому вопросу. Вопрос должен исчезнуть.

Насчёт относительности одновременности вопросов нет. Тем более что здесь про это уже обстоятельно разъяснили.

[Cos(x-pi/2)]

chislo_avogadro в сообщении #1725337 писал(а):

Разве здесь нельзя, не посылая сигналов, теоретически сравнить ход часов А и В? Которые по постановке задачи не находятся в одной точке?

chislo_avogadro, давайте попробуем.

Часы А теоретически описываются своей мировой линией в пространстве-времени (ПВ), а часы В - своей. Теория (СТО и ОТО) учит нас, что: а) свойства ПВ описываются некоей (подробности здесь важны, но я их опускаю) формулой для $(ds)^2,$ б) в нашей задаче смысл ds вот какой:

Обозначим, например, символами 1А и 2А произвольно взятые две точки на мировой линии А. И обозначим символами 3В и 4В произвольные две точки на мировой линии В. Точки в ПВ называются событиями. Для определённости считаем, что событие 2А происходит позже события 1А, а событие 4В позже события 3В.

На каждом бесконечно малом участке заданной мировой линии в ПВ упомянутая выше формула позволяет вычислить ds. На мировой линии А сумма таких ds, т.е. интеграл, от точки 1А до точки 2A даёт какое-то число; обозначим его как $\tau_{A,12}.$ И, аналогично, интегрируя ds на мировой линии В от точки 3В до точки 4В, получим какое-то число $\tau_{B,34}.$

Так вот, теория утверждает, что $\tau_{A,12}$ это промежуток (интервал) времени между событиями 1A и 2A на мировой линии А; то же самое другими словами: это разность двух показаний стандартных часов А. И, аналогично, $\tau_{B,34}$ это разность показаний часов В в точках 3В и 4В. Вычисляемое так (т.е. интегрированием ds на мировой линии часов) $\tau$ называется собственным временем на данной мировой линии.

Промежутки собственного времени на каждой заданной мировой линии зависят от нашего выбора событий на этой линии, а этот выбор произволен. Например, можем взять точки 1А и 2А такие, что промежуток времени между ними по часам А будет равен 1 секунде. И точки 3В и 4В можем выбрать так, что интервал между ними по часам В будет равен 1 секунде. А можем и как угодно по-другому их выбирать, так что оба интервала времени окажутся не равными и какими попало. В этом рассуждении они ничем не связаны друг с другом.

Вот если бы мировые линии пересекались в двух точках ПВ, то можно было бы взять в качестве интересующих нас событий эти две точки пересечения: 3В=1А это одно событие (расставание А с В), и 4В=2А это тоже одно событие (последующая встреча А с В). В этом случае есть смысл сравнивать $\tau_{A,12}$ с $\tau_{B,12}.$ Какая из этих величин меньше, те часы и постарели меньше от точки расставания до точки встречи, т.е. "шли медленнее". Такая картина обсуждается в "парадоксе близнецов" (но он не парадокс, а лишь кажется парадоксом тем людям, которые не знакомы с понятием "собственное время").

На непересекающихся мировых линиях А и В можно было бы ввести в дело осмысленное сравнение промежутков собственного времени, если бы в теории существовало инвариантное понятие одновременности событий. Ведь тогда можно было бы выбирать 3В как одновременное с 1А, а 4В - как одновременное с 2А, и тогда соотношение $\tau_{A,12}$ с $\tau_{B,34}$ получалось бы уже не произвольным. Но такого понятия одновременности в теории относительности нет.

Остаётся вот что: ввести в дело какой-то стандартный "способ переноса чего-то" между удалёнными друг от друга мировыми линиями.

На роль стандартного физически доступного средства связи событий хорошо подходит световой сигнал. Например, пусть в точке 1А сигнал испускается, в точке 3В он принимается; в точке 2А испускается ещё один сигнал, в точке 4В он принимается. Тогда соотношение между $\tau_{A,12}$ и $\tau_{B,34}$ не будет произвольным, если в постановке задачи задана формула для $(ds)^2$ и заданы формулы мировых линий А и В; при этом мировые линии световых сигналов вычисляются из условия ds=0 на световых мировых линиях.

В таком духе и была поставлена задача, ход решения которой выше подробно изложил SergeyGubanov (и менее подробно я). Отличие только в том, что два световых сигнала там испускались не часами А, а часами В, и не с каким попало интервалом собственного времени между этими событиями, а с бесконечно малым $\delta \tau_B.$ Принимались сигналы часами А с интервалом собственного времени этих часов $\delta \tau_A.$ В итоге было найдено соотношение между этим интервалом и $\delta \tau_B.$

[chislo_avogadro]

Cos(x-pi/2)
Спасибо за пояснения, они мне понятны, с Вами всегда приятно иметь дело. Но мне всё же не ясно, почему нельзя обойтись без сигналов. Поясню, что я имею ввиду, следующим вроде как простым расчётом.

Берём интервал в метрике Шварцшильда для радиального движения

$$d t_B^2 = \left (1-\dfrac{r_s}{r}\right )dt^2 - \left (1-\dfrac{r_s}{r}\right )^{-1}\dfrac{dr^2}{c^2},$$

$$d t_B^2 = \left (1-\dfrac{r_s}{r}\right )dt_A^2 - \left (1-\dfrac{r_s}{r}\right )^{-1}\dfrac{dr^2}{c^2}.$$

Здесь появился индекс у $t$, поскольку считаю, что $d t = d t_A.$

Отсюда

$$\left(\frac{dt_B}{dt_A}\right)^2 = \left (1-\dfrac{r_s}{r}\right ) - \left (1-\dfrac{r_s}{r}\right )^{-1}\dfrac{v_{koord}^2}{c^2}.$$

Связь между координатной и локальной скоростями считаем известной:

$$v_{koord} = \left (1-\dfrac{r_s}{r}\right )v_{loc},$$

и в итоге получаем

$$dt_A = dt_B\sqrt{ \left (1-\dfrac{r_s}{r}\right ) \left (1-\dfrac{v_{loc}^2}{c^2}\right )},$$

т.е. формулу, данную ТС. В чём тут ошибка? Или ошибки.

[realeugene]

chislo_avogadro в сообщении #1725402 писал(а):

и локальной скоростями

Это что такое?

chislo_avogadro в сообщении #1725402 писал(а):

считаем известной

Она дана богами?

[Geen]

chislo_avogadro в сообщении #1725402 писал(а):

обойтись без сигналов

chislo_avogadro в сообщении #1725402 писал(а):

считаю, что $d t = d t_A.$

На каком основании?

chislo_avogadro в сообщении #1725402 писал(а):

Связь между координатной и локальной скоростями считаем известной

Откуда? И что именно тут называется "локальной скоростью"?

chislo_avogadro в сообщении #1725402 писал(а):

т.е. формулу, данную ТС

Нет, ТС написал другую формулу. Она выглядит похожей, но принципиально другая.

chislo_avogadro в сообщении #1725402 писал(а):

В чём тут ошибка?

И что же полученная формула выражает? Напишите подробно, пожалуйста.

[chislo_avogadro]

Предложу мысленный эксперимент, подтверждающий, как я думаю, эту формулу.
Пусть рассматриваемое ТС падающее тело содержит некую среду, испускающую фотоны частотой $\omega_B$. Неподвижный наблюдатель С на том же радиусе $r$ вблизи В имеет среду, поглощающее это излучение на частоте, которая должна быть

$$\omega_C = \omega_B{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.$$

Далее среда C излучает поглощённые фотоны уже с частотой

$$\omega_C' = \omega_C{\sqrt {1-\frac {r_s}{r}}},$$

поскольку находится в гравитационном потенциале. И с этой частотой фотон придёт в А. По частотам можно сравнить времена.

[Mikhail_K]

chislo_avogadro
Если Вы уже отождествили координатное время с временем удалённого наблюдателя A ("считаю, что $dt=dt_A$"), то, разумеется, больше никакие сигналы Вам не нужны: ведь "локальное" время (время по часам наблюдателя B) с координатным сравнивать можно непосредственно.
Потому что координата $t$ есть в любой точке пространства-времени, не нужно посылать сигнал чтобы её "поймать".

На языке сигналов объясняется, почему и в каком смысле координатное время можно считать "временем удалённого наблюдателя". Ведь это непонятно само по себе: удалённый наблюдатель далеко, а координатное время можно определять непосредственно и сразу. И этим отождествлением вообще необязательно пользоваться. Координатное время в ОТО не обязано совпадать с показаниями каких бы то ни было часов.

В целом, вызывает удивление желание "обойтись без сигналов", используя вместо этого цепочки формул. У формул должен быть смысл, и сигналы его объясняют.

[chislo_avogadro]

realeugene в сообщении #1725404 писал(а):

chislo_avogadro в сообщении #1725402 писал(а):

и локальной скоростями

Это что такое?

Это скорость падающего тела фиксируемая неподвижным, находящимся на том же радиусе наблюдателем С.

realeugene в сообщении #1725404 писал(а):

chislo_avogadro в сообщении #1725402 писал(а):

считаем известной

Она дана богами?

Ну почему же, вполне смертными

$$v_{loc} = \dfrac{ \left(\sqrt{1-\dfrac{r_s}{r}}\right)^{-1}dr}{\sqrt{1-\dfrac{r_s}{r}}dt}.$$

-- добавлено через 1 минуту --

Mikhail_K в сообщении #1725407 писал(а):

Если Вы уже отождествили координатное время с временем удалённого наблюдателя A ("считаю, что $dt=dt_A$"), то, разумеется, больше никакие сигналы Вам не нужны: ведь "локальное" время (время по часам наблюдателя B) с координатным сравнивать можно непосредственно.

Это интересно, спасибо, тут надо подумать...

[SergeyGubanov]

chislo_avogadro в сообщении #1725408 писал(а):

$$v_{loc} = \dfrac{ \left(\sqrt{1-\dfrac{r_s}{r}}\right)^{-1}dr}{\sqrt{1-\dfrac{r_s}{r}}dt}.$$

Здесь $\frac{dr}{dt}$ берётся в точке $r$.

А в Ваших формулах выше была $\frac{dr_{B}}{dt_{A}}$ в которой дифференциал $d r_{B}$ брался в точке $r_B$, а дифференциал $dt_A$ брался в бесконечно удалённой точке $r_A \to \infty$.

-- добавлено через 11 минут --

chislo_avogadro в сообщении #1725402 писал(а):

$$dt_A = dt_B\sqrt{ \left (1-\dfrac{r_s}{r}\right ) \left (1-\dfrac{v_{loc}^2}{c^2}\right )},$$

т.е. формулу, данную ТС. В чём тут ошибка? Или ошибки.

На самом деле, здесь $t_A$ - это координатное время Шварцшильда в точке $r$.

[chislo_avogadro]

SergeyGubanov в сообщении #1725409 писал(а):

chislo_avogadro в сообщении #1725402 писал(а):

$$dt_A = dt_B\sqrt{ \left (1-\dfrac{r_s}{r}\right ) \left (1-\dfrac{v_{loc}^2}{c^2}\right )},$$

т.е. формулу, данную ТС. В чём тут ошибка? Или ошибки.

На самом деле, здесь $t_A$ - это координатное время Шварцшильда в точке $r$.

Здесь я просто перепутал индексы времён в конечном выражении, перед ним была правильная формула -

chislo_avogadro в сообщении #1725402 писал(а):

Отсюда

$$\left(\frac{dt_B}{dt_A}\right)^2 = \left (1-\dfrac{r_s}{r}\right ) - \left (1-\dfrac{r_s}{r}\right )^{-1}\dfrac{v_{koord}^2}{c^2}.$$

Конечно, должно было быть

$$dt_B = dt_A\sqrt{ \left (1-\dfrac{r_s}{r}\right ) \left (1-\dfrac{v_{loc}^2}{c^2}\right )}$$

Насчёт остального посмотрю.

-- добавлено через 7 минут --

Mikhail_K в сообщении #1725407 писал(а):

Если Вы уже отождествили координатное время с временем удалённого наблюдателя A

Попробуем так - в метрике Шварцшильда при неограниченном росте $r$ будет $dt_B = dt.$ Т.е. время В совпадёт с координатным. Почему это должно быть иначе для А?

[SergeyGubanov]

chislo_avogadro в сообщении #1725410 писал(а):

$$dt_B = dt_A\sqrt{ \left (1-\dfrac{r_s}{r}\right ) \left (1-\dfrac{v_{loc}^2}{c^2}\right )}$$

Давайте собственное время наблюдателя "B" в точке $r=r_B$ обозначим $\tau_{B}$, а координатное время Шварцшильда в точке $r = r_B$ обозначим $t_B$, тогда между ними будет вот такая связь:

$$ d \tau^{2}_{B} = \left(1 - \frac{r_g}{r_B} \right) d t^{2}_{B} - \frac{d r^{2}_{B}}{1 - \frac{r_g}{r_B} } $$

То же самое с наблюдателем "A":

$$ d \tau^{2}_{A} = \left(1 - \frac{r_g}{r_A} \right) d t^{2}_{A} - \frac{d r^{2}_{A}}{1 - \frac{r_g}{r_A} } $$

Свет из "B" в "A" распространяется согласно уравнению

$$ 0 = \left(1 - \frac{r_g}{r} \right) d t^{2} - \frac{d r^{2}}{1 - \frac{r_g}{r} } $$

То есть вот так:

$$ t_{A} = t_{B} + \int^{r_A}_{r_B} \frac{dr}{1 - \frac{r_g}{r}}. $$

Осталось соединить эти формулы вместе.

-- добавлено через 9 минут --

chislo_avogadro в сообщении #1725410 писал(а):

Попробуем так - в метрике Шварцшильда при неограниченном росте $r$ будет $dt_B = dt.$ Т.е. время В совпадёт с координатным. Почему это должно быть иначе для А?

Дифференциал $d t$ скалярной функции $t(x)$ - это ковектор (или 1-форма) $U_{\mu}(x) = \frac{\partial t }{\partial x^{\mu}}$ в кокасательном пространстве $T^{\star}_{x} (M)$ в точке $x$ многообразия $M$, и в разных точках $x$ многообразия $M$ кокасательные пространства $T^{\star}_{x} (M)$ разные.

$$ d t = \frac{\partial t }{\partial x^{\mu}} \, dx^{\mu} $$

А собственное время $\tau$ - это длина мировой линии. Между дифференциалом длины мировой линии $d \tau$ и дифференциалом скалярной функции $d t (x)$ как бы есть значительная разница.

[Cos(x-pi/2)]

chislo_avogadro в сообщении #1725402 писал(а):

в итоге получаем <...> т.е. формулу, данную ТС. В чём тут ошибка?

chislo_avogadro, участники обсуждения Вам уже ответили, но так как Вы адресовали вопрос мне, то тоже попытаюсь ответить (примерно то же самое, по возможности простыми словами):

В самом начале Вашего вывода формулы для $d\tau_B^2$ величина dt это интервал координатного времени в окрестности той точки ПВ с координатами (t,r), через которую проходит мировая линия часов В. Наглядно: dt это приращение координаты t на координатной линии r=const (вблизи источника тяготения), которую пересекает мировая линия В.

Вы пишете, что Вам были понятны мои пояснения. Если так, то Вы понимаете, что в теории показания любых часов определяются собственным временем на мировой линии данных часов. Упомянутое приращение dt на координатной линии r=const вблизи источника тяготения не является интервалом собственного времени ни часов С (для которых данная координатная линия r=const является мировой линией), ни часов В, ни часов А, мировая линия которых находится далеко отсюда, "на бесконечности".

Поэтому когда Вы приписываете упомянутому dt буковку А и, нарушая требования теории, без обоснования объявляете эту величину интервалом собственного времени часов А, то тем самым попросту произвольно назначаете величину интервала собственного времени на далёкой мировой линии А. Это примерно тот произвол, о котором я говорил в предыдущем пояснении.

Можно постараться обосновать приравнивание dt к $d\tau_A,$ например, так. Примем две координатные линии (в 4-мерном ПВ это будут 3-мерные гиперповерхности) t=const и t+dt=Const на роль двух линий "одновременности". Они пересекают мировую линию А в двух точках, с координатами $(t,r_A)$ и $(t+dt,r_A),$ так что интервал координатного времени между этими точками на мировой линии А равен тому самому dt. На мировой линии с постоянным $r_A\to \infty$ получается $dt=d\tau_A.$

Недостаток такого обоснования - в произвольности выбора "одновременности" привязкой к конкретной системе координат. В теории относительности одно и то же ПВ равноправно описывается в разных системах координат, так что и выбор "одновременности" может быть разным.

UPD:
Добавляю пример, который приводил SergeyGubanov: можно рассмотреть прежнее ПВ с часами В и А, но описываемое теперь в координатах Пенлеве, а не Шварцшильда.

Если, пользуясь метрикой Пенлеве, выразить $d\tau_B$ через dt и скорость $v_{loc}$ часов B относительно неподвижной системы отсчёта в окрестности точки с координатами Пенлеве (t,r), и затем согласно логике chislo_avogadro принять, будто dt равно интервалу собственного времени часов А, то получится уже не формула ТС, а появится ещё и сомножитель $(1-(v_{loc}/c)\,\sqrt{r_g/r})^{-1}.$