Обратная задача матричного исчисления

[pan555]

mihaild в сообщении #1714584 писал(а):

pan555 в сообщении #1714580 писал(а):

В таком случае есть обратная матрица и мы приходим к выше описанной системе уравнений.
Вопрос с том, какие они будут

Да зачем вам обратная матрица? У вас квадратичная система с $2n^2$ неизвестными (легко выписывается по определению). Решений у неё много.

pan555 в сообщении #1714580 писал(а):

А если иметь вектора размером п и матрицу n×m и иметь m известнвх векторов размера n. ,которые есть результат умножения, то имеется ли для такого расширения задачи решение ?

Самостоятельные попытки решения?

Обратная матрица нужна,ибо тогда будут $n^2$ уравнений с $n^2$ неизвестными -и в перспективе одно решение (если повезёт с уравнениями).
---
Самостоятельные попытки решения-только для варианта,который удалось свести к квадратной матрице.

[mihaild]

pan555 в сообщении #1714602 писал(а):

Обратная матрица нужна,ибо тогда будут $n^2$ уравнений с $n^2$ неизвестными

Не будут. У Вас же неизвестны и обратная матрица, и $B$.

pan555 в сообщении #1714602 писал(а):

Самостоятельные попытки решения-только для варианта,который удалось свести к квадратной матрице

Напишите, что получилось.

Вообще, что вы знаете из линала? Знаете ли, например, что такое ранг матрицы, какие условия разрешимости системы линейных уравнений?

[pan555]

Someone
Итак, имеем 3 системы линейных уравнений по 3 уравнения в каждой - итого 9 уравнений.
В них имеем 9 известных величин и ( 9 компонент искомой матрицы и 9 компонент неизвестных векторов =18 ) 18 неизвестных величин.
Я надеялся 9 неизвестных векторов заменить произведением обратной матрицы и известных векторов - тогда бы получилось 9 компонент искомой матрицы.
Понятно обьяснил ?
Я прав в своих надеждах ?

-- 13.01.2026, 01:00 --

mihaild
Если я определю В через обратную матрицу к A и известные вектора V, то искомыми останутся только компонентв матрицы A.
---
Это всё мне известно.

Чуть позже напишу своё решение - посмотрите,вдруг я ошибся.

[mihaild]

pan555 в сообщении #1714606 писал(а):

Я прав в своих надеждах ?

Нет. Никакие равносильные преобразования не могут уменьшить число неизвестных.

pan555 в сообщении #1714606 писал(а):

Если я определю В через обратную матрицу к A и известные вектора V, то искомыми останутся только компонентв матрицы A.

А еще можно решить систему любым другим способом.
Да, задав невырожденную $A$ можно найти единственную $B$. Я об этом писал чуть выше.

[pan555]

mihaild в сообщении #1714608 писал(а):

pan555 в сообщении #1714606 писал(а):

Я прав в своих надеждах ?

Нет. Никакие равносильные преобразования не могут уменьшить число неизвестных.
Неверно.
Втом, что я предложил, как раз количество неизвестных меняется.
Но это стоит показать в реальном расчёте что я тут через некоторое время и хочу показать.
Если найдете ошибки - буду благодарен.

pan555 в сообщении #1714606 писал(а):

Если я определю В через обратную матрицу к A и известные вектора V, то искомыми останутся только компонентв матрицы A.

А еще можно решить систему любым другим способом.
Да, задав невырожденную $A$ можно найти единственную $B$. Я об этом писал чуть выше.

Похоже, вы всё таки не поняли поставленную задачу.
Надо найти именно матрицу $A$ , если известны только определенное количество векторов ,- результатов при умножении неизвестных векторов на эту матрицу.

[mihaild]

pan555
Разберитесь, пожалуйста, как работать с цитатами. Если хотите разбить цитату на части, и отвечать на них по отдельности, то вам нужно несколько блоков quote. Выделяете текст, который хотите процитировать сейчас, и нажимаете кнопку "вставка".

pan555 в сообщении #1714611 писал(а):

Втом, что я предложил, как раз количество неизвестных меняется

Нет. Как было $2n^2$, так и осталось. Просто теперь они сгруппированы иначе.
В уравнениях $x + y = 2$ и $x = 2 - y$ одинаковое количество неизвестных.

pan555 в сообщении #1714611 писал(а):

Надо найти именно матрицу $A$ , если известны только определенное количество векторов ,- результатов при умножении неизвестных векторов на эту матрицу.

Это невозможно.
Даже в простейшем случае $n = 1$ - один одномерный вектор. Вот у нас $v_1 = (1)$. Система, соответственно, из одного уравнения $b_1^1 a_{11} = 1$. И как Вы $a_{11}$ искать будете?

[Padawan]

pan555 в сообщении #1714611 писал(а):

Надо найти именно матрицу $A$ , если известны только определенное количество векторов ,- результатов при умножении неизвестных векторов на эту матрицу.

Чем Ваc не устраивает ответ уважаемого dgwuqtj?

dgwuqtj в сообщении #1714563 писал(а):

Так возьмите $b_i = v_i$, а матрицу $A$ единичную.

Указанная матрица $A$ и вектора $b_i$ удовлетворяют требуемому Вами условию $Ab_i=v_i$ для всех $i=1, \ldots, n$.

[Евгений Машеров]

Есть неизвестная матрица A.
Даны вектора $v_i=Ab_i$
Составляем матрицу V из векторов v и матрицу B из векторов b.
Тогда $V=AB$ и $A=VB^{-1}$
Обращение матрицы и умножение. Вектора b надо выбирать такие, чтобы матрица B была бы невырожденной. В идеале - ортогональными.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: вопрос покрывается стандартным курсом линейной алгебры.

[Someone]

pan555 в сообщении #1714606 писал(а):

Someone
Итак, имеем 3 системы линейных уравнений по 3 уравнения в каждой - итого 9 уравнений.
В них имеем 9 известных величин и ( 9 компонент искомой матрицы и 9 компонент неизвестных векторов =18 ) 18 неизвестных величин.
Я надеялся 9 неизвестных векторов заменить произведением обратной матрицы и известных векторов - тогда бы получилось 9 компонент искомой матрицы.
Понятно обьяснил ?
Я прав в своих надеждах ?

Вам всё время твердят, что в вашей задаче $n^2$ уравнений и $2n^2$ (!) неизвестных. Максимум, что Вы можете сделать — выразить $n^2$ неизвестных через оставшиеся $n^2$, которые придётся "взять с потолка".
Вам неоднократно предлагали взять произвольную невырожденную матрицу $A$. Проще всего — единичную: $A=E=\begin{pmatrix}1&0&\hdots&0\\ 0&1&\hdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\hdots&1\end{pmatrix}$. Тогда из уравнения $AB=V$ можно найти матрицу $B=A^{-1}V$.
Другой удобный вариант — задать произвольно векторы $\vec b_1,\vec b_2,\hdots,\vec b_n$ так, чтобы получилась невырожденная матрица $B$ (проще всего — $B=E$). Тогда из того же уравнения можно будет найти $A=VB^{-1}$.

Что Вам во всём этом непонятно?

[pan555]

Someone в $$[/math]644.html#p1714644]сообщении #1714644 писал(а):

pan555 в сообщении #1714606 писал(а):

Someone
Итак, имеем 3 системы линейных уравнений по 3 уравнения в каждой - итого 9 уравнений.
В них имеем 9 известных величин и ( 9 компонент искомой матрицы и 9 компонент неизвестных векторов =18 ) 18 неизвестных величин.
Я надеялся 9 неизвестных векторов заменить произведением обратной матрицы и известных векторов - тогда бы получилось 9 компонент искомой матрицы.
Понятно обьяснил ?
Я прав в своих надеждах ?

Вам всё время твердят, что в вашей задаче $n^2$ уравнений и $2n^2$ (!) неизвестных. Максимум, что Вы можете сделать — выразить $n^2$ неизвестных через оставшиеся $n^2$, которые придётся "взять с потолка".
Вам неоднократно предлагали взять произвольную невырожденную матрицу $A$. Проще всего — единичную: $A=E=\begin{pmatrix}1&0&\hdots&0\\ 0&1&\hdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\hdots&1\end{pmatrix}$. Тогда из уравнения $AB=V$ можно найти матрицу $B=A^{-1}V$.
Другой удобный вариант — задать произвольно векторы $\vec b_1,\vec b_2,\hdots,\vec b_n$ так, чтобы получилась невырожденная матрица $B$ (проще всего — $B=E$). Тогда из того же уравнения можно будет найти $A=VB^{-1}$.

Что Вам во всём этом непонятно?

Тогде задам только один вопрос.
Известно , что если прямая задана уравнением $ y = kx +b $ , то зная 2 точки $T_1(x_1,y_1);T_2($ ,то можно установить конкретные $k_1,b_1$ для конкретной прямой.
А если прямая задана параметрически : $ y = k_y s+b_y; x= k_x s + b_x $ ,s - параметр, то можно ли восcтановить такое её задание по двум её точкам $T_1(x_1,y_1);T_2(x_2,y_2)$ ?

[Someone]

pan555 в сообщении #1714648 писал(а):

Известно , что если прямая задана уравнением $ y = kx +b $ , то зная 2 точки $T_1(x_1,y_1);T_2($ ,то можно установить конкретные $k_1,b_1$ для конкретной прямой.

Если точки $T_1$ и $T_2$ различные, то можно. Потому что после подстановки координат точек в уравнение прямой получаются два независимых уравнения с двумя неизвестными.

pan555 в сообщении #1714648 писал(а):

А если прямая задана параметрически : $ y = k_y s+b_y; x= k_x s + b_x $ ,s - параметр, то можно ли восcтановить такое её задание по двум её точкам $T_1(x_1,y_1);T_2(x_2,y_2)$ ?

Саму прямую восстановить можно (см. предыдущий абзац), а конкретно именно заданное параметрическое представление — нет. Потому что будет четыре уравнения и шесть неизвестных. Попробуйте разобраться, почему столько уравнений и столько неизвестных.

[mihaild]

pan555 в сообщении #1714648 писал(а):

А если прямая задана параметрически : $ y = k_y s+b_y; x= k_x s + b_x $ ,s - параметр, то можно ли восcтановить такое её задание по двум её точкам $T_1(x_1,y_1);T_2(x_2,y_2)$ ?

Самостоятельные попытки решения? Подсказка: могут ли разные параметризации задавать одну и ту же прямую?

[pan555]

mihaild в сообщении #1714652 писал(а):

pan555 в сообщении #1714648 писал(а):

А если прямая задана параметрически : $ y = k_y s+b_y; x= k_x s + b_x $ ,s - параметр, то можно ли восcтановить такое её задание по двум её точкам $T_1(x_1,y_1);T_2(x_2,y_2)$ ?

Самостоятельные попытки решения? Подсказка: могут ли разные параметризации задавать одну и ту же прямую?

Самостоятельно у меня получается ,что по двум точкам параметрическую форму задания прямой восстановить нельзя.
Требуется переход к непараметрической форме её задания.
Может быть,я ошибаюсь ?

[mihaild]

pan555 в сообщении #1714653 писал(а):

Самостоятельно у меня получается ,что по двум точкам параметрическую форму задания прямой восстановить нельзя

Вы это в хрустальном шаре увидели, или как-то получили? Как именно?