Сумма кубов

[Shadow]

1. Для теоретиков:
Докажите, что если положительное число представимо в виде разности кубов двух положительных рациональных чисел, то оно представимо в виде суммы кубов двух положительных рациональных чисел.

2. Для практиков
Представьте число $1261=21^3-20^3$ в виде суммы кубов двух положительных рациональных чисел.

(Мне мое решение не особо нравится)

[mihaild]

Shadow в сообщении #1721121 писал(а):

Докажите, что если положительное число представимо в виде разности двух положительных рациональных чисел, то оно представимо в виде суммы двух положительных рациональных чисел

$x = a - b \rightarrow x = \frac{a - b}{2} + \frac{a - b}{2}$?

Shadow в сообщении #1721121 писал(а):

Представьте число $1261=21^3-20^3$ в виде суммы двух положительных рациональных чисел

$1261 = 1 + 1260$?

Либо я чего-то в условиях не вижу, либо Вы в них что-то забыли написать.

[Shadow]

mihaild в сообщении #1721124 писал(а):

Либо я чего-то в условиях не вижу, либо Вы в них что-то забыли написать.

Извините, забыл написать "кубов". исправил

[gris]

До теории, конечно, не дотягиваю, но практически — простым перебором по целым числам (с домножением задания на последовательные кубы)
1261 * 343 = 432523 = 10648 + 421875 = cube(22) + cube(75)
То есть 1261 = cube(22/7) + cube(75/7)

[Shadow]

gris, да. Практическая часть на получилась. Сам виноват - не проверил для небольших целых. Даже вольфрам ее решает. А вот для $1141$ ленится. Ладно, теоретическая остается.

[nnosipov]

Shadow в сообщении #1721149 писал(а):

Ладно, теоретическая остается.

Можно считать, что речь идет об уравнении $x^3+y^3=a$, где $a$ --- натуральное число. Известно, что это уравнение имеет решение $(x,y)$ в рациональных числах, при этом $xy<0$. Нужно доказать, что есть решение $(x,y)$ в положительных рациональных числах.

Во-первых, рациональных точек $(x,y)$ на этой кривой бесконечно много (раз есть одна с условием $xy \neq 0$). Во-вторых, они на кривой расположены всюду плотно. Впрочем, можно обойтись и более простыми геометрическими соображениями (проводим касательные из уже известных рациональных точек и постепенно попадаем в область, где все положительно).

[Shadow]

nnosipov да, понятно. Мое решение такое же. Только что делала эта задача в "High School Olympiads" - все еще не понятно. Может найдется что-нибудь попроще?

nnosipov в сообщении #1721180 писал(а):

проводим касательные из уже известных рациональных точек и постепенно попадаем в область, где все положительно

Решая $x^3+y^3=a (=b^3-c^3)$ сразу попадаем в нужную область если $\dfrac b c>\sqrt [3] 2$. А если нет...ну, после конечного числа итераций. Если $\dfrac b c \approx 1$ помучаемся.

[nnosipov]

Shadow в сообщении #1721183 писал(а):

Может найдется что-нибудь попроще?

Можно дипсика спросить. Что-то меня в последнее время тянет ему перепоручать искать решения попроще.

[Rak so dna]

Shadow в сообщении #1721183 писал(а):

Если $\dfrac b c \approx 1$ помучаемся.

У меня получилось, что число касательных в этом случае не превосходит $\left\lceil 1+\frac{1}{3}\log_{2}\frac{\sqrt[3]{2}-1}{\frac{b}{c}-1}\right\rceil$

[Shadow]

Rak so dna спасибо. Интересно.

[juna]

Shadow в сообщении #1721183 писал(а):

Только что делала эта задача в "High School Olympiads" - все еще не понятно. Может найдется что-нибудь попроще?

Так вроде стандартым методом получается. Пусть $N=a^3+b^3$, берем $x^3+y^3=N, y=b+t, x=a-\frac{b^2}{a^2}t$, находим $t=\frac{3a^3b}{b^3-a^3}\Rightarrow y=b+\frac{3a^3b}{b^3-a^3}, x=a-\frac{3ab^3}{b^3-a^3}$

Например,

$$988=11^3-7^3=\left(\frac{2365}{558}\right)^3+\left(\frac{5411}{558}\right)^3$$

$$1261=21^3-20^3=\left(\frac{768264768600548984080}{209783701269418981699}\right)^3+\left(\frac{2236619814034017167679}{209783701269418981699}\right)^3$$

последнее получилось после второй подстановки решения.

[Shadow]

juna в сообщении #1721415 писал(а):

Так вроде стандартым методом получается

Да, это и есть точка полученная проведением касательной.

juna в сообщении #1721415 писал(а):

последнее получилось после второй подстановки решения.

Тоже хлопоты. Доказать что через конечное число итераций получатся положительные решения. Что в поседовательности

$r_0 \in (1; \sqrt [3] 2),\quad r_{n+1}=\dfrac{2r_n^3-1}{r_n(2-r_n^3)}$

всегда получится $r_n>\sqrt [3] 2$

Мне не удалось представить $r_n$ в аналитической форме или сравнить с подходящей более простой полседовательност, чтобы оценить $n$. (Rak so dna успел как-то) но в задаче это и не требуется.

Наверное достаточно что $f(x)=\dfrac{2x^3-1}{x(2-x^3)}$ возрастающая и не ограничена на $(1;\sqrt [3]2)$

[juna]

Shadow в сообщении #1721425 писал(а):

Наверное достаточно что $f(x)=\dfrac{2x^3-1}{x(2-x^3)}$ возрастающая и не ограничена на $(1;\sqrt [3]2)$

Если на предыдущем шаге было $N=a^3-b^3$, то на следующем шаге оба слагаемых положительны, если

$$\begin{cases}a-\frac{3\cdot a\cdot b^3}{b^3+a^3}>0\\ -b+\frac{3\cdot a^3\cdot b}{b^3+a^3}>0\end{cases}\Rightarrow \frac{a}{b}>\sqrt[3]{2}$$

Пусть

$$x=\frac{a}{b}\Rightarrow x'=\frac{a'}{b'}=\frac{-b+\frac{3\cdot a^3\cdot b}{b^3+a^3}}{\vert a-\frac{3\cdot a\cdot b^3}{b^3+a^3}\vert}=\frac{b(2a^3-b^3)}{\vert a(a^3-2b^3)\vert}=\frac{b(N+a^3)}{a\vert N-b^3\vert}=\frac{1}{x}\cdot \frac{(N+a^3)}{\vert N-b^3\vert}=\frac{2x^3-1}{x\vert 2-x^3\vert}$$

Видно, что идет борьба между убывающим $\frac{1}{x}$ и возрастающим $\frac{(N+a^3)}{\vert N-b^3\vert}$

[scwec]

Shadow в сообщении #1721149 писал(а):

А вот для $1141$ ленится

Для 1141 получается вот что
$1141=20^3-19^3=a^3+b^3$ где

$a =\dfrac{12681563775265601680}{1235415052524024021}$

$b = \dfrac{4819429005921295601}{1235415052524024021}$

без явного проведения касательных

[Shadow]

scwec в сообщении #1721433 писал(а):

без явного проведения касательных

Явного или нет, оно есть. Касательная либо секущая. На самом деле это есть $P_4$ на эллиптической кривой (а значит вторая касательная):

$P_1(20,-19)$

$P_2\left(\dfrac{57893}{4953},-\dfrac{38120}{4953}\right)$

$P_3\left(\dfrac{74451906469}{7115358260},-\dfrac{11842954469}{7115358260}\right)$

$P_4\left(\dfrac{4819429005921295601}{1235415052524024021},\dfrac{12681563775265601680}{1235415052524024021}\right)$