Нетривиальное экстремальное число Фруда в открытых каналах (

[amon]

eXtrem в сообщении #1716708 писал(а):

Коль уж к пресловутой формуле (1) ни у кого претензий нет

А я не говорил, что к ней нет претензий. Я сказал, что она не содержит бросающихся в глаза ошибок. Она выведена для идеальной жидкости, поведение которой, как правило, разительно отличается от поведения реальной. В частности, крутить турбину идеальная жидкость не умеет. Бывают случаи, когда можно аппроксимировать реальную жидкость идеальной, но это скорее исключение, чем правило. Поэтому из Вас и пытались вытянуть вывод этой формулы, хотя бы схематический, что бы понять насколько она адекватна реальной ситуации.

Теперь по поводу Вашего экстремума. В формуле (1) $E$ зависит от трех переменных $E(L,H,V).$ Вы переписали ее как

$$ E = \rho L g^{3/2} H^{5/2} \Phi\!\left( F \right). $$

При этом $F$ является функцией от двух переменных $F=F(H,V),$ одна из которых входит также в размерный множитель. Нахождение экстремума осмысленно, если $H=\operatorname{const},$ в противном случае этот экстремум не соответствует экстремуму $E.$ IMHO, в этом случае ничего нового, кроме изменения масштаба по осям, по сравнению с графиком $E(V)\rvert_{H=\operatorname{const}}$ мы не получаем.

Если бы я рецензировал Вашу статью, я бы написал следующие замечания:
1. Обоснуйте применимость формулы (1) к рассматриваемой физической задаче, желательно с оценкой пределов ее применимости.
2. Что кроме масштабного преобразования графика $E(V)\rvert_{H=\operatorname{const}}$ можно извлечь из предложенного Вами обезразмеривания?

[eXtrem]

amon в сообщении #1716714 писал(а):

1. Обоснуйте применимость формулы (1) к рассматриваемой физической задаче, желательно с оценкой пределов ее применимости.
2. Что кроме масштабного преобразования графика $E(V)\rvert_{H=\operatorname{const}}$ можно извлечь из предложенного Вами обезразмеривания?

Спасибо.
Отвечу кратко в связи с дефицитом времени.

Формула (1) изначально рассматривается для идеальной жидкости без потерь — это неоднократно подчёркивалось. Подход полностью аналогичен пределу Беца для идеального газа и используется для определения теоретического энергетического предела, а не для описания реального устройства.
Часть этих вопросов о применимости и границ идеализации уже добавлена в новую версию препринта. Часть будет добавлена благодаря вашим замечаниям. Спасибо.

Экстремум ищется при $H=\operatorname{const}$
где $H$ является параметром стационарного режима. Обезразмеривание вводится не ради смены масштаба, а для выделения универсальной функции $ \[ \Phi\!\left( Fr \right) \]$$$ с масштабно-инвариантным экстремумом при $\mathrm{Fr} \approx 0.3094$, не совпадающим с критическим режимом $\mathrm{Fr} = 1$


В ближайшее время буду ограничен по времени, поэтому не смогу активно участвовать в обсуждении, но замечания и предложения по улучшению статьи смогу бегло просматривать.

Вопрос материалов по равнинным рекам остаётся актуальным — буду признателен за ссылки.

Приношу извинения если пока не успел ответить на все вопросы. Постараюсь вернуться через пару недель.
Спасибо.

-- 30.01.2026, 21:52 --

Кстати, вот фидбэк с иностранного научного форума. Видно, что от эрудированного чела.
Может кому-то покажется интересным.

Цитата:

I guess this equation is a good place to start.
The variables in the leading terms, p L g^3/2 H1^5/2 are somewhat similar to Betz, there is Area, Density and velocity from the g term so differs from Betz as it should, being a water turbine. I think this leading expression represents the maximum power that would be available if the water was flowing vertically.
The second polynomial in parentheses is the center of interest for this paper.
I don't believe I have seen the Froude numbers arranged this way; you are setting up a Froude-based optimization scheme; interesting!

The differentiation is correct and yields an optimum value for Fr = 0.309373 or 0.3094
When I plug that value into the expression I get ΦFropt = 0.11191 you have 0.10119 probably a typo.
You graph shows a peak at Y ΦFr =0.11191, X = Fr = 3094 so that all checks out.
Here is where I have some doubts and questions:
Your total mechanical flow energy, Φfull = Fr + (Fr^3)/2
You are not including the dissipative losses 3/2Fr5/3
The problem with that is two-fold, in my opinion.

First, you included that in the expression that was differentiated to find the maximum. I don’t think it is internally consistent to discard it now.
I think I understand your reasoning that the irreducible energy is "locked" by the 5/3-power frictional dissipation because of the need to maintain flow against gravity.
But, that dissipative loss is still part of the total energy of the river and even though it is not lost at the turbine, it should figure into the Φfull, in my opinion.
I can see why you don’t want to include it. When you take the total energy of the river the max extracted power is 11.2%
Calculating as you are, the total extracted power is 34.52% and the water turbine is comparable to a wind turbine’s Betz efficiency of 59.3%.

As for the connection with Pelz; once you correct your value of 0.10119 to 0.11191 you find there is no exact match with Pelz. Besides that, Pelz Limit is the theoretical upper bound for hydropower extraction in open-channel flow. That works out to ~38.5% efficiency unless I am mistaken. That is much higher than your actual 11.2% but is explained by the fact Pelz Limit is for open channel flow and since you have a friction term (looks like the Manning-Strickler term just going by the exponent) the friction is burning up some 70% of the energy that is available in Pelz!

The good news is your calculation of the "Optimum" Fr = 0.3094 is clever, at least I have not come across it before. That alone makes your paper worth reading.

The questionable part is your calculation of max extractable power of 34.52% when that friction term is correctly included that drops to 11.2%. IMHO the 11.2% is correct but you should get some other inputs on that.
Two more points that you may want to consider:
Since you are using the exponent 5/3 in the dissipative term, that seems to indicate Manning-Strickler friction. But your paper does not make mention of Bed Slope or Channel Roughness.

A gravity-driven flow cannot maintain a steady-state Froude number against friction without a slope.
You appear to be using a turbine width for L, but the dissipative term, (exponent 5/3) usually applies to a channel-wide dissipation.

So, for me there is some question about scale.
That is all I came up with. I hope it is helpful, that is the spirit I wrote it; and not too critical-sounding, but reviews always sound that way to authors. I do like the optimization of Froude number, that is original work as far as I know.

Good Luck!

[eXtrem]

EUgeneUS в сообщении #1716710 писал(а):

При фиксированной входной скорости.

2. "А линия" экстремумов строится как множество экстремумов при $H$ - константа.

Это нормально?

Да, это нормально.

Цитата:

Тут взаимоисключающие параграфы. Либо "только масштабирует график по вертикали", либо точка экстремума смещается.

Никакого противоречия нет. Масштаб меняется по вертикали, а точка смещается по горизонтали.

-- 01.02.2026, 14:19 --

eXtrem в сообщении #1716650 писал(а):

realeugene в сообщении #1716634 писал(а):

.....можно извлечь максимум энергии из каждого литра сработанной воды, а не на метр ширины плотины.....

..... имея некоторый напор какая нужна минимальная ширина плотины для извлечения киловатта мощности?

Вы меня разочаровываете всё больше.
Вы что именно имели ввиду этой фразой ?

Вы уже неоднократно не отвечаете на мои наводящие вопросы.
Один раз про условия стока на выходе. Я сам был вынужден за вас на этот вопрос ответить.
Теперь снова молчите.

Тогда я отвечу на ваш вопрос так, как я его понял.
Вы не против ?

[realeugene]

Информирую, что ТС было перешёл к хамству ко мне в мне личку и был послан, в том числе в ЧС. Разбираться с его наивными фантазиями я больше не намерен.

[peregoudov]

Ну вот, пошла уже пятая страница, а ни на один конкретный вопрос, заданный еще на первых двух, мы так и не получили внятного ответа...

Давайте я тут все еще раз повторю более последовательно и развернуто.

Формула (1). С математической точки зрения к ней вопросов нет. Она получается довольно тривиально оптимизацией разности потоков энергии выше и ниже ГЭС (каковая разность и дает оценку сверху для мощности ГЭС) при следующих предположениях:

- русло реки имеет прямоугольное сечение постоянной ширины L и постоянную глубину дна;
- вода --- идеальная несжимаемая жидкость, скорость воды в рассматриваемых сечениях однородна по сечению;
- расход воды (в кубах либо тоннах в секунду) выше и ниже ГЭС одинаков;
- конструкция ГЭС не влияет на параметры потока (глубину реки и скорость течения) выше по течению, но влияет на параметры потока ниже по течению.

В этих предположениях глубина H и скорость V выше по течению фиксированы, а изменением конструкции ГЭС мы можем варьировать глубину и скорость ниже, но так, чтобы не менялся расход. Поэтому фактически имеем один свободный параметр, например, удобно сразу перейти от H и V к числу Фруда F и расходу Q, тогда варьироваться будет F ниже ГЭС.

В результате оптимизации для оценки мощности получается формула (1), а для потока в нижнем течении F=1, то есть "докритический" F<1 поток нужно разгонять, а сверхкритический F>1 --- тормозить. Схематично проиллюстрировано на картинке ниже.



К формуле (1), конечно же, сразу возникают вопросы, связанные с последним использованным при ее выводе предположением. Автор обсуждать эти вопросы не хочет, по высказанному им выше мнению, индикатором физической осмысленности постановки задачи является наличие экстремума Но, по моему мнению, справедливость предположения о неизменности параметров потока выше по течению --- это и есть главный вопрос. Тут было высказано утверждение, что число Фруда аналогично числу Маха, поток с F>1 аналогичен сверхзвуковому потоку, а потому препятствие не способно повлиять на поток выше по течению. Ну, во-первых, это оставляет от приведенного рисунка только правую часть, где для извлечения энергии нужно поднять уровень воды за ГЭС. А, во-вторых, это утверждение само по себе сомнительно. Если я опущу сверху в быстрый поток стенку, которая перегородит его наполовину, неужели прямо вплоть до стенки поток не изменится?

Ну и, конечно, нужно сказать, что, если мы попытаемся оптимизировать разность потоков энергии выше и ниже ГЭС при каких-нибудь других ограничениях, например, считая, что поток ниже ГЭС не меняется, то никакого нетривиального максимума не получим: выяснится, что чем выше плотина, тем и оценка мощности больше

Но я не совсем понимаю, почему все обсуждение крутится вокруг формулы (1), когда непосредственно в теме нам предлагают еще более удивительные вещи. Имея уже формулу (1), в которой два параметра, глубина H и скорость V потока выше ГЭС (или, эквивалентно, число Фруда F и расход Q), нам предлагают оптимизировать уже формулу (1). И при таких нелепых предположениях, что сразу возникает масса вопросов.

Во-первых, оптимизация формулы (1) означает, что нужно менять параметры потока выше ГЭС --- то, что на предыдущем этапе считалось невозможным сделать. Ну то есть сама формула (1) выведена в предположении, что как бы мы ни извращались с конструкцией ГЭС, поток выше по течению не меняется.

Во-вторых, оптимум предлагается искать при фиксированной глубине потока, меняя его скорость, что автоматически означает изменение расхода. Какой этому можно придать физический смысл --- совершенно не ясно (да и можно ли вообще). И, конечно, нужно опять отметить, что, если попытаться провести оптимизацию формулы (1) в более разумном предположении постоянства расхода, то снова никакого нетривиального максимума нет: чем выше плотина, тем лучше.

Ну и, насколько я понимаю, за 20+ лет автор, позиционирующий себя практиком-гидроэнергетиком, так и не озаботился хотя бы о каком-то экспериментальном подтверждении своих фантазий. Не то что реальной электростанции, но даже демонстрационной модели у него нет.

Хочу еще дать ссылку на довольно старый уже разбор всех этих полетов, там еще и другие ссылки можно посмотреть и точка зрения довольно уравновешенная, но там только про формулу (1) и около нее, а не про новоизобретения автора.

На что вся эта странная возня похожа --- напишу через некоторое время в своем финальном сообщении.

GraNiNi в сообщении #1716698 писал(а):

amon в сообщении #1716679 писал(а):

Трешчалова

Не об этом ли Трещалове речь?
https://extremal-mechanics.org/wp-conte ... ect_ru.pdf

Об этом, об этом, об авторе темы.

[eXtrem]

peregoudov в сообщении #1716933 писал(а):

Давайте я тут все еще раз повторю более последовательно и развернуто.
.

Пока есть время отвечу.
Попробую зафиксировать позицию последовательно и по существу, чтобы избежать смешения разных уровней обсуждения.

О статусе формулы (1)
Формула (1) с самого начала рассматривалась исключительно как верхняя оценка извлекаемой мощности, полученная в рамках идеализированной гидродинамической постановки: при фиксированном состоянии потока выше по течению и варьируемом состоянии ниже при сохранении расхода. Она не является моделью реальной ГЭС и не предназначена для инженерного расчёта конкретного сооружения.
По своему логическому статусу эта оценка полностью аналогична хорошо известным предельным результатам в физике: пределу Карно в термодинамике или пределу Беца в ветроэнергетике. Ни в одном из этих случаев идеализированные предположения не трактуются как описание реальных устройств; они служат для выявления фундаментальных ограничений, накладываемых уравнениями и законами сохранения.

О предположении о фиксированности потока выше по течению
Предположение о неизменности параметров потока выше по течению не является утверждением о том, что реальная конструкция «никак не влияет» на реку. Это стандартное методологическое допущение, используемое при выводе предельных оценок, когда верхний поток рассматривается как заданный внешними условиями источник энергии.
Именно в таком виде исторически вводились ключевые безразмерные параметры и критические режимы: число Фруда — для классификации режимов течения, а в более общем контексте — предельные критерии устойчивости в классических работах Ландау. Речь идёт о свойствах уравнений и потоков как таковых, а не о конкретных инженерных реализациях.

Об аналогии с числом Фруда и числом Маха
Аналогия с числом Маха используется в ограниченном, строго методологическом смысле — как указание на гиперболический характер уравнений мелкой воды и особую роль критического режима F≈1. В идеализированном, бездиссипативном пределе при F>1 малые возмущения не распространяются вверх по течению. Разумеется, это не утверждение о поведении реального турбулентного потока, а характеристика идеализированной модели, на том же уровне абстракции, на котором формулируются и другие фундаментальные пределы.

О том, какая формула фактически используется в дальнейшем анализе
Хотя обсуждение исторически начиналось с формулы (1), дальнейшие преобразования и выводы выполняются уже на основе формулы (2). Принципиально важно, что формула (2) была получена не мной, а другим автором независимым способом и в иной постановке задачи, хотя в точности совпадает с моей. Совпадение результатов, полученных разными методами, существенно снижает вероятность того, что речь идёт о частном артефакте выбранных предположений.

Об оптимизации и физическом смысле параметров
Оптимизация по безразмерным параметрам (включая число Фруда) не означает управления параметрами конкретного потока в конкретной реке. Это анализ структуры самой предельной оценки и выявление характерных режимов, прежде всего естественного ограничения, связанного с критическим состоянием F≈1. Аналогичным образом в термодинамике оптимизируется КПД как функция температур резервуаров, а в аэродинамике — безразмерные коэффициенты, без прямой привязки к конкретному устройству.

Об эксперименте
Экспериментальная проверка режимов, близких к энергетическим пределам в открытом потоке, является крайне ресурсоёмкой задачей. Тем не менее, экспериментальные работы в этом направлении в настоящее время ведутся. При этом отсутствие завершённого инженерного решения не может служить аргументом против корректности теоретической предельной оценки.
В этом смысле ситуация принципиально не отличается, например, от управляемого термоядерного синтеза: фундаментальные пределы, критерии устойчивости и режимы удержания плазмы были сформулированы задолго до появления рабочего реактора, и никто не ставит под сомнение теорию только на основании сохраняющихся инженерных трудностей.

Прездаключение
Таким образом, обсуждаемый результат следует рассматривать именно как фундаментальное гидродинамическое ограничение, сформулированное в терминах безразмерных параметров потока, в традиции работ Фруда, Ландау и других классиков.

Критика, касающаяся практической реализуемости, влияния трения, турбулентности и обратного воздействия, безусловно уместна, но она относится уже к следующему уровню — инженерной реализации, а не к корректности самой предельной оценки.

В заключение хочу отметить, что искренне рад тому, что тема вызывает активное и содержательное обсуждение, оппоненты находят и приводят ссылки на предыдущие работы и помнят историческую ретроспективу вопроса.

Сам факт такой дискуссии показывает, что рассматриваемая проблема не является умозрительной, а остаётся актуальной и живой, продолжая вызывать профессиональный интерес.

Полагаю, что именно таким образом и формируются новые решения и теории: через открытую профессиональную дискуссию, сопоставление различных подходов, обращение к историческому опыту и последовательное прояснение границ применимости используемых моделей.

-- 02.02.2026, 05:05 --

Ремарка
Число Фруда обозначается Fr , а не F.
А F - это фтор.
Вы ведь не обзываете косинус фи, косинусом альфа.

[eXtrem]

А картинка корректная и физически осмысленная. За исключением, фтора вместо Фруда, и что вместо формулы (1), в которой отсутствует Fr, лучше использовать формулу (2), в которой он есть, и которая не мной была выведена.

Левая часть действительно отражает реальный режим работы обычной плотинной ГЭС: в верхнем бьефе поток медленный, а в нижнем бьефе, на выходе из турбин, скорость заметно выше и в идеализированном пределе следует стремиться к критическому режиму Fr = 1.
Именно так это наблюдается на реальных гидроэлектростанциях.

А картинка в правой части вам что-нибудь напоминает?
.......

Совершенно верно!
Эту схему вполне можно рассматривать как гидродинамический аналог классического предела Беца, но с учётом гравитации и изменения скорости потока. В обоих случаях поток до и после «энергетического узла» - актуатора изменяет свою скорость и энергетическое состояние в результате извлечения мощности.

Для сравнения приведу стандартную иллюстрацию, используемую при объяснении предела Беца в ветроэнергетике. На ней показано, как скорость воздушного потока изменяется до и после идеального актуаторного диска, ограничивающего извлечение энергии.

До актуатора поток узкий и быстрый, после — более широкий и замедленный.

Похоже?

Принципиальная разница между этими случаями состоит в том, что Бец оперирует исключительно кинетической энергией потока. В его постановке гравитация вообще не учитывается.

В моём же случае рассматривается полная энергия потока, включая гравитационную составляющую. Для гидравлики, а тем более для открытых потоков, гравитация является определяющим фактором и не может быть отброшена. Именно поэтому такие потоки и называются гравитационными.

[realeugene]

peregoudov в сообщении #1716933 писал(а):

Но я не совсем понимаю, почему все обсуждение крутится вокруг формулы (1), когда непосредственно в теме нам предлагают еще более удивительные вещи.

Пф... Больше ни у кого не возникло желания продираться дальше. Если фантастика в начале, то и все следствия тоже фантастика.

[eXtrem]

peregoudov в сообщении #1716933 писал(а):

нам предлагают оптимизировать уже формулу (1). И при таких нелепых предположениях, что сразу возникает масса вопросов.

Во-первых, оптимизация формулы (1) означает,

Забудьте пока про формулу (1). Она приводилась исключительно в качестве базового ориентира и для фиксации приоритета. И она эту свою функцию выполнила.
Далее все рассуждения и расчёты ведутся только с формулой (2), которая была получена и не мной, и другим способом, хотя она тождественна (1) .

$$E = \rho L V_1 g H_1^2 \left( 1 + \frac{Fr^2}{2} - \frac{3}{2} \sqrt[3]{Fr^2} \right) $$$ (2)

Эта формула уже оптимизирована по максимальной извлекаемой мощности за счёт минимизации энергии в нижнем бьефе, при условии $\quad Fr_2 = 1$$
и далее её нет необходимости "оптимизировать".

В дальнейшем эта формула лишь преобразуется — из неё выделяется безразмерная функция, которая полностью задаёт форму кривой и положение экстремума.

Вы правы: увеличение высоты «плотины» (как вы её называете) действительно приводит к росту мощности пропорционально степени 5/2 (при фиксированном числе Фруда). Однако это никак не устраняет экстремум этой функции при $\quad Fr = 0.3094$$

Это число является фундаментальным параметром, определяющим режим течения равнинных рек.
Именно при этом значении Fr возникает максимальный универсальный предел извлечения энергии, равный 34.52%.
А, возможно, именно поэтому оно и является базовым параметром течения равнинных рек.

[GraNiNi]

eXtrem в сообщении #1717005 писал(а):

Именно при этом значении Fr возникает максимальный универсальный предел извлечения энергии, равный 34.52%.

Когда установившийся поток воды нарушается "извлекателем" энергии, то он изменяет характеристики самого потока.
Это имеет влияние на полученные численные значения?