Определение супремума

[Dmitriy40]

mihaild2
Выделено из темы «Среднее значение цифр точной степени»

mihaild
Ну давайте тогда скажем что $\sup_n f_{10}(n^4)=10$ или $100500$ или $10^{10^{10^9}}$, чего уж тогда, тоже ведь "не достигается".
Рувики говорит что $\sup$ должен быть равен элементу множества, т.е. обязательно достигаться.

[mihaild]

Dmitriy40 в сообщении #1720026 писал(а):

Рувики говорит что $\sup$ должен быть равен элементу множества, т.е. обязательно достигаться

Не говорит она такого. Она говорит правильно: $y = \sup X \leftrightarrow (\forall x \in X: x \leq y) \wedge (\forall z < y \exists x \in X: z < x)$ (если записать определение в самодостаточном виде).

[Dmitriy40]

mihaild в сообщении #1720028 писал(а):

Не говорит она такого.

Говорит:

рувики писал(а):

Более формально:
$S_{X}=\{y\in M\mid \forall x\in X\!:x\leqslant y\}$ — множество верхних граней $X$, то есть, таких элементов множества $M$, которые равны или больше элементов множества $X$;
$s=\sup(X)\iff S_{X}\ni s\;|\;\forall y\in S_{X}\!:s\leqslant y.$

Я вижу что $\sup$ берётся из множества верхних граней $S_X$, которые все, подчёркиваю, все берутся как элементы $y$ исходного множества $M$. Я что-то не так понимаю в формуле?
Иначе $\sup$ просто невычислим, что мешает ему равняться $10^{10^{10^{10^9}}}$ для совершенно любого непустого множества, ну вот что?

[mihaild]

Dmitriy40 в сообщении #1720031 писал(а):

Я вижу что $\sup$ берётся из множества верхних граней $S_X$, которые все, подчёркиваю, все берутся как элементы $y$ исходного множества $M$

Тут $M$ - не исходное подмножество (по которому берется супремум), а объемлющее. В данном случае - $\mathbb R$.

Dmitriy40 в сообщении #1720031 писал(а):

Иначе $\sup$ просто невычислим, что мешает ему равняться $10^{10^{10^{10^9}}}$ для совершенно любого непустого множества, ну вот что?

Существование меньших верхних граней. Супремум - наименьшая из верхних граней (полнота $\mathbb R$ гарантирует, что если множество ограничено сверху - т.е. у него вообще есть верхняя грань - то есть и наименьшая верхняя грань).
Если хотите - я бы предложил продолжить в ПРР, это стандартный материал матанализа.

[Dmitriy40]

Да, походу я не прав, в рувики первое же замечание под формулой как раз и говорит что $\sup(X)$ может не принадлежать множеству $X$. Вах. Я спутал $\sup$ с $\max$.
Попросил модератора убрать мои ошибочные сообщения в ПРР(М) чтобы не захламляли. Как уберёт повторюсь здесь что был не прав.