Среднее значение цифр точной степени

[mihaild]

Пусть $f_q(n)$ - среднее значение цифр числа $n$ в системе по основанию $q$.
Чему, в зависимости от $q$ и $d$, равно $\sup_n f_q(n^d)$? В частности (оригинальный вопрос) чему равно $\sup_n f_{10}(n^4)$?

[EUgeneUS]

Очень интересная задачка. Напоминает известную задачу из Кнута

Если для каких-то степеней $\tilde{d}$ окажется $\forall q: \sup_n f_q(n^{\tilde{d}}) \le \frac{q-1}{2}$, это будет доказательством ВТФ для этих степеней.

(Оффтоп)

но, видимо, не окажется

[EUgeneUS]

Кстати, для доказательства ВТФ (для таких степеней), не обязательно $\sup\limits_{n \in \mathbb{N}}$, достаточно $\sup\limits_{n < q}$

[Padawan]

mihaild
$f_{10}(n)$ равно сумме цифр числа $n$ разделить на их количество? Я правильно понимаю?

[mihaild]

Padawan в сообщении #1719834 писал(а):

$f_{10}(n)$ равно сумме цифр числа $n$ разделить на их количество?

Да. Например $f_{10}(123) = \frac{6}{3} = 2$.

[waxtep]

mihaild в сообщении #1719798 писал(а):

В частности (оригинальный вопрос) чему равно $\sup_n f_{10}(n^4)$?

Ну, по крайней мере, не меньше, чем $171/23$, достигаемое при $n=\left\lfloor(10^{23}-1)^{1/4}\right\rfloor=562341$. Тут, видимо, нужно что-то знать про приближения алгебраических иррациональных чисел, и не совсем в лоб

[worm2]

Представляет также интерес $\operatorname{ess} \sup$, то есть граница, либо которую будут превышать, либо к которой будут неограниченно приближаться средние при увеличении $n$.
"Очевидно", что всегда можно увеличить среднюю оценку $\dfrac{q-1}2$ в $\left(1+\dfrac 1d\right)$ раз, выбирая цифры $n$ так, чтобы получить максимальное число цифр $(q-1)$ в начале (как минимум столько же, сколько цифр в числе $n$) и надеясь на то, что остальные цифры дадут среднее значение. Но можно ли ещё больше?

-- Ср мар 11, 2026 13:20:07 --

waxtep в сообщении #1719864 писал(а):

не меньше, чем $171/23$, достигаемое при $n=\left\lfloor(10^{23}-1)^{1/4}\right\rfloor=562341$

Численные эксперименты намекают на то, что это и есть точное значение. До 10 миллионов локальные максимумы достигаются на значениях $n$, не демонстрирующих очевидной регулярности.

[Dmitriy40]

Похоже с ростом показателя степени $d$ результат уменьшается. Во всяком случае $\sup_n f_{10}(n^2) \ge f_{10}(994927133^2)=74/9$, что заметно больше $171/23$.
При этом $n^2$ не содержит старших девяток больше одной.

А $\sup_n f_{36}(n^2) \ge f_{36}(357706288^2)=354/11$ и тоже $n^2$ не имеет всех максимальных старших цифр, даже самая старшая и то лишь 34, а 35 лишь одна из всех 11-и.

[EUgeneUS]

Чисто феноменологически можно выдвинуть такую гипотезу:

$\sup_n f_q(n^d) = F(d)(q-1)$
Такая зависимость от $q$ объяснима и подтверждается численными расчетами выше.
Что касается $F(d)$, то
а) $F(1)=1$, очевидно.
б) дальше падает.
в) скорее всего ниже $1/2$ не падает ни для каких $d$

[Padawan]

А мне кажется, что $\sup_{n} f_{10}(n^4) =9$. Пока не вижу причин считать иначе.

[Dmitriy40]

Padawan в сообщении #1719985 писал(а):

А мне кажется, что $\sup_{n} f_{10}(n^4) =9$. Пока не вижу причин считать иначе.

Это очевидно не так: по модулю 10 четвёртая степень натурального числа может быть не более чем 6, т.е. младшая цифра не может быть 9 и значит среднее значение всех цифр не может быть равно 9.
По модулю $10^3$ младшие три цифры не превышают 976.
По модулю $10^4$ младшие четыре цифры не превышают 9936.
По модулю $10^7$ младшие семь цифр не превышают 9999921.

[mihaild]

Dmitriy40 в сообщении #1720015 писал(а):

и значит среднее значение всех цифр не может быть равно 9

Это не означает, что $\sup$ не может быть равен $9$, это всего лишь означает, что, если он равен $9$, то не достигается.

[Dmitriy40]

Да, понял, согласен, был не прав, спутал $\sup$ с $\max$.

[mihaild2]

Выделена тема «Определение супремума»

[Padawan]

Смотрите, что я нашел (точнее Deepseek подсказал) последовательность в OEIS https://oeis.org/A373914: максимальные суммы цифр для чисел вида $n^4$ в зависимости от количества цифр в числе $n^4$. Значение $171/23$ к сожалению, или к счастью, не превышено

-- Чт мар 12, 2026 19:58:33 --

worm2 в сообщении #1719890 писал(а):

Представляет также интерес $\operatorname{ess} \sup$, то есть граница, либо которую будут превышать, либо к которой будут неограниченно приближаться средние при увеличении $n$.

Верхний предел $\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty} f_{10}(n^4) $ имеете ввиду?