Задача про полоски с дырками

[anahronizm]

Предположим, что есть полоска бумаги, с расположенными в ряд клетками.
Пусть, для начала, количество клеток 12.
Берём вилку, у которой два зуба, с "дыркой" между зубьями h=1 (такой вилкой можно проколоть, например, клетки 1 и 3 или 4 и 6, т.е. между клеток с проколами окажется целая клетка) и проходимся с ней по полоске с клетками. При этом необходимо соблюдать условие - между дырками - соседними "ударами" вилки - должно быть две целых клетки (интервал равен 2)
Потом этой же вилкой проходимся второй раз по этой же полоске, но с интервалом 4.
При этом пытаемся расположить удары вилок так, чтобы было проколото наибольшее количество клеток, т.е. первый удар вилкой мы можем делать в любом месте, а последующие - с обозначенным интервалом вправо (и влево, если это необходимо).

Теперь возьмём новую полоску, на которой 20 клеток.
И пройдёмся по ней вилкой с первыми условиями. Но теперь добавим ещё одну вилку, у которой два зуба, с дыркой h=3 и пройдёмся по полоске так же два раза с интервалами 6 и 8 соответственно для каждого раза. Так же, как и прежде, пытаемся расположить удары всех вилок так, чтобы было проколото наибольшее количество клеток, т.е. первый удар вилкой при очередном проходе мы можем делать в любом месте, а последующие - с обозначенным интервалом вправо (и влево, если это необходимо).

По следующей полоске, на которой 28 клеток, проходятся уже три вилки (каждая по два раза) с "дырками" 1,3 и 5 с интервалами 2 и 4, 6 и 8, 10 и 12 (соответственно). Так же, стараемся проколоть наибольшее количество клеток.

Если для последующих полосок мы будем соблюдать те же условия:
- увеличиваем количество клеток на полоске на 8
- увеличиваем количество вилок на одну
- увеличиваем дырку на новой вилке на 2
- проходимся каждой вилкой два раза
- увеличиваем интервалы на 4 (от интервалов последней вилки)
То какие из утверждений будут верны:
1. невозможно проколоть все клетки на любой полоске
2. начиная с некоторой полоски все последующие могут быть проколоты полностью
3. при любом увеличении полоски, среди полностью проколотых, найдётся такая, которую невозможно проколоть полностью.

Если я не верно оформил задачу или поместил её не в тот раздел, прошу подсказать или переместить.

[anahronizm]

Вот не думал, что задачка сия вызовет затруднения.

[wrest]

anahronizm
Слишком мутно описаны условия. Может какие пояснительные рисунки или другие примеры помогут.

[anahronizm]

wrest в сообщении #1716250 писал(а):

anahronizm
Слишком мутно описаны условия. Может какие пояснительные рисунки или другие примеры помогут.

Старался, как мог - пока это лучшее пояснение, какое я смог придумать. Условие - дан определённый интервал чисел(клеток), которые пытаемся "пробить" определёнными "вилками" через определённый интервал. Если только придумать другую аллегорию.
Или уж полоски бумаги резать, да клеточки закрашивать.
В принципе, ничего другого и нет - эту задачку я просто придумал, когда клеточки с племянником закрашивал.
Пока о ней не думал серьёзным образом и лёгкого решения, с ходу, не нашёл.
Ну, уж думал, что здесь её сщёлкают, как семечки. Через комбинации, через китайскую теорему.
Как я понимаю, "дырки" будут накладываться друг на друга при определённых комбинациях и не каждый отрезок можно проколоть дырками.
Даже и не подскажу.

[wrest]

anahronizm в сообщении #1716252 писал(а):

пока это лучшее пояснение,

anahronizm в сообщении #1716252 писал(а):

Даже и не подскажу.

Ну ок, подождём телепатов и/или любителей ребусов :)

[mihaild]

А можно только одним зубцом тыкать, если второй за край выходит?

(Оффтоп)

anahronizm в сообщении #1716241 писал(а):

Вот не думал, что задачка сия вызовет затруднения.

Как я вам уже говорил - такие замечания очень сильно уменьшают желание что-то отвечать.

[waxtep]

anahronizm в сообщении #1716204 писал(а):

Берём вилку, у которой два зуба, с "дыркой" между зубьями h=1 (такой вилкой можно проколоть, например, клетки 1 и 3 или 4 и 6, т.е. между клеток с проколами окажется целая клетка)

я вот в этом месте сразу замедитировал: если сторона клетки тоже единичка, то проколоть клетки 1 и 3 одновременно конечно можно, но только по самой границе; при этом, и клетка номер 2, по идее, должна считаться проколотой. Дальше не стал читать, с ходу споткнувшись

-- 26.01.2026, 13:11 --

Ха, написал, и сразу понял: у тетрадной клетки сторона 0,5 см можно дальше читать... Интересный эффект

[anahronizm]

mihaild в сообщении #1716258 писал(а):

А можно только одним зубцом тыкать, если второй за край выходит?

(Оффтоп)

anahronizm в сообщении #1716241 писал(а):

Вот не думал, что задачка сия вызовет затруднения.

Как я вам уже говорил - такие замечания очень сильно уменьшают желание что-то отвечать.

Да, тыкать можно.
Получится одна дырка на отрезке, другая за отрезком и её учитывать не нужно.
Например, вилка с дыркой 1 и интервалом 2 пробьёт на полоске интервалом 12 следующие клетки: 1,3,6,8 и 11. Второй зуб вилки проткнул бы 13 клетку, но её нет и удар этого зуба мы не учитываем.
Да, я не думал, что задача вызовет затруднения.

-- 26.01.2026, 13:20 --

mihaild в сообщении #1716258 писал(а):

Как я вам уже говорил - такие замечания очень сильно уменьшают желание что-то отвечать.

Уважаемые математики, никого не хотел обидеть !

-- 26.01.2026, 13:24 --

Первый удар вилкой можно делать в любом месте. Можно даже по середине, но тогда слева и справа могут остаться свободные интервалы, куда тоже можно ткнуть вилкой при данных условиях.
Это условие нужно, чтобы была возможность сдвига для максимального заполнения полоски дырками.

[mihaild]

anahronizm в сообщении #1716260 писал(а):

Это условие нужно, чтобы была возможность сдвига для максимального заполнения полоски дырками

Поскольку нам нужно как можно больше дырок, это излишне - если можно заполнить всё, начиная с середины, то и начиная с края тоже получится.

Вроде как вилка с дыркой $h$, шагом $w$ и первой клеткой $x$ заполняет две арифметические прогрессии - $x + i \cdot (w + h + 2)$ и $x + h + 1 + i \cdot (w + h + 2)$. И вопрос - можно ли заполнить нужный интервал (или все натуральные числа) такими прогрессиями.

[waxtep]

anahronizm в сообщении #1716260 писал(а):

Например, вилка с дыркой 1 и интервалом 2 пробьёт на полоске интервалом 12 следующие клетки: 1,3,6,8 и 11.

А во второй проход я могу ткнуть в клетку номер 2? Т.е. не отступать от дырок первого прохода на какой-то обязательный минимальный интервал.
И у Вас, действительно, кажется, местами сантиметры (расстояние между зубцами), а местами клетки (полусантиметры, интервалы); это чуть затрудняет чтение, может быть, примем сторону клетки за единичку, и все будем выражать через неё?

-- 26.01.2026, 13:41 --

mihaild в сообщении #1716264 писал(а):

И вопрос - можно ли заполнить нужный интервал (или все натуральные числа) такими прогрессиями.

я похожим образом прочел, натуральные числа от $1$ до $8k+4$, и $4k$ арифметических прогрессий с такими-то шагами и дополнительными условиями на их взаимное расположение

[anahronizm]

waxtep в сообщении #1716265 писал(а):

А во второй проход я могу ткнуть в клетку номер 2? Т.е. не отступать от дырок первого прохода на какой-то обязательный минимальный интервал.
И у Вас, действительно, кажется, местами сантиметры (расстояние между зубцами), а местами клетки (полусантиметры, интервалы); это чуть затрудняет чтение, может быть, примем сторону клетки за единичку, и все будем выражать через неё?

Как Вам будет удобно! Я не математик, правильно выражаться не умею.
Во второй проход можно тыкать куда угодно (первый раз), а потом по условию интервалов.
Задача - пробить максимальное количество клеток (чисел).

Я тут подумал, можно ли определить для какого-либо данного количества "вилок" максимальную длину полоски, которую точно можно забить дырками.
Изначально взял условие длины полосок интуитивно. Возможно ли ужесточить условие ?
Уважаемые математики, если вы считаете нужным записать задачу более строгим языком - не стесняйтесь. Можете даже сделать это коллективно, чтобы всем нравилось и было понятно. Я только За. Сам я не умею. Главное, чтобы всем интересно было.
Сейчас нужно работу работать, но потом обязательно отвечу.

[Ende]

anahronizm в сообщении #1716241 писал(а):

Вот не думал, что задачка сия вызовет затруднения.

До тех пор, пока не научитесь формулировать условия задач с математической точностью, такие замечания как минимум неуместны.

[waxtep]

anahronizm в сообщении #1716267 писал(а):

Во второй проход можно тыкать куда угодно (первый раз), а потом по условию интервалов.
Задача - пробить максимальное количество клеток (чисел).

Ок, спасибо. У меня получилось так: пусть $i,k\in\mathbb{N}, 1\leqslant i\leqslant k, L=8k+4$. Для каких $k$ можно подобрать $2k$ натуральных чисел $\{s_{1i},s_{2i}\}$, так чтобы любое натуральные число от $1$ до $L$ принадлежало одной из $4k$ арифметических прогрессий, таких, что:
- разность прогрессии $8i-3$, а первый член $s_{1i}$ или $s_{1i}+4i-2$
- разность прогрессии $8i-1$, а первый член $s_{2i}$ или $s_{2i}+4i$?
Мог накосячить в арифметике (и/или неверно понять автора темы)

-- 26.01.2026, 14:27 --

Если совсем глупенько на это дело посмотреть, получается задача на сумму гармонического ряда; я бы сделал ставку на "можно покрыть прогрессиями все числа, начиная с некоторого $k$" (без доказательства, только наглядные соображения)

[anahronizm]

waxtep в сообщении #1716271 писал(а):

Мог накосячить в арифметике (и/или неверно понять автора темы)

Увы, я в математике почти ничего не понимаю. Мы с мальцом полоски раскрашивали, вот и придумали эту задачку.
Сначала я закрашиваю по одной клеточке: закрасил одну, потом от первой через одну, потом от второй через две, потом от третьей через одну, потом от четвёртой через две и т.д.
Потом он закрашивает в том же масштабе, даже если клеточка уже закрашена была мной, он снова по ней штрихует. Это как два одинаковых штрих-кода наложить друг на друга, только со сдвигом, чтобы оставить поменьше не закрашенных мест.
Мне показалось, что "вилками" объяснить будет понятнее.
С меня тут админ требует чёткими математическими символами и формулами. А я единственное, что помню это два плюс два равно четыре.
Вы мне вот что скажите, можно ли ответить на вопросы, поставленные в задаче:
"... Какие из утверждений будут верны:
1. невозможно проколоть все клетки на любой полоске
2. начиная с некоторой полоски все последующие могут быть проколоты полностью
3. при любом увеличении полоски, среди полностью проколотых, найдётся такая, которую невозможно проколоть полностью."

Или на эти вопросы современная математика ответить не может ? Я ж не знаю.
А то вдруг это какая-нибудь очередная проблема Пототского-Верхнего, за доказательство которой кучу денег обещают...
Побегу работу работать - гайки крутить, да подшипники смазывать.

-- 26.01.2026, 16:13 --

Ende в сообщении #1716268 писал(а):

До тех пор, пока не научитесь формулировать условия задач с математической точностью, такие замечания как минимум неуместны.

Понял. Исправлюсь. Оправдаю.
Что, кто-то пожаловаться посчитал нужным?
Вот не думал, что...ой, чуть снова это не сказал..
Я думал(!), что эта задачка затруднений не вызовет.
Честно-честно - я так думал.
Да, господин админ (товарищ?, гражданин?) я в русском языке плохо разбираюсь (троешник), подскажите, нужно ли было в Вашем предложении выделить выражение "как минимум" запятыми ?

[wrest]

anahronizm в сообщении #1716260 писал(а):

Например, вилка с дыркой 1 и интервалом 2 пробьёт на полоске интервалом 12 следующие клетки: 1,3,6,8 и 11.

Как так? Читаем:

anahronizm в сообщении #1716204 писал(а):

Берём вилку, у которой два зуба, с "дыркой" между зубьями h=1 (такой вилкой можно проколоть, например, клетки 1 и 3 или 4 и 6, т.е. между клеток с проколами окажется целая клетка) и проходимся с ней по полоске с клетками. При этом необходимо соблюдать условие - между дырками - соседними "ударами" вилки - должно быть две целых клетки (интервал равен 2)

Я понял так что "удар" вилки определяется по какому-то одному, например левому зубу. Ну то есть удар в клетку 1 пробивает клетки 1 и 3. Если теперь сместить вилку вправо на "интервал" равный двум (пропустить две клетки и встать на третью от текущей), то левый зуб вилки смещается с клетки 1 на клетку 1+3=4 а правый с клетки 3 на клетку 3+3=6. То есть этой вилкой делаются дырки 1,3,4,6,7,9,10,12 а не 1,3,6,8 и 11
Объясните что вы придумали, поточнее.

-- 26.01.2026, 16:31 --

anahronizm в сообщении #1716288 писал(а):

Вы мне вот что скажите, можно ли ответить на вопросы, поставленные в задаче:

Отвечаю:
1. Да
2. Нет
3. Да