Сумма кубов

[scwec]

.Shadow
Очень хорошо. И расчет верный.
Но в данном случае можно не складывать точки на эллиптической кривой т.е. проводить
касательные и секущие.
1. Уравнение $x^3+y^3=1261$ с помощью Maple приводим к Вейерштрассову виду
в новых переменных $u,w$ во второй строке обязательно указываем $[21,-20,1]$ - это избавит дальше.от сложения точек
2. Полученное уравнение используем в операторе hyperellratpoints PARI\GP.
3. Из полученного списка рациональных точек берём первую пару $(u,\pm{w})$ - это $(273,6201/2)$
и в Maple преобразуем формулами п.1 к $(x,y) =(854/95, 771/95)$.
Эта процедура на мрй взгляд упрощает вычисления, поскольку в списке п.2 содержатся
нужные рациональные точки (при определенной доле везения).
1441 - та же процедура, но из списка берётся третья пара $(u,\pm{w})$.
Попробуйте. может получится и понравится.

[Shadow]

scwec в сообщении #1721459 писал(а):

и в Maple преобразуем формулами п.1 к $(x,y) =(854/95, 771/95)$.
Эта процедура на мрй взгляд упрощает вычисления, поскольку в списке п.2 содержатся
нужные рациональные точки (при определенной доле везения).

Имеенно про везении, потому что $1261$ было полностью компромитировано gris с решением

$\left(\dfrac{22}{7}, \dfrac{75}{7}\right)$

При $1441$ находит меньше?

Илипросто вопрос везения.

[scwec]

Shadow

Для $x^3+y^3=1261$ ответ $x=22/7, y=75/7$ дает третья пара из списка п.2 процедуры.
Ещё примеры.
Рассмотрим $x^3+y^3=30^3-29^3=2611$
Здесь первая пара своего списка дает ответ $x=9/4, y=55/4$ (x даже квадрат)

/еперь $x^3+y^3=29^3-28^3=2437$
Из третьей пары своего списка ответ
$x =\dfrac{4655365204221583590415}{346150334397224809947}$

$y = \dfrac{568105896204380707376}{346150334397224809947}$
и значности числителя и знаменателя $x,y$ для 2437 не могут уменьшаться.
То же и для 1141..
"Везение" же в том, что Pari справляется со значностью заданных здесь чисел.

Для чисел побольше и с той же процедурой
$x^3+y^3=100^3-99^3=29701$

$x = \dfrac{120538540739730552}{3892882556507825}$

$y = \dfrac{9419350503722573}{3892882556507825}$

[CosPi]

Малые знаменатели в задаче $x^3+y^3=N$ — вопрос не приближений, а делимости. Точная переформулировка такова.

Критерий. Запишем $x=p/r$, $y=q/r$ с целыми $p,q$ и натуральным $r$ и положим $s=p+q$, $t=p^2-pq+q^2$. Тогда

$$st=Nr^3,\qquad 4t-s^2=3(p-q)^2,$$

и обратно: всякое разложение $Nr^3=st$, при котором $(4t-s^2)/3$ — точный квадрат $d^2$, даёт

$$N=\Bigl(\frac{s+d}{2r}\Bigr)^3+\Bigl(\frac{s-d}{2r}\Bigr)^3$$

(чётности согласуются автоматически: $s^2+3d^2=4t$; при $d<s$ оба слагаемых положительны). Итак, представления вида $x=p/r$, $y=q/r$ — это в точности делители $s$ числа $Nr^3$, для которых $(4Nr^3/s-s^2)/3$ — квадрат. Решение gris отвечает делителю $s=97$ числа $1261=13\cdot97$: $t=4459$ и $4\cdot4459-97^2=3\cdot53^2$ (его перебор с домножением на последовательные кубы — это и есть перебор таких делителей). Для $N=(m+1)^3-m^3$ делитель $s=r$ всегда даёт исходную разность кубов: $d=r(2m+1)>s$.

Теорема. Пусть $N=(m+1)^3-m^3$, т.е. $4N=3(2m+1)^2+1$. Представления с $x+y=r^2$ (с точностью до перестановки) суть в точности

$$N=\Bigl(\frac{r^3+w}{2r}\Bigr)^3+\Bigl(\frac{r^3-w}{2r}\Bigr)^3,\qquad w=\frac{B-A}{2},\quad 0<w<r^3,$$

где $A\le B$ пробегает разбиения

$$\frac{r^6-1}{3}=A\cdot B,\qquad A+B=4m+2.$$

Обе записи равносильны равенству $4N=r^6+3w^2$, т.е. $r^6-1=3(2m+1-w)(2m+1+w)$; вырожденное разбиение $A=0$ (т.е. $r=1$) — исходная разность кубов, исключённая условием $w<r^3$.

Следствие (окно). Для $x,y>0$

$$N<(x+y)^3\le 4N,$$

поскольку $(x+y)^3=N+3xy(x+y)$ и $0<xy\le(x+y)^2/4$. В ветви $x+y=r^2$ получаем $N<r^6\le 4N$: интервал для $r$ шириной $26\%$, и для рассматриваемых ниже $N$ в нём помещается один, максимум два целых кандидата.

Примеры.

1. $r=4$: $(4^6-1)/3=1365=3\cdot5\cdot7\cdot13$; суммы $A+B$ восьми разбиений суть $74,86,106,118,202,278,458,1366$, и условие $w<64$ оставляет первые четыре (остальные четыре дают разности кубов с тем же знаменателем):

$$1027=19^3-18^3=\Bigl(\frac{33}{4}\Bigr)^3+\Bigl(\frac{31}{4}\Bigr)^3,\qquad 1387=22^3-21^3=\Bigl(\frac{43}{4}\Bigr)^3+\Bigl(\frac{21}{4}\Bigr)^3,$$

$$2107=27^3-26^3=\Bigl(\frac{51}{4}\Bigr)^3+\Bigl(\frac{13}{4}\Bigr)^3,\qquad 2611=30^3-29^3=\Bigl(\frac{55}{4}\Bigr)^3+\Bigl(\frac{9}{4}\Bigr)^3;$$

последнее — решение scwec (разбиение $13\cdot105$). Кстати, $1027=10^3+3^3$ представимо и целыми кубами.

2. $r=7$: $(7^6-1)/3=39216=2^4\cdot3\cdot19\cdot43$. Условие $A+B=4m+2$ работает здесь как сито: у разбиений $76\cdot516$ и $172\cdot228$ (оба с $w<343$) суммы $592$ и $400$ дают полуцелое $m$. Годных разбиений с $w<343$ остаётся ровно три — $152\cdot258$, $114\cdot344$, $86\cdot456$:

$$31519=103^3-102^3=\Bigl(\frac{198}{7}\Bigr)^3+\Bigl(\frac{145}{7}\Bigr)^3,\qquad 39331=115^3-114^3=\Bigl(\frac{229}{7}\Bigr)^3+\Bigl(\frac{114}{7}\Bigr)^3,$$

$$55081=136^3-135^3=\Bigl(\frac{264}{7}\Bigr)^3+\Bigl(\frac{79}{7}\Bigr)^3.$$

При $r=4$ сито не отсекает ничего: $1365\equiv1\pmod4$, поэтому у всех восьми разбиений $A+B\equiv2\pmod4$ автоматически. Любопытно, что $39331$ входит и в первый список — как разность кубов $(145/4)^3-(81/4)^3$ (разбиение $3\cdot455$).

3. Для $1141$, $1261$ и $2437$ окно оставляет в этой ветви единственного кандидата $r=4$, но нужных сумм $78$, $82$, $114$ в списке нет. Число $1261$ спасается делителем $s=97$ (решение gris); а вот $1141=7\cdot163$ и простое $2437$ спастись нечем: перебор всех делителей при $r\le7$ даёт лишь тривиальную пару $(m+1,-m)$. Для $29701=100^3-99^3$ окно даёт $r\in\{6,7\}$: $r=6$ отпадает ($3\mid r$, а $(r^6-1)/3$ должно быть целым), а нужная сумма $A+B=398$ среди двадцати сумм разбиений числа $39216$ не значится — ближайшая $400$ (разбиение $172\cdot228$, как раз отсечённое ситом); при этом $7^6=117649$ отстоит от границы $4N=118804$ лишь на процент. Перебор всех делителей при $r\le10$ снова даёт только тривиальную пару: положительных представлений с знаменателем $\le10$ у $29701$ нет, и высота решения scwec закономерна.

P.S. Два наблюдения.

1. Плотность рациональных точек, о которой писал nnosipov, гарантирует существование положительных решений, но ничего не говорит об их высоте: высота — вопрос делимости. Малый знаменатель есть или нет, видно заранее из разложения $Nr^3$ на множители, без построения самих решений.

2. Для итерации $r_{n+1}=\frac{2r_n^3-1}{r_n(2-r_n^3)}$, указанной Shadow: $f(1)=1$, $f'(1)=8$, поэтому при $r$, близких к $1$, отступление $r-1$ за одну итерацию растёт примерно в восемь раз. Потому в оценке Rak so dna и стоит $\frac13=\log_8 2$: при $b/c\to1$ необходимо $\log_8\frac{\sqrt[3]2-1}{b/c-1}+O(1)$ касательных — оценка неулучшаема по порядку.