Оптимальный метаязык для описания математики

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1711338 писал(а):

Очень странно ссылаться на какую-то "психологическую естественность", ибо это сугубо индивидуальная и неуловимая штука.

Может быть, но мне все равно очень сложно представить человека, который бы понимал предикат "быть человеком" и не связывал бы его с принадлежностью к множеству всех людей. Даже в обычной речи обычных людей, не математиков, постоянно же встречаются фразы типа "такое-то свойство шире этого". Откуда это геометрическое слово "шире"? Именно из ассоциаций с множествами и кругами Эйлера, которые у людей в подкорке сидят.

epros в сообщении #1711338 писал(а):

проблема в том, что может случиться так, что Вы ни для одного критика не сможете принять решения, принадлежит ли он этому $S$ или нет.

Так $K$ (множество всех критиков) конечное. Просто подходим к критику, говорим "привет, напиши список тех, кем ты восхищаешься". Смотрим списки, видим, что в некоторых списках критик не вписал себя, значит он точно в $S$ не входит. А для оставшихся $k$ критиков можно тупо брутфорсом перебрать все $2^k$ вариантов их подмножеств и найти в конце концов это пресловутое множество $S$ или доказать, что оно пусто.

-- 01.12.2025, 17:47 --

А, ну и само собой, на нулевом шаге надо выкинуть критиков, которые восхищаются кем-то, кроме критиков (то есть просто обычными людьми из множества $P \backslash K$). Такие критики точно в $S$ не входят.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1711340 писал(а):

Может быть, но мне все равно очень сложно представить человека, который бы понимал предикат "быть человеком" и не связывал бы его с принадлежностью к множеству всех людей.

Связывал бы с чем именно? Множество людей может подразумевать всех умерших, включая тех хомо, которые не сапиенсы, а также тех, кому ещё предстоит родиться. И это не считая спорных случаев... Потому что Вы подразумеваете под "множеством" какую-то семантику, а она должна чем-то определяться, причём не всегда всем понятно, чем именно.

С предикатом всё проще, потому что это всего лишь синтаксическое понятие. Например, когда я говорю, что имел в виду под Калининым человека, а не город, все понимают, что моё утверждение определяет значение истинности конкретного предиката для конкретного объекта, подставленного в качестве его аргумента, а вовсе не подразумевает исчерпывающего определения множества всех человеков.

EminentVictorians в сообщении #1711340 писал(а):

Так $K$ (множество всех критиков) конечное.

Не, так неинтересно. Множество критиков (включая всех прошлых и будущих) потенциально следует считать бесконечным.

EminentVictorians в сообщении #1711340 писал(а):

А для оставшихся $k$ критиков можно тупо брутфорсом перебрать все $2^k$ вариантов

Вот именно, что при достаточно больших $k$ (даже конечных) у нас очевидно возникнут чисто вычислительные сложности с определением принадлежности к этому множеству. Собственно, это становится сразу интуитивно понятным тому, кто прочитает утверждение про критиков и задумается: "Как же я буду это проверять"?

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1711342 писал(а):

Потому что Вы подразумеваете под "множеством" какую-то семантику, а она должна чем-то определяться, причём не всегда всем понятно, чем именно.

Ту же самую, что и в предикате "быть человеком". Я в упор не вижу, в чем разница.

epros в сообщении #1711342 писал(а):

С предикатом всё проще, потому что это всего лишь синтаксическое понятие.

Что такое "синтаксическое понятие"? Я понимаю, что это значит, если фиксирован какой-то формальный язык, но пока никаких формальных языков в помине нету.
И вообще, если уж на то пошло, надо бы определиться, что вообще такое предикат. Потому что можно считать предикат как раз таки объектом уровня не синтаксиса, а интерпретации (считать предикат функцией из декартова произведения доменной области в множество {да, нет} ).

epros в сообщении #1711342 писал(а):

Не, так неинтересно. Множество критиков (включая всех прошлых и будущих) потенциально следует считать бесконечным.

Проще тогда сразу взять обычное множество двоичных последовательностей. Для кучи последовательностей тоже нету никакого определяющего их алгоритма, но мне это не мешает считать все множество бесконечных двоичных последовательностей хорошо определенным.

epros в сообщении #1711342 писал(а):

Вот именно, что при достаточно больших $k$ (даже конечных) у нас очевидно возникнут чисто вычислительные сложности с определениесм принадлежности к этому множеству.

А это совсем странно от вас слышать, вы же конструктивист, для вас должно быть достаточно потенциальной осуществимости не зависимо от реальных материальных ограничений. Если так рассуждать, то про некоторые большие натуральные числа мы не сможем установить, например, четные они или нечетные. Тоже считать их несуществующими?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1711352 писал(а):

Ту же самую, что и в предикате "быть человеком". Я в упор не вижу, в чем разница.

Предикат подразумевает только ту семантику, которая заложена в его определение. Так что однозначная определённость предиката не обязана предполагаться. А когда Вы употребляете слово "множество", то обычно подразумеваете что-то однозначно определённое.

EminentVictorians в сообщении #1711352 писал(а):

Что такое "синтаксическое понятие"? Я понимаю, что это значит, если фиксирован какой-то формальный язык, но пока никаких формальных языков в помине нету.

Почему формальный? Просто язык. В естественном языке употребление слова "человек" подразумевает предикат "являться человеком". Если Вам важна формализация, то это то же самое, что определить в сигнатуре теории предикатный символ.

Разумеется, у теории есть ещё и какая-то аксиоматика, которая как-то определяет этот предикат. И да, интерпретация (модель теории) уже относится к семантике.

EminentVictorians в сообщении #1711352 писал(а):

Проще тогда сразу взять обычное множество двоичных последовательностей. Для кучи последовательностей тоже нету никакого определяющего их алгоритма, но мне это не мешает считать все множество бесконечных двоичных последовательностей хорошо определенным.

Никому нельзя запретить "считать хорошо определённой" любую бессмыслицу, но если Вы не можете ни про одну битовую последовательность сказать, принадлежит ли она упоминаемому Вами множеству, то говорить о том, что множество хорошо определено, всё же странновато. С точки зрения бытового здравого смысла любой Ваш нормальный собеседник должен решить, что Вы не знаете о чём говорите.

Но да, чисто формально мы имеем право называть это "хорошо определённым" - в том же смысле, в котором мы имеем право любую вещь называть трамваем.

EminentVictorians в сообщении #1711352 писал(а):

для вас должно быть достаточно потенциальной осуществимости не зависимо от реальных материальных ограничений

Ну так нет здесь потенциальной осуществимости. Потенциальная осуществимость - это когда алгоритм рано или поздно останавливается. А алгоритм подтверждения принадлежности критика множеству критиков, восхищающихся только друг другом, на бесконечном множестве критиков заведомо не остановится никогда.

А в реальности нам достаточно и пары сотен критиков, чтобы начать испытывать практически непреодолимые сложности подтверждения указанной принадлежности.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1711403 писал(а):

Предикат подразумевает только ту семантику, которая заложена в его определение.

Тогда что такое "семантика предиката"?

epros в сообщении #1711403 писал(а):

А когда Вы употребляете слово "множество", то обычно подразумеваете что-то однозначно определённое.

Когда как. Например, пусть $G$ - группа. Или пусть $F$ - конечное множество из трех элементов. В обоих примерах множества не конкретные. Но чаще конкретные, да.

epros в сообщении #1711403 писал(а):

В естественном языке употребление слова "человек" подразумевает предикат "являться человеком".

И чем это не эквивалентно условию принадлежности к множеству людей?

epros в сообщении #1711403 писал(а):

Ну так нет здесь потенциальной осуществимости.

На конечном наборе есть же.

-- 02.12.2025, 11:50 --

И лучше скажите сразу, какое определение предиката используете. А то потом окажется, что о разных вещах говорим.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1711411 писал(а):

Тогда что такое "семантика предиката"?

То, что определяет его значения истинности для тех или иных аргументов.

EminentVictorians в сообщении #1711411 писал(а):

Но чаще конкретные, да.

Предикаты тоже могут быть не конкретными, если речь о логике второго порядка. Но даже конкретный предикат типа "является человеком" скорее всего будет определён неоднозначно.

EminentVictorians в сообщении #1711411 писал(а):

И чем это не эквивалентно условию принадлежности к множеству людей?

Только тем, что не подразумевает, что мы можем собрать из людей множество.

EminentVictorians в сообщении #1711411 писал(а):

На конечном наборе есть же.

Неизвестно, сколько критиков может быть добавлено, так что множество критиков можно считать бесконечным. Ровно в том же смысле, в котором мы не знаем, какие натуральные числа могут нам понадобиться, поэтому считаем их множество бесконечным.

EminentVictorians в сообщении #1711411 писал(а):

И лучше скажите сразу, какое определение предиката используете. А то потом окажется, что о разных вещах говорим.

То, что соответствует синтаксису применения предикатных символов в утверждениях, сформулированных на языке логики предикатов. При интерпретациях подразумевает соответствующие значения истинности при подстановках тех или иных значений аргументов (хотя способа определения значений истинности в некоторых случаях может не существовать).