Задача на определение конкретной кривой

[pan555]

realeugene в сообщении #1713527 писал(а):

pan555 в сообщении #1712894 писал(а):

Сколько нужно задать точек с координатами (x,y,z), что бы определить конкретные
значения $ c_i_j $ ?

Сколько неизвестных и какие? Для каждой заданной точки не известен свой параметр $s$ и 12 общих для всех точек линейных коэффициентов? При этом известна общая $w$ и по три координаты на каждую точку?

В предидущем моем посте я об этом написал.
Ещё раз повторю - известны только координаты и формула кривой линии.
В результате получается,что для определения всех параметров,достаточнвх для определения конкретной кривой данного типа , достаточно указать координаты 4 точек..
Подробности алгоритма изложены в моем предидущем посте.

[b4b5]

Минимально 7 точек, но не всегда будет хватать.

[pan555]

b4b5 в сообщении #1713544 писал(а):

Минимально 7 точек, но не всегда будет хватать.

Доказательства этому есть?

[b4b5]

pan555 Сколько у вас переменных? Сколько одна точка дает уравнений?

[pan555]

b4b5 в сообщении #1713560 писал(а):

pan555 Сколько у вас переменных? Сколько одна точка дает уравнений?

Повторюсь :

Рассмотрим исходную систему :

$$ $$x= c_1_1\cdot \sin(w\cdot s) +c_1_2\cdot \cos(w\cdot s) + c_1_3\cdot s +c_1_4 $$ $$y = c_2_1\cdot \sin(w \cdot s) +c_2_2 \cdot \cos(w \cdot s) + c_2_3 \cdot s +c_2_4 $$ $$z = c_3_1\cdot \sin(w \cdot s) +c_3_2\cdot \cos(w \cdot s) + c_3_3\cdot s +c_3_4 $$ $$

Величины $ c_1_1. ...c_3_4 $ определяют всю кривую, назовем их общими.
Величины $ \sin(w\cdot s) , \cos(w\cdot s) ,s. $ опредеделяют конкретную точкв на этой кривой, назовём их локальными.
Задав одну точку (3 координаты),можно выразить локальные величины через координаты и общие величины.
А далее, задав еще 3 точки - итого 4 точки (12 уравнений), можем уже определить и общие величины через координаты 4 точек.
В итоге задача решена. Для точного определения конкретной кривой заданного типа достаточно 4 точек .
А то,что эти точки не должны лежать в одной плоскости и любые 3 из них не должны лежать на одной прямой ,это требует своего доказательства.

Одна точка даёт 3 уравнения.
Пкременные :
Общих для всей кривой -12
Локальных ,для каждой точки - 3.
Локальные переменные можно выращить через общие переменные и координаты
только одной точки - это значит,что надо искать только общие переменные через зазанные координаты точек.
Это означает ,что нужно 12 уравнений для 12 общих переменных - а это зададут 4 точки.
Остальнве моменты изложены вверху.

[svv]

pan555
У Вас ведь есть MATLAB или что-то аналогичное, где Вы можете проверять идеи? Проделайте следующий эксперимент.

1. Задайте значения $c_{ij}$ и $w$. Также выберите $s_1, s_2, s_3, s_4$. Для каждого $s_i$ вычислите точку $(x_i,y_i,z_i)$.

2. Теперь
— умножьте все $s_i$ на $7$;
— разделите $w$ на $7$;
— разделите $c_{13}, c_{23}, c_{33}$ на $7$; остальные коэффициенты не трогайте.
После чего опять для каждого $s_i$ вычислите точку $(x_i,y_i,z_i)$.
У Вас получатся те же координаты точек, что в п.1.

Вывод?

[pan555]

svv в сообщении #1713607 писал(а):

pan555
У Вас ведь есть MATLAB или что-то аналогичное, где Вы можете проверять идеи? Проделайте следующий эксперимент.

1. Задайте значения $c_{ij}$ и $w$. Также выберите $s_1, s_2, s_3, s_4$. Для каждого $s_i$ вычислите точку $(x_i,y_i,z_i)$.

2. Теперь
— умножьте все $s_i$ на $7$;
— разделите $w$ на $7$;
— разделите $c_{13}, c_{23}, c_{33}$ на $7$; остальные коэффициенты не трогайте.
После чего опять для каждого $s_i$ вычислите точку $(x_i,y_i,z_i)$.
У Вас получатся те же координаты точек, что в п.1.

Вывод?

Зачем так сложно? И неверно.
У меня есть Марле
1.Задаю координаты 4 точек (12 чисел.) и их уравнения.
2.Для каждой точки получаю выражения для sin (ws),cos(ws),s через координаты и величины $ c_1_1 ... c_3_4$.
3.Подставляю выражения из п.2 в п.1 и получаю уравнения для $ c_1_1 ... c_3_4$ через координаты.
4.Решаю полученную систему и получаю значения $ c_1_1 ... c_3_4$.
5. Отсюда из п.2 получаю значения для s и w
Всё,задача решена.

[svv]

pan555 в сообщении #1713626 писал(а):

Зачем так сложно?

У меня другая задача, чем у Вас — показать Вам, как построить контрпример. Вы не сможете правильно найти коэффициенты, потому что система уравнений допускает бесчисленное множество решений.

Разумеется, то же самое Вы можете проделать и в Maple. Считайте, что это моя покорная просьба к Вам. Пожалуйста, проделайте то, что я описал, и Вы увидите, что, по крайней мере, для двух (а на самом деле для бесконечного множества) различных наборов коэффициентов $c_{ij}$ у Вас получается один и тот же набор из 4 точек. Следовательно, набор коэффициентов $c_{ij}$ невосстановим из набора координат этих точек.

[pan555]

svv ,благодарю!
После НГ выложу подробный разбор всех вариантов.
И всё станет понятно.
Всех с Новым Годом!
Здоровья и удачи!