Мыльный пузырь 3(мыльная пленка)

[realeugene]

druggist в сообщении #1712691 писал(а):

Ну, а дифф. уравнение как будет выглядеть?

Впрочем, у меня есть ноут с Максимой. Вот уравнение Эйлера-Лагранжа для этой задачи. Сильно не причёсывал:

$$\[\mathop{-}\left( \left( \mathop{-}\left( 2 \ensuremath{\pi} y\, \left( \frac{{{d}^{2}}}{d {{x}^{2}}} y\right) \right) \mathop{+}2 \ensuremath{\pi} {{\left( \frac{d}{d x} y\right) }^{2}}\mathop{+}2 \ensuremath{\pi} \right) \sigma \right) \mathop{-}\sqrt{{{\left( \frac{d}{d x} y\right) }^{2}}\mathop{+}1} \left( 2 \ensuremath{\pi} p y {{\left( \frac{d}{d x} y\right) }^{2}}\mathop{+}2 \ensuremath{\pi} p y\right) \mathop{=}0\]$$

[Padawan]

Нужные уравнения есть в теме Сосуд максимального объема. Там тоже требовалось найти уравнение поверхности вращения постоянной средней кривизны.

[druggist]

realeugene в сообщении #1712700 писал(а):

druggist в сообщении #1712691 писал(а):

Ну, а дифф. уравнение как будет выглядеть?

Впрочем, у меня есть ноут с Максимой. Вот уравнение Эйлера-Лагранжа для этой задачи. Сильно не причёсывал:

$$\[\mathop{-}\left( \left( \mathop{-}\left( 2 \ensuremath{\pi} y\, \left( \frac{{{d}^{2}}}{d {{x}^{2}}} y\right) \right) \mathop{+}2 \ensuremath{\pi} {{\left( \frac{d}{d x} y\right) }^{2}}\mathop{+}2 \ensuremath{\pi} \right) \sigma \right) \mathop{-}\sqrt{{{\left( \frac{d}{d x} y\right) }^{2}}\mathop{+}1} \left( 2 \ensuremath{\pi} p y {{\left( \frac{d}{d x} y\right) }^{2}}\mathop{+}2 \ensuremath{\pi} p y\right) \mathop{=}0\]$$

Это профиль кривой? А p что такое?

[realeugene]

druggist в сообщении #1712703 писал(а):

Это профиль кривой? А p что такое?

Это наверное ещё можно много крутить уравнения, чтобы их упростить. $p$ - давление. $x$ - высота, $y$ - радиус. Сорри.
Первая скобка - дифур катеноиды. Вторая - вклад давления.

[druggist]

realeugene в сообщении #1712704 писал(а):

$p$ - давление.

Не понял, разность давлений?

[realeugene]

druggist в сообщении #1712705 писал(а):

Не понял, разность давлений?

Да

-- 17.12.2025, 15:44 --

realeugene в сообщении #1712700 писал(а):

Вот уравнение Эйлера-Лагранжа для этой задачи. Сильно не причёсывал

Немного причесал:

$$r r'' - \left(1+{r'}^2\right) - \frac p \sigma r {\left(1+{r'}^2\right)}^{3/2} = 0 $$

Да, $\sigma$ - полный (двусторонний) коэффициент натяжения плёнки.

[druggist]

Padawan в сообщении #1712697 писал(а):

unduloid and nodoid

Правильно ли я понимаю, что
на картинке нодоид и ундолоид, отличие в расстоянии H между кольцами?

[Padawan]

druggist
Не факт, что мыльная пленка будет и в форме нодоида, и в форме ундолоида. В теме про сосуд максимального обьёма именно нодоид получался. Как здесь будет -- не знаю.