Диофантово уравнение

[iskander9908]

Ende
Исправил название темы.

Приветствую форумчане,

Я пытаюсь найти способы для поиска решений уравнения $x!! + 1 = y^2$ в целых числах.

Пытался рассмотреть разные случаи: когда $x$ - чётное и когда нечётное, но ничего путного не добился. Для
четных $x$ я получил, что $x!!$ представим в произведении двух последовательных чётных чисел. Была идея, что это возможно только при $x = 4$ ($4!! + 1 = 3^2$), но не смог доказать что двойной факториал не может быть представлен в виде произведения двух последовательных чётных чисел, если он не равен $4$. Поэтому задумался: есть ли какая-нибудь теория, которая сможет отсеять ненужные решения?

P.S. - проверив на компьютере значения до $2000$, нашёл только $3,4,5,6$.

[waxtep]

Не уверен, что поможет, но 10 лет назад обсуждали задачу подобного типа здесь:

scwec в сообщении #1134681 писал(а):

П.Эрдёш и Р.Облат в 1937 году доказали в частности, что уравнение $n!\pm{1}=k^p$, для $n>2$ и нечетных простых $p$ решений не имеет (доказательство не простое)

-- 15.02.2026, 02:14 --

iskander9908 в сообщении #1718253 писал(а):

P.S. - проверив на компьютере значения до $2000$, нашёл только $3,4,5,6$.

По $100\,000$ включительно больше нету, далее машину не стал мучить

[iskander9908]

waxtep в сообщении #1718262 писал(а):

iskander9908 в сообщении #1718253 писал(а):

P.S. - проверив на компьютере значения до $2000$, нашёл только $3,4,5,6$.

По $100\,000$ включительно больше нету, далее машину не стал мучить

Ого! Сложилось впечатление, что больше решений нет.

[svv]

Вопрос о том, имеет ли аналогичное уравнение с обычным факториалом другие решения, кроме трёх известных, является открытой математической проблемой (Brocard's problem, или Brocard-Ramanujan conjecture).

[Ivan 09]

Попробовал самостоятельно решить исходное уравнение. Заметил, что если сделать замену $x\pm1=y$
Получим
$(x-2)!!=x\pm2$ Все четыре решения(мне известные) входят в это уравнения.
Такая замена, так как рассматривал чётность\нечётность и получил уравнение $(2n-1)!!=(2m-1)(2m+1)$. Некоторые $m=n$-решения, и следовательно $x\pm1=y$. $x=2n-1,y=2m$. Хотел создать отдельную тему, но решил написать здесь.

[mihiv]

Если справедлива гипотеза $abc$, то уравнения $n!+1=y^2$ и $n!!+1=y^2$ должны иметь конечное число решений.