Если любой эл. обратен самому-себе то группа-Абелева. Док-во

[dgwuqtj]

(Оффтоп)

F111mon в сообщении #1714597 писал(а):

для группы достаточно левого обратного и левой единицы?

Это даже бывает полезно, например, так легко проверить, что формальные степенные ряды одной переменной, начинающиеся с $x + \ldots$, образуют группу относительно композиции.

[cxzbsdhwert]

F111mon в сообщении #1714597 писал(а):

Раз уж пошло обсуждение оснований теории групп, можете доказать, что для группы достаточно левого обратного и левой единицы?

Несколько подсказок: для моноида достаточно левого нейтрального? Возникает ли в группе достаточность левого (или правого) нейтрального в связи с существованием (какого-либо: левого, правого, или и левого и правого) обратного элемента? Только левого же достаточно также как и только правого, или левый какой-то особенный?

(Оффтоп)

Кстати, увлёкшись, ещё немного заглянув, теперь уже в семинары по новому разделу (хотя я ещё коллоквиум по математическому анализу и теории чисел за первый модуль не сдал), как раз этот вопрос поднятый Семинаристом уже услышал

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1714642 писал(а):

для моноида достаточно левого нейтрального?

Не уверен, что правильно понимаю, что Вы спрашиваете. Верно ли, что если операция ассоциативна и есть левый нейтральный, то есть и правый нейтральный?
Это неправда, и есть контрпример уже на двух элементах.

cxzbsdhwert в сообщении #1714642 писал(а):

Возникает ли в группе достаточность левого (или правого) нейтрального в связи с существованием (какого-либо: левого, правого, или и левого и правого) обратного элемента?

Тут много вариантов. И есть слегка разные варианты аксиоматизации групп (где требуются левые/правые, где двусторонние), поэтому если Вы хотите спросить, достаточно ли каких-то свойств для получения группы - напишите явно все аксиомы.

cxzbsdhwert в сообщении #1714642 писал(а):

Только левого же достаточно также как и только правого, или левый какой-то особенный?

Пусть есть структура $(G, \cdot)$ с правым обратным и правым нейтральным. Введем на ней другую операцию, $a \circ b = b \cdot a$. Она тоже ассоциативна, и для неё уже есть левые обратный и нейтральный. Значит (по предположению) $\circ$ задает группу. Значит и $\cdot$ задает группу.

[cxzbsdhwert]

mihaild в сообщении #1714645 писал(а):

Верно ли, что если операция ассоциативна и есть левый нейтральный, то есть и правый нейтральный?

Насколько понимаю - да, это и предложили доказать для группы.

mihaild в сообщении #1714645 писал(а):

если Вы хотите спросить, достаточно ли каких-то свойств для получения группы - напишите явно все аксиомы

F111mon задачу сформулировал не уточняя аксиом, видимо этого достаточно.
На лекции было определено так: полугруппа - мн-во с бинарной ассоциативной операцией; моноид - полугруппа, операция которой такая, что $\forall m\in M \exists e\in M: e\circ m = m\circ e = m$; группа - моноид, операция которого такая, что $\forall m\in M \exists m^{-1}\in M: m^{-1}\circ m = m\circ m^{-1} = e$

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1714647 писал(а):

F111mon задачу сформулировал не уточняя аксиом, видимо этого достаточно.

Поскольку задача на "подумать", то доформулировать её - часть упражнения.

Пусть у нас есть полугруппа. Докажите, что:
1. В ней может быть левый нейтральный, но не быть правого нейтрального.
2. Если есть левый нейтральный и есть левый обратный, то это группа.

[cxzbsdhwert]

mihaild в сообщении #1714651 писал(а):

задача на "подумать"

Что, даже ответ не "формульный" должен быть?

[F111mon]

mihaild в сообщении #1714645 писал(а):

И есть слегка разные варианты аксиоматизации групп (где требуются левые/правые, где двусторонние), поэтому если Вы хотите спросить, достаточно ли каких-то свойств для получения группы - напишите явно все аксиомы.

Не совсем точная фраза. Звучит так, как будто есть два разных типа объектов: группы с двусторонней единицей, и группы с односторонней единицей.
На самом деле, необходимым является наличие односторонней единицы и одностороннего обратного.
Но часто, чтобы не напрягать студентов, аксиомы формулируют избыточным двусторонним образом

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1714654 писал(а):

Что, даже ответ не "формульный" должен быть?

Не чисто формульный. Впрочем, я уже предложил формальную формулировку.

(Оффтоп)

F111mon в сообщении #1714655 писал(а):

Не совсем точная фраза. Звучит так, как будто есть два разных типа объектов: группы с двусторонней единицей, и группы с односторонней единицей.

Да вроде бы точная. Я же сказал "варианты аксиоматизации" а не "варианты понятия". Это именно разные аксиоматизации одного и того же класса объектов.

[dgwuqtj]

F111mon в сообщении #1714655 писал(а):

На самом деле, необходимым является наличие односторонней единицы и одностороннего обратного.
Но часто, чтобы не напрягать студентов, аксиомы формулируют избыточным двусторонним образом

Вообще нет смысла выписывать "минимальный" набор аксиом, он зачастую неестественный и не единственный. Обычные аксиомы группы как раз самые полезные. Вариант с односторонней единицей мне вообще никогда не пригождался, только с двусторонней единицей и односторонними обратными.

[cxzbsdhwert]

mihaild в сообщении #1714651 писал(а):

1. В ней может быть левый нейтральный, но не быть правого нейтрального.

Контрпример привести что ли?
1. Пусть на множестве задана операция и есть левый нейтральный по такой операции элемент $e$.
1.1 Любой элемент в паре с нейтральным справа ставится такой операцией в соответствие константе $x\in S$: $\forall a,b \in S, (a, e) \rightarrow (b, e) \rightarrow x$
1.2 А также любой элемент в паре с такой константой $x$ (в любом порядке) ставится в соответствие этой же константе: $\forall a,b \in S, (a,x) \rightarrow (b,x) \rightarrow x$ (не противоречит 1.1 и не противоречит определению левого нейтрального элемента, который есть).

2.Такое правило не мешает операции быть ассоциативной: $\forall a,b\in S, a(be)=ax=x=(ab)e=x$. Для остальных наборов $a,b,c \in S$ полагаем ассоциативность аксиоматичной, к противоречию это не приводит. Значит такая операция может быть ассоциативной
3. Пусть $\exists c\in S: c \neq x$, тогда по п.2 нейтральный слева, будучи расположенным справа для такого $c$ не будет нейтральным. Значит есть левый нейтральный, который справа не нейтрален хотя бы для одного элемента
4. Значит существует полугруппа с левым нейтральным, но без правого.

Или как-то более обобщающе это доказывается?

Upd: необходимо уточнить до $e=x$, иначе с $(e,e)$ возникает противоречие.

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1714679 писал(а):

Контрпример привести что ли?

Ага. А для этого нужно задать носитель, и операцию. Пока что у вас носитель толком не указан (только понятно что в нем есть $x$ и $e$), и операция задана только на некоторых парах. А вдруг не получится её продолжить на все с сохранением ассоциативности?

[cxzbsdhwert]

mihaild
Я внёс уточнение в конце сообщения с которым вроде для любых $a,b,c \in S$ ассоциативность выполняется. Ну то есть для случая когда $a,b$ - любые, а $c=e$ ассоциативность доказана, для остальных случаев полагаем ассоциативность аксиоматичной и это не приводит к противоречию.

mihaild в сообщении #1714681 писал(а):

нужно задать носитель, и операцию

Любое множество с больше чем двумя элементами. Операция задана

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1714682 писал(а):

Операция задана

Нет. Вот я взял множество $\{a, b, e\}$. Как мне из Вашего описания узнать, чему равно $a \cdot b$?

[cxzbsdhwert]

mihaild в сообщении #1714683 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1714682 писал(а):

Операция задана

Нет. Вот я взял множество $\{a, b, e\}$. Как мне из Вашего описания узнать, чему равно $a \cdot b$?

Элементу этого множества. По определению операции. Конкретное значение привести нельзя, поскольку мой контрпример хоть и является примером, но довольно обобщающим, то есть не одно, а множество множеств этому примеру удовлетворяет.

То есть тут не я Вам предъявляю, а Вы мне - любое множество и операцию, которое удовлетворяет приведённому мной описанию (в частности - операция должна быть ассоциативной для всех наборов $a,b,c$, кроме $a,b,e$ - поскольку в этом случае (и на самом деле ещё в некоторых) она ассоциативна по описанию).

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1714685 писал(а):

Конкретное значение привести нельзя, поскольку мой контрпример хоть и является примером

Раз нельзя привести - то не является. Потому что пример - это пример, конкретная полугруппа. А у вас какие-то условия на полугруппу, которые не факт что вообще бывают выполнены все вместе.

cxzbsdhwert в сообщении #1714685 писал(а):

и операцию, которое удовлетворяет приведённому мной описанию (в частности - операция должна быть ассоциативной для всех наборов $a,b,c$,

А почему такая операция вообще существует?

cxzbsdhwert в сообщении #1714685 писал(а):

То есть тут не я Вам предъявляю, а Вы мне

Так задача у Вас - доказать, что такая полугруппа существует. А Вы от меня её просите. А вдруг такой не бывает? (или, еще хуже, вдруг та, о которой спрашивали, существует, а вот с Вашими дополнительными условиями - уже нет)