Свойства определенного подмножества

[pan555]

Добрый вечер!
Есть определенная иинтересная задача :
1.Имеем множество дробно-линейных преобразований над полем комплексных чисел.
2.У этих преобразований есть 2 неподвижных точки максимум , которыемогут и совпадать.
3.Выбираем такое подмножестводробно-линейных преобразований, у которых расстояние между неподвижеыми точаами постоянно.
Какие свойства могут быть у этого подмножества ?

[dgwuqtj]

Что здесь называется расстоянием?

[pan555]

dgwuqtj в сообщении #1713529 писал(а):

Что здесь называется расстоянием?

Модуль разности между неподвижными точками. (Сами неподвижные точки на плоскости - комплексные числа)

[dgwuqtj]

А если одна неподвижная точка бесконечно удалена, то расстояние бесконечно?

[pan555]

dgwuqtj в сообщении #1713549 писал(а):

А если одна неподвижная точка бесконечно удалена, то расстояние бесконечно?

Да.
Поэтому отбираюстся только те элемерты множества,где расстояния конечны и равны одному заданному.

[realeugene]

pan555 в сообщении #1713528 писал(а):

у которых расстояние между неподвижеыми точаами постоянно.

Если точки неподвижны, то и расстояние между ними автоматически постоянно?

[pan555]

realeugene в сообщении #1713556 писал(а):

pan555 в сообщении #1713528 писал(а):

у которых расстояние между неподвижеыми точаами постоянно.

Если точки неподвижны, то и расстояние между ними автоматически постоянно?

У каждого дробно-линейного преобразования свои неподвижные точки и своё расстоянип между рими.
Задаем расстояние между неподвижными точками ,например, R и делаем подмножество таких дробно-линейных преобразований,которые удовлетворяют этому критерию.
Хотелось бы понять, какими свойствами обладает такое подмножество ?

[realeugene]

pan555 в сообщении #1713557 писал(а):

Задаем расстояние между неподвижными точками ,например, R и делаем подмножество таких дробно-линейных преобразований,которые удовлетворяют этому критерию.
Хотелось бы понять, какими свойствами обладает такое подмножество ?

Очевидно, что это группа - подгруппа группы всех дробно-линейных преобразований. Если расстояние между точками конечно, то такие преобразования тривиально (сдвигом, поворотом и масштабированием) сводятся к дробно-линейному преобразованию, оставляющему на месте точки $z=0$ и $z=1$, которое параметризуется одним комплексным числом.

[pan555]

realeugene в сообщении #1713646 писал(а):

pan555 в сообщении #1713557 писал(а):

Задаем расстояние между неподвижными точками ,например, R и делаем подмножество таких дробно-линейных преобразований,которые удовлетворяют этому критерию.
Хотелось бы понять, какими свойствами обладает такое подмножество ?

Очевидно, что это группа - подгруппа группы всех дробно-линейных преобразований. Если расстояние между точками конечно, то такие преобразования тривиально (сдвигом, поворотом и масштабированием) сводятся к дробно-линейному преобразованию, оставляющему на месте точки $z=0$ и $z=1$, которое параметризуется одним комплексным числом.

Весьма мне интересно.
А более подробно можно?
Вот подмножество дробно-линейных преобразований, расстояние между неподвижными точками которых R.
(имеются в виду неподвижные точки каждого одного преобразования из множества, а не расстояние между неподвижными точками разных преобразований)
Если это подмножестао - подгруппа - то что является его единицей ?
И остальные свойства группы как выполняются ?
Она коммутативна?
И т.п.
-----
Всех с Новым Годои!
Здороаья и удачи !

[realeugene]

pan555 в сообщении #1713666 писал(а):

А более подробно можно?

Вы в курсе что такое группа? И что такое дробно-линейные преобразования комплексной плоскости? Начните с разбирательства почему они образуют группу.

[dgwuqtj]

Они же не образуют группу. Возьмём, скажем, класс из всех дробно-линейных преобразований с расстоянием 1 между неподвижными точками. В этом классе есть $\frac z {2 - z}$ (неподвижны 0 и 1) и $\frac z {2 + z}$ (неподвижны 0 и $-1$), но не их композиция $\frac z {4 + z}$ (неподвижны 0 и $-3$).

[pan555]

dgwuqtj в сообщении #1713684 писал(а):

Они же не образуют группу. Возьмём, скажем, класс из всех дробно-линейных преобразований с расстоянием 1 между неподвижными точками. В этом классе есть $\frac z {2 - z}$ (неподвижны 0 и 1) и $\frac z {2 + z}$ (неподвижны 0 и $-1$), но не их композиция $\frac z {4 + z}$ (неподвижны 0 и $-3$).

Всё правильно.
Поэтому я в начале поста и обозвал это мат.образование подмножеством.
Вопрос в том, может ли это подмножество быть какой то известной мат структурой?
Полугруппой или еще чем ?

[realeugene]

dgwuqtj в сообщении #1713684 писал(а):

Они же не образуют группу.

Вы правы: лажанул. В общем случае композиция выводит за границы этого класса операций.

[yesterday]

Так может человеку вообще не нужны дробно-линейные преобразования. Судя по всему он спрашивает про группу изометрии плоскости, просто свою мысль так "коряво" донёс. Ну, а дробно-линейные, это была собственная попытка решения?

[Red_Herring]

pan555 в сообщении #1713528 писал(а):

Выбираем такое подмножестводробно-линейных преобразований, у которых расстояние между неподвижеыми точаами постоянно.

Означает ли ваш вопрос что "дано число $\rho>0$, и нужно найти все д.л.п. такие что расстояние между их неподвижными точками равно $\rho>0$? Ну тогда рассмотрим д.л.п., и его непосвижные точки заданы формулой $z_{1,2}$ ="одна фигная" $\pm$ "еще одна фигная" и расстояние между ними равно удвоенному модулю "другой фигни" . Пишем уравнение относительно четверки комплексных чисел.

(Оффтоп)

Если б у нас были устные экзамены и сохранялась оценка "E", то я бы использовал эту задачу, чтоб отделять "E" от "F". Увы, экзамены только письменные и оценка"E" ушла в небытие много десятилетий назад, вероятно, чтоб не травмировать тех, кто получил "F".