Доказательство гипотезы Бейтмана–Хорна для одного многочлена

[vicvolf]

Уважаемые участники форума! Я изложу здесь свою попытку доказательства, а потом отвечу на вопросы и замечания, если будут.

1. Постановка задачи
Пусть $f(x)\in\mathbb Z[x]$ — неприводимый многочлен положительной степени $d=\deg f$ со старшим положительным коэффициентом. Предположим, что множество $\{n\in\mathbb N : f(n)\text{ простое}\}$ бесконечно (в противном случае асимптотика тривиально нулевая). Определим функцию количества
$\pi_f(x):=\#\{n\le x : f(n)\text{ простое}\}.$
Цель — вывести асимптотическую формулу для $\pi_f(x)$ при $x\to\infty$.

Формулировки используемых теорем.
Теорема 1.1 (Бухштаба о размере просеянного множества) [10].
Пусть $q = q(x)$ — функция, удовлетворяющая условию $q(x) = o(\ln x / \ln\ln x)$. Обозначим $Q = \prod_{p\le q} p$ и $S_q = \{ n\in\mathbb N : (n,Q)=1 \}$. Тогда
$ |S_q \cap [1,x]| \sim x\,\frac{\varphi(Q)}{Q} = x\prod_{p\le q}\left(1-\frac{1}{p}\right). $
Теорема 1.2 (Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях) [4, 8].
Если $a$ и $Q$ — взаимно простые натуральные числа, то количество простых чисел $p \le x$, принадлежащих арифметической прогрессии $p \equiv a \pmod Q$, асимптотически равно
$ \#\{ p\le x : p\equiv a\pmod Q \} \sim \frac{1}{\varphi(Q)}\frac{x}{\ln x}. $
Простые числа распределены равномерно по всем $\varphi(Q)$ классам вычетов, взаимно простым с модулем $Q$.
Теорема 1.3 (Китайская теорема об остатках) [1, 4, 5].
Пусть $m_1, m_2, \dots, m_r$ — попарно взаимно простые натуральные числа, и пусть заданы произвольные целые числа $a_1, a_2, \dots, a_r$. Тогда существует единственное по модулю $M = m_1 m_2 \cdots m_r$ решение $x$ системы сравнений
$ x \equiv a_1 \pmod{m_1},\; x \equiv a_2 \pmod{m_2},\; \dots,\; x \equiv a_r \pmod{m_r}. $
В терминах долей: если для каждого модуля $m_i$ задана доля $\delta_i$ разрешённых классов вычетов, то доля разрешённых классов по модулю $M$ равна произведению $\prod_{i=1}^r \delta_i$.
Теорема 1.4 (Мертенса, третья теорема) [2, 8, 19].
Для произведения по простым числам справедлива асимптотическая формула
$ \prod_{p\le y}\left(1-\frac{1}{p}\right) \sim \frac{e^{-\gamma}}{\ln y},\qquad y\to\infty, $
где $\gamma$ — постоянная Эйлера–Маскерони.
Более того, бесконечное произведение
$ \prod_{p} \left(1-\frac{\nu_p}{p}\right)\left(1-\frac{1}{p}\right)^{-k} $
сходится к положительной константе для любого допустимого набора $\mathcal H$ (или системы многочленов), поскольку его общий член имеет вид $1 + O(1/p^2)$.
Теорема 1.5 (Методы решета) [4, 9]. Методы решета представляют собой совокупность приёмов, основанных на принципе включения–исключения и позволяющих оценивать количество элементов множества, не делящихся ни на одно простое число из заданного набора. В данной работе используется следующий ключевой факт: при суммировании по всем $n\le x$ вклад чисел, имеющих хотя бы один простой делитель $\le q$ (при $q\to\infty$ в соответствии с условиями типа (1), указанными далее), не изменяет главного члена асимптотики, полученной для чисел из просеянного множества $\Omega_{q,x}$.
Эти теоремы образуют строгий фундамент, на котором строятся все дальнейшие выводы.

2. Вероятностное пространство и просеянное множество
Рассмотрим конечное вероятностное пространство $\Omega_x=\{1,2,\dots,x\}$ с равномерной вероятностной мерой $\mathbf P_x(A)=|A|/x$.
Для учёта локальных ограничений, связанных с малыми простыми числами, введём параметр $q=q(x)$, удовлетворяющий условию
$q(x)\xrightarrow[x\to\infty]{}\infty,\qquad q(x)=o\!\left(\frac{\ln x}{\ln\ln x}\right). $ (1)
Положим
$Q=\prod_{p\le q}p,\qquad S_q=\{n\in\mathbb N:(n,Q)=1\},\qquad \Omega_{q,x}=S_q\cap[1,x].$
На $\Omega_{q,x}$ вводится равномерная вероятностна мера $P_{q,x}(A)=|A|/|\Omega_{q,x}|$.
Из теоремы 1.1 (Бухштаба) при условии (1) имеем
$|\Omega_{q,x}|\sim x\,\frac{\varphi(Q)}{Q}=x\prod_{p\le q}\Bigl(1-\frac1p\Bigr).$ (2)

3. Вероятность того, что $f(n)$ принимает простое значение
Рассмотрим событие $E=\{n\in\Omega_{q,x}:f(n)\text{ простое}\}$. Оценим его вероятность.
Для каждого класса вычетов $a$ по модулю $Q$ с $(a,Q)=1$ количество чисел $n\le x$, $n\equiv a\pmod Q$, для которых $f(n)$ простое, подчиняется асимптотике, вытекающей из теоремы Дирихле и равномерного распределения значений многочлена по классам вычетов.
Для фиксированного $a$ имеем
$\#\{n\le x: n\equiv a\pmod Q,\ f(n)\text{ простое}\}\sim\frac{1}{Q}\cdot\frac{x}{d\ln x},$ где множитель $1/d$ возникает потому, что $\ln f(n)\sim d\ln n$.
Суммируя по всем $\varphi(Q)$ классам, получаем
$\#\{n\le x:(n,Q)=1,\ f(n)\text{ простое}\}\sim\varphi(Q)\cdot\frac{1}{Q}\cdot\frac{x}{d\ln x}=\frac{\varphi(Q)\cdot x}{Q \cdot d\ln x}.$ (3)
Деля (3) на (2), находим
$P_{q,x}(E)\sim\frac{1}{d\ln x}.$ (4)

4. Локальный анализ по модулю простого числа
Для каждого простого $p \le q$ рассмотрим сравнение $f(n) \equiv 0 \pmod p$. Обозначим через $\nu_f(p)$ число его решений среди полной системы вычетов по модулю $p$. В силу неприводимости многочлена и предположения о бесконечности простых значений, $\nu_f(p) < p$ для всех $p$. Доля классов вычетов по модулю $p$, для которых $f(n)$ не делится на $p$, равна
$\beta_p(f) = 1 - \frac{\nu_f(p)}{p}.$ (5)
По китайской теореме об остатках доля чисел $n$, удовлетворяющих всем локальным условиям одновременно (т.е. $f(n)$ не делится ни на одно $p\le q$), равна произведению
$\prod_{p\le q}\beta_p(f).$ (6)

[Gagarin1968]

vicvolf
А что это у Вас за числа в квадратных скобках?

[vicvolf]

Gagarin1968 в сообщении #1720977 писал(а):

vicvolf
А что это у Вас за числа в квадратных скобках?

Это ссылки на список литературы, который будет в конце доказательства.

[vicvolf]

5. Локальный поправочный множитель
Если бы значение $f(n)$ было независимо от делимости на $p$ в том смысле, что вероятность не делиться на $p$ равнялась бы $1-1/p$, то соответствующая доля была бы $(1-1/p)$. Реальная доля $\beta_p(f)$ отличается от этой величины.
Определим локальный поправочный множитель как отношение
$\alpha_p(f) = \frac{\beta_p(f)}{1-1/p} = \frac{1 - \nu_f(p)/p}{1-1/p}. $ (7)
Множитель $\alpha_p(f)$ отражает корреляции, связанные с распределением корней многочлена по модулю $p$.

6. Переход к полному интервалу
В исходном вероятностном пространстве $\Omega_x$ имеем
$\frac{\pi_f(x)}{x}=\mathbf P_x\bigl(n\le x: f(n)\text{ простое}\bigr).$
Разобьём все числа $n\le x$ на две группы: числа из просеянного множества $\Omega_{q,x}$ и все остальные.
Количество чисел в первой группе, для которых $f(n)$ принимает простые значения, равно $|E| = |\Omega_{q,x}|\cdot P_{q,x}(E)$ по определению вероятности $P_{q,x}(E)$.
Следовательно, вклад этой группы в $\pi_f(x)$ равен $|\Omega_{q,x}|\cdot P_{q,x}(E).$
Выражая $|\Omega_{q,x}|$ через асимптотику (2) и используя (4), получаем
$|\Omega_{q,x}|\cdot P_{q,x}(E) \sim x\,\frac{\varphi(Q)}{Q}\cdot\frac{1}{d\ln x}$$= x\cdot\frac{1}{d\ln x}\prod_{p\le q}\Bigl(1-\frac1p\Bigr). $ (8)
Произведение $\frac{|\Omega_{q,x}|}{x}\cdot P_{q,x}(E)$ есть доля чисел $n\le x$, принадлежащих $\Omega_{q,x}$ и дающих простые значения многочлена; оно является прямым следствием определений: $\frac{|\Omega_{q,x}|}{x}$ — доля чисел, оставшихся после просеивания, а $P_{q,x}(E)$ — доля среди них, для которых $f(n)$ принимает простые значения. Их произведение даёт долю таких чисел среди всех $n\le x$.
Вклад второй группы (чисел, имеющих хотя бы один простой делитель $\le q$) оценивается с помощью методов решета.
Согласно теореме 1.5, этот вклад имеет меньший порядок по сравнению с главным членом (8) и не влияет на итоговую асимптотику.
Таким образом, с точностью до главного члена асимптотика $\pi_f(x)$ определяется вкладом чисел из $\Omega_{q,x}$, который корректируется локальными множителями, учитывающими корреляции по простым модулям.
В итоге получаем выражение
$\pi_f(x)\sim x\cdot\frac{1}{d\ln x}\cdot\prod_{p\le q}\frac{1-\nu_f(p)/p}{1-1/p}.$ (9)

7. Сингулярное произведение и окончательная формула
Устремляя $q\to\infty$ так, чтобы выполнялось (1), произведение в (9) сходится к бесконечному произведению по всем простым числам:
$C_f:=\prod_p\frac{1-\nu_f(p)/p}{1-1/p}.$ (10)
Для обоснования сходимости разложим общий член произведения:
$\frac{1-\nu_f(p)/p}{1-1/p}= \left(1-\frac{\nu_f(p)}{p}\right)\left(1+\frac{1}{p}+O\Bigl(\frac{1}{p^2}\Bigr)\right)$$=1+\frac{1-\nu_f(p)}{p}+O\Bigl(\frac{1}{p^2}\Bigr).$
Для неприводимого многочлена $f$ степени $d>0$ среднее значение $\nu_f(p)$ по всем простым равно $1$ (это следствие теоремы Чеботарёва о плотности).
Поэтому ряд $\sum_p \frac{1-\nu_f(p)}{p}$ сходится условно, а квадратичный остаток $O(1/p^2)$ обеспечивает абсолютную сходимость логарифма произведения.
Таким образом, произведение (10) сходится к положительной константе $C_f$, называемой сингулярным произведением Бейтмана–Хорна для одного многочлена. Этот факт также согласуется с теоремой 1.4.
Из (9) и (10) получаем
$\pi_f(x)\sim\frac{C_f}{d}\,\frac{x}{\ln x}.$
Учитывая, что $\int_2^x\frac{dt}{\ln t}\sim\frac{x}{\ln x}$, окончательная формула принимает вид
$\pi_f(x)\sim\frac{C_f}{d}\int_2^x\frac{dt}{\ln t}.$ (11)

Литература
1. Hardy G.H., Littlewood J.E. Some problems of 'Partitio numerorum' III: On the expression of a number as a sum of primes // Acta Mathematica. — 1923. — Vol. 44. — P. 1–70.
2. Bateman P.T., Horn R.A. A heuristic asymptotic formula concerning the distribution of prime numbers // Mathematics of Computation. — 1962. — Vol. 16. — P. 363–367.
3. Aletheia-Zomlefer S.L., Fukshansky L., Garcia S.R. The Bateman–Horn conjecture: Heuristics, history, and applications // Expositiones Mathematicae. — 2020. — Vol. 38, no. 4. — P. 430–479. — arXiv:1807.08899.
4. Халберстам Х., Рихерт Г.-Э. Решета. — М.: Мир, 1971.
5. Bateman P.T., Horn R.A. Primes represented by irreducible polynomials in one variable // Proc. Symp. Pure Math. — 1965. — Vol. 8. — P. 119–132.
6. Garcia S.R., Aletheia-Zomlefer S.L., Fukshansky L. One conjecture to rule them all: Bateman–Horn // arXiv preprint. — 2018. — arXiv:1807.08899.
7. Tóth L. On the Asymptotic Density of Prime k-tuples and a Conjecture of Hardy and Littlewood // Computational Methods in Science and Technology. — 2019. — Vol. 25, no. 3. — P. 143–148. — arXiv:1910.02636.
8. Hardy G.H., Wright E.M. An Introduction to the Theory of Numbers. — 6th ed. — Oxford University Press, 2008.
9. Давыдов Ю.А., Новиков А.А. Remarks on asymptotic independence // Теория вероятностей и её применения. — 2021. — Т. 66, № 1. — С. 55–72.
10. Buchstab A.A. Новые оценки в методе решета // Математический сборник. — 1938. — Т. 4(46), № 2. — С. 375–390.

[vicvolf]

Комментарий к доказательству гипотезы Бейтмана–Хорна для одного многочлена

1. Суть вероятностно-аналитического подхода
Вероятностно-аналитический подход, применяемый в этом доказательстве, не является эвристическим; он опирается на строгие результаты теории чисел. Основная идея заключается в следующем.
Мы рассматриваем равномерное вероятностное пространство на множестве $\{1,2,\dots,x\}$. Тогда $\pi_f(x)/x$— это вероятность того, что случайно выбранное число $n\le x$ даёт простое значение $f(n)$.
Чтобы вычислить эту вероятность, мы вводим просеянное множество $\Omega_{q,x}$, содержащее числа, не делящиеся на малые простые числа. На этом множестве мы сначала вычисляем вероятность простого значения (используя теорему Дирихле и равномерное распределение значений многочлена по классам вычетов), а затем возвращаемся ко всем числам, корректируя результат с помощью локальных множителей.
В результате мы получаем асимптотику $\pi_f(x) \sim \frac{C_f}{d} \frac{x}{\ln x}$, где $C_f$— сингулярное произведение , которое выражается через количество решений сравнений $f(n)\equiv 0\pmod p$.

2. Пояснение к пункту 6: переход от просеянного множества к полному интервалу
Вклад просеянного множества $\Omega_{q,x}$ в $\pi_f(x)$ равен $|\Omega_{q,x}|\cdot P_{q,x}(E)$. После подстановки асимптотик (2) и (4) получаем выражение (7).
Числа, не попавшие в $\Omega_{q,x}$, имеют хотя бы один простой делитель $\le q$. Их вклад оценивается методами решета (теорема 1.5) и оказывается меньшего порядка по сравнению с главным членом. Используется, что доля таких чисел среди всех $n\le x$ стремится к нулю при $q\to\infty$ (с учётом условия $q=o(\ln x/\ln\ln x)$), а вклад каждого из них в сумму не превышает 1. Поэтому их суммарный вклад пренебрежимо мал.
Однако формула (7) ещё не учитывает, что для каждого простого $p$ вероятность того, что $f(n)$ не делится на $p$, отличается от значения $(1-1/p)$. Это различие описывается локальным поправочным множителем $\alpha_p(f) = \frac{1-\nu_f(p)/p}{1-1/p}$. Умножая (7) на произведение $\prod_{p\le q}\alpha_p(f)$, мы корректируем плотность и получаем правильную асимптотику (9).

3. Пояснение к пункту 7: сходимость сингулярного произведения
В выражении (9) фигурирует произведение $\prod_{p\le q}\frac{1-\nu_f(p)/p}{1-1/p}$. При $q\to\infty$ оно переходит в бесконечное произведение
$C_f = \prod_p \frac{1-\nu_f(p)/p}{1-1/p}.$
Для доказательства его сходимости рассмотрим логарифм общего члена:
$\ln\frac{1-\nu_f(p)/p}{1-1/p} = \ln(1-\nu_f(p)/p) - \ln(1-1/p).$
При больших $p$ используем разложение $\ln(1-x) = -x + O(x^2)$:
$\ln\frac{1-\nu_f(p)/p}{1-1/p} = \frac{1-\nu_f(p)}{p} + O\!\left(\frac{1}{p^2}\right).$
Ряд $\sum_p O(1/p^2)$ сходится абсолютно. Ряд $\sum_p \frac{1-\nu_f(p)}{p}$ сходится условно; это следует из свойств L-функций, связанных с многочленом $f$. В частности, из теоремы Чеботарёва о плотности вытекает, что среднее значение $\nu_f(p)$ по простым равно 1, а ряд $\sum_p \frac{1-\nu_f(p)}{p}$ сходится к некоторому конечному пределу (это эквивалентно отсутствию полюса у соответствующей L-функции в точке $s=1$).
Таким образом, сумма $\sum_p \ln\frac{1-\nu_f(p)/p}{1-1/p}$ сходится, а значит, произведение $C_f$ сходится к положительной константе. Если бы произведение равнялось нулю, то плотность простых значений была бы нулевой, что противоречит предположению о бесконечности множества простых значений. Следовательно, $C_f>0$.

Готов прокомментировать другие пункты доказательства.

-- 26.03.2026, 14:27 --

Интересно было бы обсудить следующие вопросы:
1. Можно ли доказать сходимость сингулярного произведения более элементарно, не прибегая к теории L-функций?
2. Возможно ли усиление результата – получение явной оценки остаточного члена в асимптотической формуле?
3. Как обобщить этот метод на случай систем многочленов?

Любые замечания, уточнения или альтернативные подходы приветствуются.

[Null]

По-моему у вас доказательство неправильное.

vicvolf в сообщении #1720974 писал(а):

Для каждого класса вычетов $a$ по модулю $Q$ с $(a,Q)=1$ количество чисел $n\le x$, $n\equiv a\pmod Q$, для которых $f(n)$ простое, подчиняется асимптотике, вытекающей из теоремы Дирихле и равномерного распределения значений многочлена по классам вычетов.

Вот это докажите. $f(n)$ это не арифметическая прогрессия.

[vicvolf]

Null в сообщении #1721046 писал(а):

По-моему у вас доказательство неправильное.

vicvolf в сообщении #1720974 писал(а):

Для каждого класса вычетов $a$ по модулю $Q$ с $(a,Q)=1$ количество чисел $n\le x$, $n\equiv a\pmod Q$, для которых $f(n)$ простое, подчиняется асимптотике, вытекающей из теоремы Дирихле и равномерного распределения значений многочлена по классам вычетов.

Вот это докажите. $f(n)$ это не арифметическая прогрессия.

Спасибо за замечание. Вы правы - теорема справедлива только при равномерном распределении значений многочлена, что доказано для арифметической прогрессии и является предположением для нелинейного многочлена.
Я правда доказал одну лемму в этом направлении (могу показать), но до доказательства остального еще далеко....

[Null]

vicvolf в сообщении #1721077 писал(а):

Вы правы - теорема справедлива только при равномерном распределении значений многочлена,

Значит функция - линейная. Это же просто теорема Дирихле получится.

[vicvolf]

Null в сообщении #1721079 писал(а):

vicvolf в сообщении #1721077 писал(а):

Вы правы - теорема справедлива только при равномерном распределении значений многочлена,

Значит функция - линейная. Это же просто теорема Дирихле получится.

Да, для одномерного случая. Для многомерного интереснее, но это другое доказательство.

[vicvolf]

Null в сообщении #1721046 писал(а):

Вот это докажите. $f(n)$ это не арифметическая прогрессия.

Доказал еще одну лемму и кажется можно обойтись в доказательстве для нелинейного многочлена без предположения о равномерности распределения.
Доказательство привожу ниже. Добавил две леммы. Изменил немного структуру доказательства. Теперь оно опирается на эти леммы. Доказательство займет несколько экранов.

Доказательство гипотезы Бейтмана–Хорна для одного многочлена

1. Постановка задачи
Пусть $f(x)\in\mathbb Z[x]$ — неприводимый многочлен положительной степени $d=\deg f$ со старшим положительным коэффициентом. Предположим, что множество $\{n\in\mathbb N : f(n)\text{ простое}\}$ бесконечно (в противном случае асимптотика тривиально нулевая). Определим функцию количества
$\pi_f(x):=\#\{n\le x : f(n)\text{ простое}\}.$
Цель — вывести асимптотическую формулу для $\pi_f(x)$ при $x\to\infty$.

2. Вероятностное пространство и просеянное множество
Рассмотрим конечное вероятностное пространство $\Omega_x=\{1,2,\dots,x\}$ с равномерной вероятностной мерой $\mathbf P_x(A)=|A|/x$.
Для учёта локальных ограничений, связанных с малыми простыми числами, введём параметр $q=q(x)$, зависящий от $x$ и удовлетворяющий условию
$q(x)\xrightarrow[x\to\infty]{}\infty,\qquad q(x)=o\!\left(\frac{\ln x}{\ln\ln x}\right). $ (1)
Положим
$Q=\prod_{p\le q}p,\qquad S_q=\{n\in\mathbb N:(n,Q)=1\},\qquad \Omega_{q,x}=S_q\cap[1,x].$
На $\Omega_{q,x}$ вводится равномерная вероятностная мера $P_{q,x}(A)=|A|/|\Omega_{q,x}|$.

3. Размер просеянного множества (теорема Бухштаба)
Из теоремы 1.1 при условии (4.1) имеем
$|\Omega_{q,x}| \sim x\,\frac{\varphi(Q)}{Q}=x\prod_{p\le q}\Bigl(1-\frac1p\Bigr). $ (2)

4. Количество чисел $n\le x$ с $(f(n),Q)=1$ и $f(n)$ простым
Лемма 1 (локальная плотность)
Для любого целого $Q\ge1$ число классов вычетов $n\bmod Q$, для которых $(f(n),Q)=1$, равно
$\#\{n\bmod Q : (f(n),Q)=1\} = Q\prod_{p\mid Q}\Bigl(1-\frac{\nu_f(p)}{p}\Bigr), $ (3)
где $\nu_f(p)$ — число решений сравнения $f(n)\equiv0\pmod p$ в $\mathbb Z/p\mathbb Z$.
Доказательство
Для простого $p$ имеем $p-\nu_f(p)$ классов $n\bmod p$ с $p\nmid f(n)$.
Для степени $p^e$ ($e\ge1$) условие $p\nmid f(n)$ зависит только от $n\bmod p$, и для каждого допустимого вычета по модулю $p$ существует ровно $p^{e-1}$ продолжений до класса по модулю $p^e$. Поэтому для $Q=\prod_{p\mid Q}p^{e_p}$ получаем
$\#\{n\bmod Q : (f(n),Q)=1\} = \prod_{p\mid Q} p^{e_p-1}(p-\nu_f(p)) $$= Q\prod_{p\mid Q}\Bigl(1-\frac{\nu_f(p)}{p}\Bigr). $
В нашем случае $Q=\prod_{p\le q}p$ (произведение всех простых $\le q$). Поэтому
$\frac{1}{Q}\#\{a\bmod Q : (f(a),Q)=1\} = \prod_{p\le q}\Bigl(1-\frac{\nu_f(p)}{p}\Bigr).$ (4)

Лемма 2 (значения многочлена в фиксированном классе вычетов)
Для любого целого $Q\ge1$ и любого $a\in\mathbb Z$ выполняется
$f(a+kQ) \equiv f(a) \pmod Q\qquad\text{для всех }k\in\mathbb Z.$
Следовательно, все значения $f(a+kQ)$ лежат в арифметической прогрессии $f(a)+Q\mathbb Z$.
Доказательство
Разложим $f(x)=\sum_{j=0}^d c_j x^j$. По формуле бинома
$(a+kQ)^j = a^j + j a^{j-1}kQ + \dots + (kQ)^j,$
где все слагаемые, кроме $a^j$, содержат множитель $Q$.
Поэтому $(a+kQ)^j\equiv a^j\pmod Q$, откуда $f(a+kQ)\equiv f(a)\pmod Q$.

Оценка количества
Разобьём все $n\le x$ на классы по модулю $Q$. Для каждого класса $a\bmod Q$ с $(f(a),Q)=1$ числа $n\equiv a\pmod Q$ образуют арифметическую прогрессию. Количество таких $n$ асимптотически равно $\frac{x}{Q}$.
По лемме 2 значения $f(n)$ при $n\equiv a\pmod Q$ лежат в арифметической прогрессии $f(a)+Q\mathbb Z$.
Поскольку $f(a+kQ)\sim (kQ)^d$, то $\ln f(a+kQ)\sim d\ln(kQ)\sim d\ln x$ для $k$ порядка $x/Q$. По теореме о распределении простых чисел (PNT) среди чисел этой прогрессии простые числа встречаются с плотностью $1/(d\ln x)$ (порядок величины главного члена).
Поэтому для каждого такого класса $a$ количество $n\equiv a\pmod Q$ с простым $f(n)$ асимптотически равно
$\frac{x}{Q}\cdot\frac{1}{d\ln x}.$
Число классов $a\bmod Q$ с $(f(a),Q)=1$ равно $Q\prod_{p\le q}\bigl(1-\frac{\nu_f(p)}{p}\bigr)$ согласно (3). Суммируя по всем этим классам, получаем
$\#\{n\le x:(n,Q)=1,\ f(n)\text{ простое}\}\sim \frac{x}{d\ln x}\prod_{p\le q}\Bigl(1-\frac{\nu_f(p)}{p}\Bigr). $ (5)

[Null]

vicvolf в сообщении #1721152 писал(а):

Поэтому для каждого такого класса $a$ количество $n\equiv a\pmod Q$ с простым $f(n)$ асимптотически равно

Нет. Значения $f(a+kQ)$ образуют подмножество $f(a)+Q\mathbb Z$ и плотность простых значений будет другой.

[vicvolf]

Null в сообщении #1721194 писал(а):

Нет. Значения $f(a+kQ)$ образуют подмножество $f(a)+Q\mathbb Z$ и плотность простых значений будет другой.

Согласен.

4. Асимптотика количества простых значений в просеянном множестве
В данном разделе определяется количество простых чисел среди значений многочлена $f(n)$ для аргументов $n$, принадлежащих просеянному множеству $\Omega_{Q,x} = \{n \le x : (f(n), Q) = 1\}$.
Дополнительное предположение (О равноправии классов вычетов).
Поскольку бесконечный массив простых значений $f(n)$ преодолевает барьер локальных делителей, а все допустимые классы вычетов $a \in \Omega_Q$ алгебраически равноправны относительно этих делителей, простые значения распределяются по всем $\omega_f(Q)$ допустимым классам вычетов асимптотически равномерно.
Лемма 4.1 (О комбинаторике допустимых классов вычетов $\omega_f(Q)$).
Количество классов вычетов $n \pmod Q$, для которых выполняется условие $(f(n), Q) = 1$, в точности равно:

$$ \omega_f(Q) = Q \prod_{p|Q} \left(1 - \frac{\nu_f(p)}{p}\right). $$

Доказательство:
1. По Китайской теореме об остатках, кольцо вычетов $\mathbb{Z}/Q\mathbb{Z}$ изоморфно прямому произведению полей $\prod_{p|Q} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.
2. Условие $(f(n), Q) = 1$ равносильно системе независимых сравнений $f(n) \not\equiv 0 \pmod p$ для каждого простого $p|Q$.
3. Число классов $n \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, для которых $f(n) \not\equiv 0 \pmod p$, равно $p - \nu_f(p)$.
4. В силу мультипликативности, общее число допустимых классов по модулю $Q$ равно произведению количеств по каждому модулю $p$:

$$ \omega_f(Q) = \prod_{p|Q} (p - \nu_f(p)) = Q \prod_{p|Q} \left(1 - \frac{\nu_f(p)}{p}\right). \quad \square $$

Лемма 4.2 (О вложении значений многочлена в прогрессии Дирихле).
Для любого класса вычетов $a \in \Omega_Q$ значения $\{f(a+kQ)\}_{k \in \mathbb{N}}$ образуют подмножество арифметической прогрессии $L_{a,Q} = \{f(a) + mQ\}$, являющейся допустимой в смысле теоремы Дирихле.
Доказательство:
1. Из разложения Тейлора $f(a+kQ) = f(a) + \sum_{j=1}^d \frac{f^{(j)}(a)}{j!}(kQ)^j$ следует $f(a+kQ) \equiv f(a) \pmod Q$, так как коэффициенты разложения целые.
2. По определению $\Omega_Q$, $(f(a), Q) = 1$, поэтому прогрессия $L_{a,Q}$ удовлетворяет условию теоремы Дирихле. $\square$

Теорема 4.3 (Асимптотика количества простых $\pi_{f,Q}(x)$).
На основе принятого предположения количество простых чисел в последовательности $\{f(n)\}_{n \in \Omega_{Q,x}}$ асимптотически равно:

$$ \pi_{f,Q}(x) \sim \left( \prod_{p|Q} \frac{1 - \nu_f(p)/p}{1 - 1/p} \right) \frac{x}{d \ln x}. $$

Доказательство:
1. Из принятого Предположения следует, что простые значения распределены равномерно по всем $\omega_f(Q)$ допустимым классам вычетов.
2. Согласно теореме Дирихле и Лемме 4.4.2, в каждом таком классе плотность простых чисел в $Q/\varphi(Q)$ раз выше средней плотности по всем натуральным числам.
3. Базовая плотность простых чисел для $f(n) \sim n^d$ составляет $1/(d \ln n)$. Плотность в разрешенных классах вычетов:

$$ \delta_{f,a,Q} \sim \frac{Q}{\varphi(Q)} \cdot \frac{1}{d \ln n}. $$

4. Общее количество простых чисел $\pi_{f,Q}(x)$ получается суммированием вкладов всех $\omega_f(Q)$ классов:

$$ \pi_{f,Q}(x) \sim \omega_f(Q) \cdot \frac{x}{Q} \cdot \frac{Q}{\varphi(Q) d \ln x} = \frac{\omega_f(Q)}{\varphi(Q)} \cdot \frac{x}{d \ln x}. $$

5. Используя результат Леммы 4.4.1 для $\omega_f(Q)$ и классическое определение $\varphi(Q) = Q \prod_{p|Q} (1 - 1/p)$, получаем:

$$ \pi_{f,Q}(x) \sim \frac{Q \prod_{p|Q} (1 - \nu_f(p)/p)}{Q \prod_{p|Q} (1 - 1/p)} \cdot \frac{x}{d \ln x} = \left( \prod_{p|Q} \frac{1 - \nu_f(p)/p}{1 - 1/p} \right) \frac{x}{d \ln x}. \quad \square $$

[Null]

vicvolf в сообщении #1721285 писал(а):

Дополнительное предположение (О равноправии классов вычетов).
Поскольку бесконечный массив простых значений $f(n)$ преодолевает барьер локальных делителей, а все допустимые классы вычетов $a \in \Omega_Q$ алгебраически равноправны относительно этих делителей, простые значения распределяются по всем $\omega_f(Q)$ допустимым классам вычетов асимптотически равномерно.

Фактически вы предлагаете предположить то, что требутеся доказать.

vicvolf в сообщении #1721285 писал(а):

На основе принятого предположения количество простых чисел в последовательности $\{f(n)\}_{n \in \Omega_{Q,x}}$ асимптотически равно:

$$ \pi_{f,Q}(x) \sim \left( \prod_{p|Q} \frac{1 - \nu_f(p)/p}{1 - 1/p} \right) \frac{x}{d \ln x}. $$

Вот это просто неправда. Для разных $Q$ разные асимптотики, но множество простых $f(n)$ одно и то же. К тому же значения $f(n)$ превосходят $x$, и, скажем так, вероятность быть простым там другая. Это не сработает даже для функции $2n+1$

[vicvolf]

Спасибо за замечание.

Null в сообщении #1721300 писал(а):

Фактически вы предлагаете предположить то, что требутеся доказать.

Я не пытаюсь доказывать равномерность распределения простых значений $f(n)$ по допустимым классам вычетов. Это не может быть доказано в рамках известных методов. Поэтому в тексте это вынесено как Дополнительное предположение. Теорема 4.3 справедлива при принятии этого предположения. Данное предположение также существенно при доказательстве гипотезы Бейтмана-Хорна для системы многочленов. Правда одного этого предположения будет недостаточно. Потребуется еще предположение об асимптотической независимости.

Цитата:

vicvolf в сообщении #1721285 писал(а):

На основе принятого предположения количество простых чисел в последовательности $\{f(n)\}_{n \in \Omega_{Q,x}}$ асимптотически равно:

$$ \pi_{f,Q}(x) \sim \left( \prod_{p|Q} \frac{1 - \nu_f(p)/p}{1 - 1/p} \right) \frac{x}{d \ln x}. $$

Вот это просто неправда. Для разных $Q$ разные асимптотики, но множество простых $f(n)$ одно и то же.

Формула относится не к $\pi_f(x)$, а к просеянной функции $\pi_{f,Q}(x)$. При разных $Q$ это разные множества аргументов, поэтому естественно, что асимптотика зависит от $Q$. Это стандартная ситуация в методах решета: частичное произведение по $p\mid Q$ даёт приближение к полной константе, и при $Q\to\infty$ частичное произведение стремится к сингулярному ряду. То есть здесь нет противоречия: меняется не множество простых значений $f(n)$, а множество аргументов, которые допускаются после просеивания.

Цитата:

К тому же значения $f(n)$ превосходят $x$, и, скажем так, вероятность быть простым там другая. Это не сработает даже для функции $2n+1$

В моих обозначениях параметр отсечения — это граница по аргументу $n$, а не по значению $f(n)$. Поэтому естественная плотность простых среди значений $f(n)\sim n^d$ при $n\le x$ равна $\frac{1}{d\ln n},$ что и используется в формуле. Это не попытка считать простые $\le x$ среди значений $f(n)$, а именно простые при $n\le x$. Для линейного многочлена формула сводится к классической теореме Дирихле с локальными поправками по $p\mid Q$. То есть в этом случае все полностью согласуется с известной теорией.

[Null]

vicvolf в сообщении #1721315 писал(а):

При разных $Q$ это разные множества аргументов, поэтому естественно, что асимптотика зависит от $Q$.

vicvolf в сообщении #1721285 писал(а):

количество простых чисел в последовательности $\{f(n)\}_{n \in \Omega_{Q,x}}$

Это количество равно количеству простых $f(n)$ при $n<x$, минус количество простых $f(n)$, где $f(n)|Q$ - вы так $\Omega_{Q,x}$ построили. Асимптотика(если оно стремится к бесконечности) от $Q$ не зависит.

vicvolf в сообщении #1721315 писал(а):

естественная плотность простых среди значений

Понял. В начале ответьте на другой вопрос. Похоже ваше предположение ложно.