Доказать несчётность отрезка теоремой Бэра

[cxzbsdhwert]

Теорема Бэра (следствие из неё, по крайней мере): Если замкнутое непустое множество $F$ представлено в виде объединения не более чем счётного (н.б.ч.с) набора замкнутых множеств $F_1,...,F_n$, то существует пересекающийся с $F$ интервал, пересечение которого принадлежит некоторому $F_n$.

На лекции было доказано через эту теорему, что отрезок несчётен:

1.Пусть отрезок $[a,b], a<b$ счётен, тогда $[a,b]=\cup_{n} \{x_n\}$.
2. Пересечение любого интервала с единичным множеством, из которых, по предположению от обратного, состоит отрезок, состоит из не более чем одного элемента.
3. Тогда пересечение интервала с подмножеством счётного отрезка, то есть н.б.ч.с. множеством единичных множеств не более чем счётно.
4. В то же время, "пересечение интервала с отрезком состоит уж по крайней мере из двух точек" - говорит Лектор.
5. Противоречие.

Не совсем понятно утверждение о природе пересечения интервала с отрезком.

Рассматривается же случай от противного - на основании чего тогда задействуется утверждение, о том что пересечение интервала с отрезков состоит из более чем двух точек?
Предположим, есть основания, даже рассматривая от обратного, так полагать.

Не будет ли, тем не менее, не противоречивым, в рамках доказательства от обратного, полагать, что пересечение интервала с отрезком пусть и состоит из более чем одной точки, но не более чем счётно?
Если не противоречиво, то почему бы тогда не рассматривать отрезок как объединение н.б.ч.с. набора множеств пусть не одноточечных, но не более чем счётных, ведь по теореме, которая ранее формулировалась Лектором - объединение н.б.ч.с. набора н.б.ч.с. множеств не более чем счётно.

Ну и тогда пусть даже пересечение интервала с отрезком состоит из более чем одного элемента, но оно н.б.ч.с. и вполне себе может лежать в одном из н.б.ч.с. подмножеств из которых состоит отрезок?

Можно конечно сказать, что отрезок по определению это все элементы $\mathbb R$ такие что меньше либо равны правого края и больше либо равны левого, и интервал тоже все элементы $\mathbb R$, ну и, в интервале найдутся иррациональные (например), которые пересечение не составили, и следовательно но содержатся в $F_n$, ну и тогда получается, что в $F_n$ не все нужные элементы, то есть противоречие с определением.

Но какая заслуга теоремы-то тут? По-моему это если и назвать "доказательством через Теорему Бэра", то с натяжкой. Или я что-то упускаю?

[skobar]

cxzbsdhwert в сообщении #1713371 писал(а):

не более чем счётного (н.б.ч.с) набора замкнутых множеств $F_1,...,F_n$

Вы уже минимум во второй раз так пишете, что не совсем правильно. Если после $F_n$ нет троеточия, то, получается, что в вас конечный набор замкнутых множеств, в том время как их число может быть и бесконечным. Правильнее писать с троеточием в конце:

$$F_1,\dots,F_n, \dots$$

cxzbsdhwert в сообщении #1713371 писал(а):

1.Пусть отрезок $[a,b], a<b$ счётен, тогда $[a,b]=\cup_{n} \{x_n\}$.
2. Пересечение любого интервала с единичным множеством, из которых, по предположению от обратного, состоит отрезок, состоит из не более чем одного элемента.
3. Тогда пересечение интервала с подмножеством счётного отрезка, то есть н.б.ч.с. множеством единичных множеств не более чем счётно.
4. В то же время, "пересечение интервала с отрезком состоит уж по крайней мере из двух точек" - говорит
Лектор.
5. Противоречие.

Похоже, что вы неправильно воспроизвели доказательство с лекции. Правильная схема такая:
1.Пусть отрезок $[a,b], a<b$ счётен, тогда $[a,b]=\cup_{n} \{x_n\}$, то есть отрезок представлен в виде объединения счетного числа одноточечных множеств. Напомним, что всякое одноточечное множество на вещественной прямой замкнуто.
2. По следствию из теоремы Бэра найдется интервал, пересекающийся с нашим отрезком $[a,b]$ такой, что его пересечение с отрезком целиком лежит в каком-то одноточечном множестве $\{x_n\}$
3. Но, как правильно говорит лектор, "пересечение интервала с отрезком состоит уж по крайней мере из двух точек" (если оно непусто, а оно непусто)
4. Получили, что какое-то одноточечное множество $\{x_n\}$ содержит в качестве подмножества множество, в котором по крайне мере две точки (на самом деле, конечно, бесконечно много точек). Противоречие.

[cxzbsdhwert]

skobar в сообщении #1713372 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1713371 писал(а):

не более чем счётного (н.б.ч.с) набора замкнутых множеств $F_1,...,F_n$

Вы уже минимум во второй раз так пишете, что не совсем правильно. Если после $F_n$ нет троеточия, то, получается, что в вас конечный набор замкнутых множеств, в том время как их число может быть и бесконечным. Правильнее писать с троеточием в конце:

$$F_1,\dots,F_n, \dots$$

cxzbsdhwert в сообщении #1713371 писал(а):

1.Пусть отрезок $[a,b], a<b$ счётен, тогда $[a,b]=\cup_{n} \{x_n\}$.
2. Пересечение любого интервала с единичным множеством, из которых, по предположению от обратного, состоит отрезок, состоит из не более чем одного элемента.
3. Тогда пересечение интервала с подмножеством счётного отрезка, то есть н.б.ч.с. множеством единичных множеств не более чем счётно.
4. В то же время, "пересечение интервала с отрезком состоит уж по крайней мере из двух точек" - говорит
Лектор.
5. Противоречие.

Похоже, что вы неправильно воспроизвели доказательство с лекции. Правильная схема такая:
1.Пусть отрезок $[a,b], a<b$ счётен, тогда $[a,b]=\cup_{n} \{x_n\}$, то есть отрезок представлен в виде объединения счетного числа одноточечных множеств. Напомним, что всякое одноточечное множество на вещественной прямой замкнуто.
2. По следствию из теоремы Бэра найдется интервал, пересекающийся с нашим отрезком $[a,b]$ такой, что его пересечение с отрезком целиком лежит в каком-то одноточечном множестве $\{x_n\}$
3. Но, как правильно говорит лектор, "пересечение интервала с отрезком состоит уж по крайней мере из двух точек" (если оно непусто, а оно непусто)
4. Получили, что какое-то одноточечное множество $\{x_n\}$ содержит в качестве подмножества множество, в котором по крайне мере две точки (на самом деле, конечно, бесконечно много точек). Противоречие.

Вопрос не в соответствии приведённого мной доказательства тому, который был на лекции, а в рассмотрении случая, которой на лекции рассмотрен не был, а именно объединение не одноточечных множеств. В случае с одноточечными множествами, который рассмотрел Лектор, и который воспроизвели Вы, я же и не спорю, что доказательство работает.

[skobar]

cxzbsdhwert в сообщении #1713373 писал(а):

Вопрос не в соответствии приведённого мной доказательства тому, который был на лекции, а в рассмотрении случая, которой на лекции рассмотрен не был, а именно объединение не одноточечных множеств.

А для чего вам случай "объединения не одноточечных множеств"? Он к доказательству утверждения никакого отношения не имеет.
Потом, вообще говоря, "объединение не одноточечных множеств" - это не вопрос, непонятно, что именно спрашивается.

[cxzbsdhwert]

skobar в сообщении #1713374 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1713373 писал(а):

Вопрос не в соответствии приведённого мной доказательства тому, который был на лекции, а в рассмотрении случая, которой на лекции рассмотрен не был, а именно объединение не одноточечных множеств.

А для чего вам случай "объединения не одноточечных множеств"? Он к доказательству утверждения никакого отношения не имеет.

Не одноточечный случай отношение к доказательству "от противного" утверждения о том, что отрезок несчётен имеет, поскольку полагая от противного, что отрезок н.б.ч.с., его можно рассматривать как н.б.ч.с. объединение не только одноточечных, но и других н.б.ч.с. множеств, поскольку, как я уже написал, объединение н.б.ч.с. набора всяких, а не только одноточечных н.б.ч.с. множеств н.б.ч.с.

skobar в сообщении #1713374 писал(а):

Потом, вообще говоря, "объединение не одноточечных множеств" - это не вопрос, непонятно, что именно спрашивается.

Вопросы изложены во второй половине публикации. Я написал в чём состоит предмет вопроса, сокращенно "в чём вопрос", т.е., пропуская "состоит предмет".

[skobar]

cxzbsdhwert в сообщении #1713375 писал(а):

Не одноточечный случай отношение к доказательству "от противного" утверждения о том, что отрезок несчётен имеет, поскольку полагая от противного, что отрезок н.б.ч.с., его можно рассматривать как н.б.ч.с. объединение не только одноточечных, но и других н.б.ч.с. множеств, поскольку, как я уже написал, объединение н.б.ч.с. набора всяких, а не только одноточечных н.б.ч.с. множеств н.б.ч.с.

Полагая от противного, что отрезок не более чем счетен, мы можем занумеровать все числа из этого отрезка $x_1, x_2, x_3, \dots$ и, таким образом, получаем представление отрезка в виде объединения одноточечных множеств:

$$[a,b]=\bigcup_n \ \{x_n\}$$

Никакого объединения "всяких, а не только одноточечных множеств" здесь не возникает. Только случай объединения одноточечных множеств.

[cxzbsdhwert]

skobar в сообщении #1713376 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1713375 писал(а):

Не одноточечный случай отношение к доказательству "от противного" утверждения о том, что отрезок несчётен имеет, поскольку полагая от противного, что отрезок н.б.ч.с., его можно рассматривать как н.б.ч.с. объединение не только одноточечных, но и других н.б.ч.с. множеств, поскольку, как я уже написал, объединение н.б.ч.с. набора всяких, а не только одноточечных н.б.ч.с. множеств н.б.ч.с.

Полагая от противного, что отрезок не более чем счетен, мы можем занумеровать все числа из этого отрезка $x_1, x_2, x_3, \dots$ и, таким образом, получаем представление отрезка в виде объединения одноточечных множеств:

$$[a,b]=\bigcup_n \ \{x_n\}$$

Никакого объединения "всяких, а не только одноточечных множеств" здесь не возникает. Только случай объединения одноточечных множеств.

Ну почему не возникает? Что нам запрещает занумерованные числа этого отрезка, перед тем как объединить в одно множество, объединить например попарно без пересечений $\{x_1,x_2\},\{x_3,x_4\},...$, а потом уже рассматривать всё также н.б.ч.с. объединение таких пар. Или не попарно, а по три, четыре и т.д., но н.б.ч.с.?

[skobar]

cxzbsdhwert в сообщении #1713377 писал(а):

Что нам запрещает занумерованные числа этого отрезка, перед тем как объединить в одно множество, объединить например попарно без пересечений $\{x_1,x_2\},\{x_3,x_4\},...$, а потом уже рассматривать всё также н.б.ч.с. объединение таких пар. Или не попарно, а по три, четыре и т.д., но н.б.ч.с.?

Ничего не запрещает, можно ещё попрыгать на левой ноге - это тоже никто не запрещает. Другое дело, что для доказательства утверждения этого не нужно. Мы просто пишем

$$[a,b]=\bigcup_n \ \{x_n\}$$

и ничего другого нам не надо :)

[cxzbsdhwert]

skobar в сообщении #1713378 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1713377 писал(а):

Что нам запрещает занумерованные числа этого отрезка, перед тем как объединить в одно множество, объединить например попарно без пересечений $\{x_1,x_2\},\{x_3,x_4\},...$, а потом уже рассматривать всё также н.б.ч.с. объединение таких пар. Или не попарно, а по три, четыре и т.д., но н.б.ч.с.?

Ничего не запрещает, можно ещё попрыгать на левой ноге - это тоже никто не запрещает. Другое дело, что для доказательства утверждения этого не нужно. Мы просто пишем

$$[a,b]=\bigcup_n \ \{x_n\}$$

и ничего другого нам не надо :)

"Вам" тоже должно быть интересно, поскольку это вообще тогда не доказательство:
При рассмотрении от противного именно такого набора н.б.ч.с. множеств противоречие возникает, а вдруг при рассмотрении набора других н.б.ч.с. множеств противоречия не возникнет?

В доказательстве же ведь рассматривался конкретный вид н.б.ч.с. множеств, а не обобщающий.

Вот если бы доказательство показывало, что рассмотрение объединения н.б.ч.с. набора каких-либо н.б.ч.с. множеств, а не только одноточечных, приводило к противоречию, тогда да - Ваше замечание о ненадобности рассматривать конкретные виды н.б.ч.с. множеств было бы дельным.

А так, Вы просто упускаете, возможно подходящий вариант.

[skobar]

cxzbsdhwert в сообщении #1713379 писал(а):

При рассмотрении от противного именно такого набора н.б.ч.с. множеств противоречие возникает, а вдруг при рассмотрении набора других н.б.ч.с. множеств противоречия не возникнет?

Конечно, можно разбить множество $\{x_1, x_2, x_3, \dots\}$ на подмножества так, что очевидного противоречия не возникнет. Но нам для доказательства достаточно получить противоречие для одного разбиения. Мы предположили противное, выбрали разбиение на наше усмотрение, и получили противоречие. Значит все, наше предположение противного автоматически становится неверным, что доказывает утверждение. И то, что выбор другого разбиения необязательно приводит к противоречию никак доказательству не мешает.

[cxzbsdhwert]

skobar в сообщении #1713380 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1713379 писал(а):

Но нам для доказательства достаточно получить противоречие для одного разбиения. Мы предположили противное, выбрали разбиение на наше усмотрение, и получили противоречие.

Не достаточно, поскольку утверждение, обратное к которому мы формулируем не "отрезок не является счётным множеством в виде объединения н.б.ч.с. набора конкретного вида н.б.ч.с. множеств - одноточечных множеств", а "отрезок несчётен".
Тогда, чтобы доказать от обратного мы должны показать противоречивость всякого утверждения о том что отрезок счётен. Противоречивость утверждения о том что отрезок - объединение точек, утверждения что отрезок - объединение двухточечных множеств, и т.д., ну или показать противоречивость обобщающего утверждения.

А иначе получается, что Вы доказывая, что "деревянная доска это лампочка", идёте от обратного и заключаете:
"Пускай деревянная доска это не лампочка. Не лампочкой является резина. Но резина это же не деревянная доска. Предположение от противного противоречиво, значит деревянная доска это лампочка. Ну а то что мы другие варианты от противного не перебрали, в частности "деревянная доска - это деревянная доска" - ну это ничего страшного, достаточно только один конкретный рассмотреть - если он противоречив, то и остальные противоречивы"

[skobar]

cxzbsdhwert в сообщении #1713381 писал(а):

Не достаточно, поскольку утверждение, обратное к которому мы формулируем не "отрезок не является счётным множеством в виде объединения н.б.ч.с. набора конкретного вида н.б.ч.с. множеств - одноточечных множеств", а "отрезок несчётен".

Достаточно. Если коротко, то зуб даю, что достаточно. Ну а если не так коротко, то как-то так:

Во-первых, когда вы что-то доказываете от противного, то вы начинаете с того, что формулируете отрицание к доказываемому утверждению (предполагаете противное). Не "обратное" утверждение, как вы пишите, а отрицание. Обратное утверждение - это из другой оперы. Затем из отрицания вы начинаете выводить цепочку следствий. И если в конце этой цепочки вы придете к ложному утверждению, то это и есть "противоречие". Если вам удалось построить цепочку следствий ведущую к противоречию, то доказательство от противного удалось. Если такую цепочку построить не получилось, то это не значит ничего - вы не можете отсюда сделать вывод об истинности или ложности исходного утверждения.
Как это выглядит в случае наших баранов:

1. Доказываемое утверждение: Отрезок не является н.б.ч. счетным множеством
2. Формулируем отрицание к нему (предполагаем "противное") : Отрезок является н.б.ч.с. множеством
По определению это в точности значит, что все числа из отрезка можно перенумеровать, т.е. отрезок можно записать в виде

$$\begin{equation}[a,b]=\{x_1, x_2, x_3, \dots\}\end{equation}$$

3. В качестве следствия из $(1)$ имеем следующее разбиение

$$[a,b]=\bigcup_n \ \{x_n\} $$

Я подчеркиваю, что это разбиение - это следствие отрицания. Из отрицания доказываемого утверждения можно вывести много следствий (множество различных разбиений), но мы выбираем именно такое. Мы не можем выбирать отрицание к доказываемому утверждению, потому что оно одно, но мы можем выбрать любое следствие из отрицания.
Далее уже известной цепочкой мы приходим к тому, что одноточечное множество содержит в качестве подмножества множество с более чем одной точкой, что является противоречием, которое завершает доказательство от противного.

С точки зрения логики доказательство безупречно.

IMHO вам перед тем как брать такой курс пусть даже только со следствием теоремы Бэра нужно освоить логику и технику доказательств. Без этого нет шансов разобраться с материалом.