Бесконечность простых чисел-близнецов

[Dmitriy40]

Skipper в сообщении #1707562 писал(а):

Удивительно что никакого прогресса дальше, за 7 лет, с 2018 года.
Может, гипотеза Харди-Литлвуда, о бесконечном количестве любых длин и типов кортежей, неверна?

Из-за этого - точно не может.

Skipper в сообщении #1707562 писал(а):

Выходит, это число тоже в каком-то смысле, пока уникально для человеческой цивилизации :)

Таких "уникальных" чисел - вагон и огромная телега. Как минимум по одному на каждый вариант паттерна (список $d$), коих бесконечное количество.
К тому же здесь речь лишь о максимально плотных кортежах, а бывают и другие. Например мы (я в том числе) занимались поиском симметричных, когда разности между соседними простыми одинаковы с начала и с конца. И такой кортеж был найден длиной 28. А недавно был найден и максимально плотный симметричный кортеж длиной 19, тоже первое продвижение в симметричных кортежах нечётной длины (и в максимально плотных таких) за долгие годы.

Так что несколько лет отсутствие продвижения - это ни о чём не говорит. Ну или говорит о недостаточности выделенных вычислительных ресурсов.

[Skipper]

Dmitriy40 в сообщении #1707575 писал(а):

речь лишь о максимально плотных кортежах, а бывают и другие

Ну для меня, самые интересные, это:

1) самые плотные, (о чём выше писал про "кортежи". вот тут есть примеры многих последовательностей https://oeis.org/A257124),
и наоборот,

2) самые менее плотные.
Это когда ищем пару простых, которые наоборот, лежат на максимальном интервале (по ключевым словам prime gaps, находятся в интернете), или 3 простых на максимальных интервалах, 4 простых и так далее..
Эти интервалы всегда растут по мере отдаления по числовой прямой.

3) интересен еще один, третий тип. Последовательность простых чисел, по мере удаления по числовой оси, у которых в обе стороны (и в меньшую и в большую) нет простого числа ближе очередного "рекордного расстояния" которое было ближе, при подсчетах от самого начала числовой оси.
Не обязательно вся эта тройка простых будет рекордно длинной (это из пункта выше 2), но вполне такое возможно.
Так сказать, такие простые "числа-одиночки", у которых в обе стороны, далеко нет рядом лежащих простых чисел-соседей. (последовательности prime gaps из 2-го пункта, показывают такие рекорды, только "в одну сторону").
Понимаете, о чём я? Интересно, как такая последовательность кодируется, в oeis, или как её можно в интернете найти?
Я могу написать свою программу и вычислить, но это будут небольшие числа, а меня интересует,
как такая длина растёт асимптотически, потому хотел бы найти такую последовательность, начиная от начала числовой оси, и до очень больших чисел...

[Dmitriy40]

Skipper в сообщении #1707599 писал(а):

2) самые менее плотные.
Это когда ищем пару простых, которые наоборот, лежат на максимальном интервале (по ключевым словам prime gaps, находятся в интернете), или 3 простых на максимальных интервалах, 4 простых и так далее..

Слишком нечётко сформулировано.
Должен ли интервал между соседними простыми быть везде одинаковым (это очень сильное ограничение) или просто не меньше указанного?

Например есть последовательность простых, у которых оба соседа на одинаковом расстоянии: A058867.
Если же не меньше, то см. ниже.
Если же несколько простых на одинаковом расстоянии, то смотрите здесь.

Skipper в сообщении #1707599 писал(а):

3) интересен еще один, третий тип. Последовательность простых чисел, по мере удаления по числовой оси, у которых в обе стороны (и в меньшую и в большую) нет простого числа ближе очередного "рекордного расстояния" которое было ближе, при подсчетах от самого начала числовой оси.

Это делается просто: пишете программу находящую штук 3-5 первых элементов и потом ищете их в OEIS. И легко находите A023186.

[Skipper]

Dmitriy40 в сообщении #1707625 писал(а):

Слишком нечётко сформулировано.
Должен ли интервал между соседними простыми быть везде одинаковым (это очень сильное ограничение) или просто не меньше указанного?

Это что то , типа списка prime gaps. Только prime gaps - для 2-х простых соседних чисел.
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap

вот первые из них-

gn - pn
1 - 2
2 - 3
4 - 7
6 - 23
8 - 89
14 - 113
18 - 523
20 - 887

gn - длина очередного "рекордного прыжка", между простыми, какого не встречалось ранее на числовой оси.
Первый такой "прыжок"- длиной 1, между простыми числами 2, и 3,
Следующий- длиной 2, между простыми числами 3, и 5. В правой колонке- стартовое число,
после которого идёт очередное рекордно длинное расстояние между 2-мя простыми.
Если таковое или менее уже встречалось, то все промежуточные числа- игнорируются.

Например, впервые 2 простых на отрезке длиной в 14, встречаются начиная от числа 113.

Следующие аж до числа 523- не имеют разрывов больше чем 14, потому сюда в список не попадают.
Как только видим очередной следующий рекорд- заносим его в список.
Это прыжок длиной в 18, начиная от числа 523 .

Ну и так далее.
Это выше описаны, рекордные интервалы, для 2-х простых.
А также можно построить аналогично, с рекордами по возрастанию, для 3-х простых чисел,
для 4-х простых и так далее.

В таком случае, что там внутри интервалов как простые расположены- просто игнорируется.
Например, если рассматриваем отрезки содержащие 4 простых, то нам важны только расстояния
между 1-м и 4-м, то есть последним простым числом. (а где там 2-е и 3-е находится- неважно).

Построив такой список, мы можем быть уверены, что вот до данного исследуемого интервала,
который стал рекордным, от самого начала числовой оси, не было ни одного отрезка,
ещё более длинного, содержащего 4 простых числа.

Это я и имел в виду, под исследованием, наоборот, "наименее плотных" кортежей.

[Dmitriy40]

Skipper в сообщении #1707642 писал(а):

А также можно построить аналогично, с рекордами по возрастанию, для 3-х простых чисел,
для 4-х простых и так далее.

Это по прежнему непонятно.
Вы говорите о диаметре последовательности из 3,4,... простых чисел? Т.е. о разнице между наибольшим и наименьшим, без учёта как расположены простые между ними? Так это не gap, это обычно называют диаметром.
При поиске магических квадратов мы занимались и таким поиском, что-то находили. Например измерены диаметры всех последовательностей из простых чисел длиной до 100 до $5\cdot10^{13}$. Сохранены лишь точки увеличения диаметра для каждой длины. Например вот изменение диаметра цепочки из 100 простых:

(Оффтоп)

Обозначение, диаметр, с какого простого начинается:
D(100)=539:2
D(100)=544:3
D(100)=552:5
D(100)=556:7
D(100)=558:11
D(100)=560:17
D(100)=568:19
D(100)=570:23
D(100)=572:41
D(100)=574:43
D(100)=578:53
D(100)=582:59
D(100)=586:73
D(100)=590:83
D(100)=598:103
D(100)=602:107
D(100)=610:109
D(100)=614:113
D(100)=620:167
D(100)=624:173
D(100)=630:179
D(100)=638:239
D(100)=640:241
D(100)=644:263
D(100)=648:271
D(100)=652:277
D(100)=656:281
D(100)=658:283
D(100)=660:317
D(100)=666:421
D(100)=684:467
D(100)=690:523
D(100)=708:653
D(100)=712:661
D(100)=722:677
D(100)=726:683
D(100)=732:691
D(100)=738:1093
D(100)=750:1097
D(100)=758:1103
D(100)=762:1231
D(100)=766:1303
D(100)=774:1307
D(100)=778:1489
D(100)=780:1723
D(100)=788:1733
D(100)=790:1741
D(100)=792:1747
D(100)=802:1789
D(100)=816:2347
D(100)=820:2383
D(100)=824:2393
D(100)=834:2417
D(100)=840:2459
D(100)=844:3637
D(100)=846:3701
D(100)=850:3733
D(100)=852:3739
D(100)=858:3779
D(100)=864:3919
D(100)=870:4019
D(100)=882:4021
D(100)=888:4493
D(100)=890:4523
D(100)=900:5861
D(100)=910:5869
D(100)=916:6367
D(100)=924:6373
D(100)=928:6379
D(100)=930:6481
D(100)=936:7577
D(100)=938:7583
D(100)=946:7591
D(100)=948:7649
D(100)=950:7727
D(100)=972:9859
D(100)=978:10273
D(100)=980:10337
D(100)=982:10369
D(100)=994:10663
D(100)=1010:10667
D(100)=1024:10753
D(100)=1030:13339
D(100)=1032:15791
D(100)=1034:15809
D(100)=1054:15817
D(100)=1056:15823
D(100)=1060:18061
D(100)=1062:18077
D(100)=1076:18131
D(100)=1078:18133
D(100)=1080:18253
D(100)=1116:18257
D(100)=1120:24109
D(100)=1124:24113
D(100)=1132:24169
D(100)=1134:34763
D(100)=1136:37571
D(100)=1138:37573
D(100)=1140:37663
D(100)=1144:42709
D(100)=1148:42719
D(100)=1162:42727
D(100)=1170:42743
D(100)=1182:42751
D(100)=1184:59417
D(100)=1188:59419
D(100)=1190:60107
D(100)=1204:60127
D(100)=1210:60169
D(100)=1216:63703
D(100)=1226:63743
D(100)=1236:63761
D(100)=1244:63809
D(100)=1248:63841
D(100)=1254:87697
D(100)=1268:87701
D(100)=1274:87719
D(100)=1276:87721
D(100)=1290:97007
D(100)=1298:102251
D(100)=1300:102253
D(100)=1302:102259
D(100)=1308:102559
D(100)=1326:102563
D(100)=1340:102611
D(100)=1344:155863
D(100)=1354:167449
D(100)=1380:167471
D(100)=1386:180001
D(100)=1390:180007
D(100)=1402:180097
D(100)=1404:180263
D(100)=1406:180287
D(100)=1422:180289
D(100)=1424:249257
D(100)=1428:272453
D(100)=1440:284927
D(100)=1468:286711
D(100)=1470:286813
D(100)=1476:338581
D(100)=1518:359231
D(100)=1526:359243
D(100)=1528:359323
D(100)=1540:359407
D(100)=1560:359599
D(100)=1562:359621
D(100)=1578:359633
D(100)=1612:484207
D(100)=1620:484373
D(100)=1626:484397
D(100)=1650:637783
D(100)=1652:637787
D(100)=1658:637829
D(100)=1660:637831
D(100)=1666:912451
D(100)=1668:912463
D(100)=1694:912467
D(100)=1720:912469
D(100)=1726:912487
D(100)=1728:912491
D(100)=1740:912497
D(100)=1746:912523
D(100)=1754:912539
D(100)=1762:912559
D(100)=1764:1636969
D(100)=1768:1637029
D(100)=1770:2373263
D(100)=1788:2373323
D(100)=1796:2373407
D(100)=1798:2373409
D(100)=1812:3063409
D(100)=1824:3063419
D(100)=1828:3063433
D(100)=1830:3063461
D(100)=1840:3063493
D(100)=1850:3063497
D(100)=1854:3063499
D(100)=1856:3099581
D(100)=1872:3099587
D(100)=1896:4957937
D(100)=1908:4958011
D(100)=1926:4958021
D(100)=1964:6033743
D(100)=1972:7174891
D(100)=1974:7174907
D(100)=1996:7174933
D(100)=2022:7174949
D(100)=2034:7174997
D(100)=2036:11430347
D(100)=2070:11430487
D(100)=2078:11430491
D(100)=2086:11929627
D(100)=2088:11929639
D(100)=2106:11929703
D(100)=2116:14959183
D(100)=2156:15367871
D(100)=2160:15368161
D(100)=2176:15368293
D(100)=2180:15368621
D(100)=2192:15368627
D(100)=2210:20940797
D(100)=2216:20940851
D(100)=2218:27755383
D(100)=2238:27755389
D(100)=2240:27755393
D(100)=2310:27755471
D(100)=2322:27755501
D(100)=2328:49442791
D(100)=2332:49442821
D(100)=2344:51459007
D(100)=2346:51459013
D(100)=2358:51459071
D(100)=2364:51459077
D(100)=2366:65879357
D(100)=2372:71754461
D(100)=2380:74164957
D(100)=2382:78601009
D(100)=2398:78601093
D(100)=2400:85038841
D(100)=2410:85038853
D(100)=2416:85455091
D(100)=2422:85455121
D(100)=2442:91561601
D(100)=2450:91561667
D(100)=2456:91561721
D(100)=2484:91561763
D(100)=2490:91561831
D(100)=2494:91561837
D(100)=2506:91561843
D(100)=2508:91561871
D(100)=2518:140989033
D(100)=2520:166060073
D(100)=2546:166060121
D(100)=2562:166060151
D(100)=2574:166060159
D(100)=2598:197875309
D(100)=2628:197875313
D(100)=2672:233799851
D(100)=2692:233799859
D(100)=2732:233799869
D(100)=2744:233799887
D(100)=2748:465474631
D(100)=2792:541138751
D(100)=2832:541138757
D(100)=2838:541138891
D(100)=2854:658547257
D(100)=2858:658547261
D(100)=2910:1002781757
D(100)=2934:1002781763
D(100)=2954:1002781823
D(100)=2962:1002782089
D(100)=2970:1002782117
D(100)=2976:1653103091
D(100)=3030:1837228781
D(100)=3034:1837228849
D(100)=3038:1837228859
D(100)=3040:2300563717
D(100)=3060:2801555153
D(100)=3070:2801555167
D(100)=3084:2801555369
D(100)=3094:2812289287
D(100)=3150:2812289329
D(100)=3154:3265850893
D(100)=3160:4077483343
D(100)=3180:4692628289
D(100)=3186:5139794287
D(100)=3198:5324780933
D(100)=3222:5324780947
D(100)=3228:6256336061
D(100)=3240:6352845973
D(100)=3250:6685007521
D(100)=3280:7404170017
D(100)=3298:7404170023
D(100)=3378:7404170041
D(100)=3390:9414049409
D(100)=3436:12734423557
D(100)=3450:16025473441
D(100)=3480:16025473469
D(100)=3486:16025473481
D(100)=3500:16025473547
D(100)=3536:16025473553
D(100)=3554:16025473703
D(100)=3596:16025473913
D(100)=3610:16025473927
D(100)=3630:31689954343
D(100)=3656:47223633851
D(100)=3664:47223633859
D(100)=3706:47223633883
D(100)=3710:47223633893
D(100)=3744:80434660259
D(100)=3752:82278206117
D(100)=3780:82278206141
D(100)=3816:82278206147
D(100)=3834:98092684609
D(100)=3848:114913083911
D(100)=3864:114913083913
D(100)=3872:120819325019
D(100)=3876:120819325021
D(100)=3884:139646473859
D(100)=3906:147693346961
D(100)=3930:147693346993
D(100)=3936:161966666903
D(100)=3984:164243936939
D(100)=3996:197679150533
D(100)=4006:197679150547
D(100)=4080:310683251969
D(100)=4082:310683251981
D(100)=4090:353750343319
D(100)=4118:436411039469
D(100)=4122:443792099189
D(100)=4126:443792099197
D(100)=4184:450412967177
D(100)=4198:450412967203
D(100)=4240:450867604813
D(100)=4242:450867604819
D(100)=4248:450867604883
D(100)=4310:450867604907
D(100)=4342:450867605017
D(100)=4376:909482105717
D(100)=4410:1006401165191
D(100)=4456:1006401165247
D(100)=4488:1006401165283
D(100)=4498:1006401165853
D(100)=4506:1959471110351
D(100)=4522:1959471110371
D(100)=4526:2627586246347
D(100)=4560:2627586247043
D(100)=4584:2978652224659
D(100)=4606:2978652224677
D(100)=4614:2978652224689
D(100)=4688:3108617979521
D(100)=4692:3108617979541
D(100)=4750:3108617979583
D(100)=4768:6215409274483
D(100)=4954:6215409274603
D(100)=4988:14731370202473
D(100)=4992:14731370202587
D(100)=4998:16287207737531
D(100)=5012:16287207737561
D(100)=5036:20217663607697
D(100)=5070:22839715877659
D(100)=5092:31170656750521
D(100)=5104:33485387765659
D(100)=5106:33485387765681
D(100)=5176:33994032582793
D(100)=5190:33994032582823
D(100)=5220:33994032583493
D(100)=5278:36683716323781
D(100)=5316:36683716323791
D(100)=5332:36683716323841
D(100)=5470:36683716323847

-- 30.10.2025, 00:40 --

Занимались например тут: «Диаметр последовательности простых чисел».

[Skipper]

Dmitriy40 в сообщении #1707625 писал(а):

Это делается просто: пишете программу находящую штук 3-5 первых элементов и потом ищете их в OEIS. И легко находите A023186
.

Хорошо, так и сделал. См. ниже.

Цитата:

Это по прежнему непонятно.
Вы говорите о диаметре последовательности из 3,4,... простых чисел?

Вот, я написал программулину, проанализировал первые 1000000 (1 миллион простых чисел).

Что я имел в виду под этим, 2-м пунктом:

Цитата:

2) самые менее плотные.
Это когда ищем пару простых, которые наоборот, лежат на максимальном интервале (по ключевым словам prime gaps, находятся в интернете), или 3 простых на максимальных интервалах, 4 простых и так далее..
Эти интервалы всегда растут по мере отдаления по числовой прямой.

Программа выдала, для 2-х простых, с рекордными расстояниями между простыми-

PrimeGaps2.txt

another record distance: 1 ; 2 - 3
another record distance: 2 ; 3 - 5
another record distance: 4 ; 7 - 11
another record distance: 6 ; 23 - 29
another record distance: 8 ; 89 - 97
another record distance: 14 ; 113 - 127
another record distance: 18 ; 523 - 541
another record distance: 20 ; 887 - 907
another record distance: 22 ; 1129 - 1151
another record distance: 34 ; 1327 - 1361
another record distance: 36 ; 9551 - 9587
another record distance: 44 ; 15683 - 15727
another record distance: 52 ; 19609 - 19661
another record distance: 72 ; 31397 - 31469
another record distance: 86 ; 155921 - 156007
another record distance: 96 ; 360653 - 360749
another record distance: 112 ; 370261 - 370373
another record distance: 114 ; 492113 - 492227

Здесь идут все очередные рекорды по расстоянию между двумя простыми, аналогично,
как в https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap

Для 3-х простых чисел-

PrimeGaps3.txt

another record distance: 3 ; 2 - 3 - 5
another record distance: 4 ; 3 - 5 - 7
another record distance: 6 ; 5 - 7 - 11
another record distance: 10 ; 19 - 23 - 29
another record distance: 12 ; 47 - 53 - 59
another record distance: 14 ; 83 - 89 - 97
another record distance: 18 ; 109 - 113 - 127
another record distance: 24 ; 199 - 211 - 223
another record distance: 28 ; 1123 - 1129 - 1151
another record distance: 40 ; 1321 - 1327 - 1361
another record distance: 42 ; 2161 - 2179 - 2203
another record distance: 44 ; 2477 - 2503 - 2521
another record distance: 48 ; 5591 - 5623 - 5639
another record distance: 50 ; 9551 - 9587 - 9601
another record distance: 56 ; 14087 - 14107 - 14143
another record distance: 58 ; 19603 - 19609 - 19661
another record distance: 72 ; 19609 - 19661 - 19681
another record distance: 76 ; 31393 - 31397 - 31469
another record distance: 80 ; 31397 - 31469 - 31477
another record distance: 82 ; 38461 - 38501 - 38543
another record distance: 100 ; 58789 - 58831 - 58889
another record distance: 114 ; 155893 - 155921 - 156007
another record distance: 116 ; 360653 - 360749 - 360769
another record distance: 126 ; 370247 - 370261 - 370373
another record distance: 138 ; 396733 - 396833 - 396871

Здесь идут все очередные рекорды по расстоянию между крайними простыми, аналогично,
так что отрезок из 3-х простых становится всё более длинным.
Например, последний- имеет длину 138, это разность между крайними 396871 и 396733 ,
и такого не встречалось для чисел меньших этим.
С начала натурального ряда, это "самая длинная тройка простых чисел".

Вот это я и имел в виду. Аналогично, можно с начала натурального ряда, искать самые
рекордно длинные кортежи из 4-х простых чисел, 5-ти и так далее.
(внутренние числа не интересуют, главное что крайние в кортеже разнесены на максимальное
"расстояние").

Что я имел в виду под этим, 3-м пунктом:

Цитата:

3) интересен еще один, третий тип. Последовательность простых чисел, по мере удаления по числовой оси, у которых в обе стороны (и в меньшую и в большую) нет простого числа ближе очередного "рекордного расстояния" которое было ближе, при подсчетах от самого начала числовой оси.
Не обязательно вся эта тройка простых будет рекордно длинной (это из пункта выше 2), но вполне такое возможно.
Так сказать, такие простые "числа-одиночки", у которых в обе стороны, далеко нет рядом лежащих простых чисел-соседей. (последовательности prime gaps из 2-го пункта, показывают такие рекорды, только "в одну сторону").

SpecialPrimeGaps3.txt

another record distance: 1 ; 2 - 3 - 5
another record distance: 2 ; 3 - 5 - 7
another record distance: 4 ; 19 - 23 - 29
another record distance: 6 ; 47 - 53 - 59
another record distance: 12 ; 199 - 211 - 223
another record distance: 14 ; 1831 - 1847 - 1861
another record distance: 18 ; 2161 - 2179 - 2203
another record distance: 20 ; 3947 - 3967 - 3989
another record distance: 24 ; 16007 - 16033 - 16057
another record distance: 30 ; 24251 - 24281 - 24317
another record distance: 40 ; 38461 - 38501 - 38543
another record distance: 42 ; 58789 - 58831 - 58889
another record distance: 44 ; 203669 - 203713 - 203761
another record distance: 48 ; 206651 - 206699 - 206749
another record distance: 54 ; 413299 - 413353 - 413411

Видим, что первая такая дистанция равна 2. Число 3 - имеет минимальную дистанцию к ближайшему
простому соседу равную 1.
Потому тут небольшая ошибочка в первом -
https://oeis.org/A023186
первое число 3 (мы же выписываем центральные), а все следующие верные.
(про это на сайте на этой странице так и написано "first term would be 3 instead of 2")
На сайте,
2, 5, 23, 53, 211, 1847, 2179, 3967, 16033, 24281, 38501, 58831, 203713, 206699, 413353, 1272749, 2198981, 5102953, 10938023, 12623189, 72546283, 142414669, 162821917, 163710121, 325737821, 1131241763, 1791752797, 3173306951, 4841337887, 6021542119, 6807940367, 7174208683, 8835528511, 11179888193, 15318488291, 26329105043, 31587561361, 45241670743

Последнее число 45241670743 , т.е. больше чем 45 млрд, имеет некий "рекорд", ранее
не встречавшийся с самого начала числового ряда, такой, что у него ближайший сосед, глядя
в обе стороны, и в бОльшую, и в меньшую, отстоит рекордно далеко.
Насколько, это число можно легко проверить.

У меня же проверка была только до 1 миллиона, и такое число,
не имеющее простых соседей- рекордно на далёком расстоянии, в 54, это число , центральное
в тройке простых, а именно, 413353 .

-- Чт окт 30, 2025 04:12:20 --

Цитата:

Не обязательно вся эта тройка простых будет рекордно длинной (это из пункта выше 2), но вполне такое возможно.

И оно, действительно случилось.
В моих файлах выше, PrimeGaps3.txt и SpecialPrimeGaps3.txt , видим, что в обоих присутствует одна и та
же тройка простых чисел-

another record distance: 100 ; 58789 - 58831 - 58889
another record distance: 42 ; 58789 - 58831 - 58889

Выходит, эта тройка реализовалась и так что рекордно длинный кортеж из трёх чисел
(между крайними разность 100), и центральное число 58831 , оказалось, не имеет ближайших
соседей в обе стороны так, что ни у каких чисел с начала натурального ряда, подобное не наблюдалось..

[Yadryara]

Skipper в сообщении #1707658 писал(а):

Что я имел в виду под этим, 2-м пунктом:

Это и так понятно было, например мне. Ведь эти гэпы обсуждались совсем недавно, в том числе с Вашим участием.

Skipper в сообщении #1707658 писал(а):

Для 3-х простых чисел-

Здесь идут все очередные рекорды по расстоянию между крайними простыми, аналогично, так что отрезок из 3-х простых становится всё более длинным.

И это конечно понятно, и это давным-давно есть: A031132

Skipper в сообщении #1707658 писал(а):

Аналогично, можно с начала натурального ряда, искать самые
рекордно длинные кортежи из 4-х простых чисел, 5-ти и так далее.
(внутренние числа не интересуют, главное что крайние в кортеже разнесены на максимальное "расстояние").

Ну да, расстояние между крайними как раз и называется диаметром. О чём Вам Дмитрий и сказал.

Skipper в сообщении #1707658 писал(а):

3) интересен еще один, третий тип.

Ну да, это кортежи из простых чисел, в том числе симметричные. Что конкретно предлагаете? Искать их? Почему обсуждаете их здесь, а не в кортежных темах?

[Dmitriy40]

Skipper в сообщении #1707658 писал(а):

Последнее число 45241670743 , т.е. больше чем 45 млрд,

Это не последнее число, а лишь те что показаны, продолжение доступно по ссылке в разделе LINKS: https://oeis.org/A023186/b023186.txt, где есть все 56 чисел.

Skipper
Так у Вас остались ещё вопросы? Вроде всё насчитанное есть в OEIS если поискать.
Много данных оказывается есть здесь: http://www.fermatquotient.com, в том числе и первые вхождения диаметров кортежей длиной до 21 (например "Erste 10 Differenzen von 21 benachbarten Primzahlen") и некоторых длиннее.
Но к простым близнецам это отношения уже не имеет.

[vicvolf]

Skipper в сообщении #1707562 писал(а):

Может, гипотеза Харди-Литлвуда, о бесконечном количестве любых длин и типов кортежей, неверна?

Я уже Вам в этой теме писал, что гипотеза Харди-Литтлвуда не об этом, а об асимптотическом количестве кортежей простых чисел на интервале. Но видно за это время так ее и не посмотрели! Об условии бесконечности количестве простых кортежей говорит гипотеза Диксона https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0 ... 0%BD%D0%B0 Частным случаем гипотезы Диксона является гипотеза о бесконечности простых близнецов.

[Skipper]

Dmitriy40 в сообщении #1707669 писал(а):

Много данных оказывается есть здесь: http://www.fermatquotient.com , в том числе и первые вхождения диаметров кортежей длиной до 21

Спасибо. А длиной с 21 до 22, уже 7 лет не могут перейти?..

Цитата:

Странно что не найден 22-tuple, вроде он должен был быть из 30 цифр, т.е. до $10^{30}$, однако уже дошли до $1.2\cdot10^{30}$, а его нету ...

Это вы писали, в марте-2021-го, тогда было странно, а сейчас в конце 2025-го года, после того как прошло ещё 4,5 года, и по прежнему не могут найти нетривиальный плотный кортеж из 22 простых чисел, это уже странным не кажется?

PS Притом, что еще и закон Мура пока не прекратил своё действие..

[Dmitriy40]

Skipper
И сейчас странно. Ну и что? Разброс может быть в пару порядков от расчётного/ожидаемого, таких примеров немало. Вот если не найдут до например $10^{35}$ тогда и будем удивляться.
Закон Мура же не всегда применим напрямую - не каждый обновляет и свой личный комп и сотню серверов на работе (в институте) каждый год. Знаю что многие считают на компах и 10-летней давности, и 15-летней, а то и 20-летней. Или недавних, но недорогих и потому по скорости как хорошие 15-летние.

[Skipper]

Цитата:

программа выдала, для 2-х простых, с рекордными расстояниями между простыми-
PrimeGaps2.txt

Цитата:

Для 3-х простых чисел-
PrimeGaps3.txt

Цитата:

3) интересен еще один, третий тип. Последовательность простых чисел, по мере удаления по числовой оси, у которых в обе стороны (и в меньшую и в большую) нет простого числа ближе очередного "рекордного расстояния" которое было ближе, при подсчетах от самого начала числовой оси.
Не обязательно вся эта тройка простых будет рекордно длинной (это из пункта выше 2), но вполне такое возможно.
Так сказать, такие простые "числа-одиночки", у которых в обе стороны, далеко нет рядом лежащих простых чисел-соседей. (последовательности prime gaps из 2-го пункта, показывают такие рекорды, только "в одну сторону").

Дополнил более чем до 4 миллиардов, то есть до 2^32-1, получилось вот что,

(Оффтоп)

F001_PrimeGaps2.txt
another record distance: 1 ; 2 - 3
another record distance: 2 ; 3 - 5
another record distance: 4 ; 7 - 11
another record distance: 6 ; 23 - 29
another record distance: 8 ; 89 - 97
another record distance: 14 ; 113 - 127
another record distance: 18 ; 523 - 541
another record distance: 20 ; 887 - 907
another record distance: 22 ; 1129 - 1151
another record distance: 34 ; 1327 - 1361
another record distance: 36 ; 9551 - 9587
another record distance: 44 ; 15683 - 15727
another record distance: 52 ; 19609 - 19661
another record distance: 72 ; 31397 - 31469
another record distance: 86 ; 155921 - 156007
another record distance: 96 ; 360653 - 360749
another record distance: 112 ; 370261 - 370373
another record distance: 114 ; 492113 - 492227
another record distance: 118 ; 1349533 - 1349651
another record distance: 132 ; 1357201 - 1357333
another record distance: 148 ; 2010733 - 2010881
another record distance: 154 ; 4652353 - 4652507
another record distance: 180 ; 17051707 - 17051887
another record distance: 210 ; 20831323 - 20831533
another record distance: 220 ; 47326693 - 47326913
another record distance: 222 ; 122164747 - 122164969
another record distance: 234 ; 189695659 - 189695893
another record distance: 248 ; 191912783 - 191913031
another record distance: 250 ; 387096133 - 387096383
another record distance: 282 ; 436273009 - 436273291
another record distance: 288 ; 1294268491 - 1294268779
another record distance: 292 ; 1453168141 - 1453168433
another record distance: 320 ; 2300942549 - 2300942869
another record distance: 336 ; 3842610773 - 3842611109

F002_PrimeGaps3.txt
another record distance: 3 ; 2 - 3 - 5
another record distance: 4 ; 3 - 5 - 7
another record distance: 6 ; 5 - 7 - 11
another record distance: 10 ; 19 - 23 - 29
another record distance: 12 ; 47 - 53 - 59
another record distance: 14 ; 83 - 89 - 97
another record distance: 18 ; 109 - 113 - 127
another record distance: 24 ; 199 - 211 - 223
another record distance: 28 ; 1123 - 1129 - 1151
another record distance: 40 ; 1321 - 1327 - 1361
another record distance: 42 ; 2161 - 2179 - 2203
another record distance: 44 ; 2477 - 2503 - 2521
another record distance: 48 ; 5591 - 5623 - 5639
another record distance: 50 ; 9551 - 9587 - 9601
another record distance: 56 ; 14087 - 14107 - 14143
another record distance: 58 ; 19603 - 19609 - 19661
another record distance: 72 ; 19609 - 19661 - 19681
another record distance: 76 ; 31393 - 31397 - 31469
another record distance: 80 ; 31397 - 31469 - 31477
another record distance: 82 ; 38461 - 38501 - 38543
another record distance: 100 ; 58789 - 58831 - 58889
another record distance: 114 ; 155893 - 155921 - 156007
another record distance: 116 ; 360653 - 360749 - 360769
another record distance: 126 ; 370247 - 370261 - 370373
another record distance: 138 ; 396733 - 396833 - 396871
another record distance: 140 ; 1357193 - 1357201 - 1357333
another record distance: 160 ; 1561891 - 1561919 - 1562051
another record distance: 190 ; 4652317 - 4652353 - 4652507
another record distance: 200 ; 8917463 - 8917523 - 8917663
another record distance: 234 ; 20831299 - 20831323 - 20831533
another record distance: 236 ; 38089217 - 38089277 - 38089453
another record distance: 246 ; 70396343 - 70396393 - 70396589
another record distance: 248 ; 72546143 - 72546283 - 72546391
another record distance: 270 ; 102765577 - 102765683 - 102765847
another record distance: 306 ; 142414553 - 142414669 - 142414859
another record distance: 328 ; 325737649 - 325737821 - 325737977
another record distance: 330 ; 436272961 - 436273009 - 436273291
another record distance: 336 ; 476956801 - 476956933 - 476957137
another record distance: 340 ; 1346350651 - 1346350763 - 1346350991
another record distance: 372 ; 1453168061 - 1453168141 - 1453168433
another record distance: 376 ; 2949346891 - 2949347131 - 2949347267
another record distance: 410 ; 3367207667 - 3367207801 - 3367208077

Рекорд ненамного больше чем для 2-х, 410 против 336!

F003_SpecialPrimeGaps3.txt

another record distance: 1 ; 2 - 3 - 5
another record distance: 2 ; 3 - 5 - 7
another record distance: 4 ; 19 - 23 - 29
another record distance: 6 ; 47 - 53 - 59
another record distance: 12 ; 199 - 211 - 223
another record distance: 14 ; 1831 - 1847 - 1861
another record distance: 18 ; 2161 - 2179 - 2203
another record distance: 20 ; 3947 - 3967 - 3989
another record distance: 24 ; 16007 - 16033 - 16057
another record distance: 30 ; 24251 - 24281 - 24317
another record distance: 40 ; 38461 - 38501 - 38543
another record distance: 42 ; 58789 - 58831 - 58889
another record distance: 44 ; 203669 - 203713 - 203761
another record distance: 48 ; 206651 - 206699 - 206749
another record distance: 54 ; 413299 - 413353 - 413411
another record distance: 62 ; 1272679 - 1272749 - 1272811
another record distance: 72 ; 2198909 - 2198981 - 2199061
another record distance: 76 ; 5102863 - 5102953 - 5103029
another record distance: 96 ; 10937921 - 10938023 - 10938119
another record distance: 98 ; 12623089 - 12623189 - 12623287
another record distance: 108 ; 72546143 - 72546283 - 72546391
another record distance: 116 ; 142414553 - 142414669 - 142414859
another record distance: 124 ; 162821753 - 162821917 - 162822041
another record distance: 136 ; 163709971 - 163710121 - 163710257
another record distance: 156 ; 325737649 - 325737821 - 325737977
another record distance: 160 ; 1131241603 - 1131241763 - 1131241933
another record distance: 162 ; 1791752629 - 1791752797 - 1791752959
another record distance: 168 ; 3173306777 - 3173306951 - 3173307119

После этого написал ещё 2 функции, одна- выдавала простые числа-кузены, то есть простые,
отличающиеся, на 4, но не просто все подряд до 4 миллиардов,
а "с накоплением рекордных расстояний между ними",

F004_PrimeTuplets2Cousin_WithGaps.txt

another record distance: 4 ; 3 , 7 ---- 7 , 11
another record distance: 6 ; 7 , 11 ---- 13 , 17
another record distance: 18 ; 19 , 23 ---- 37 , 41
another record distance: 24 ; 43 , 47 ---- 67 , 71
another record distance: 36 ; 127 , 131 ---- 163 , 167
another record distance: 48 ; 229 , 233 ---- 277 , 281
another record distance: 114 ; 499 , 503 ---- 613 , 617
another record distance: 120 ; 1093 , 1097 ---- 1213 , 1217
another record distance: 126 ; 4003 , 4007 ---- 4129 , 4133
another record distance: 294 ; 4153 , 4157 ---- 4447 , 4451
another record distance: 354 ; 10729 , 10733 ---- 11083 , 11087
another record distance: 396 ; 37567 , 37571 ---- 37963 , 37967
another record distance: 426 ; 80173 , 80177 ---- 80599 , 80603
another record distance: 462 ; 135727 , 135731 ---- 136189 , 136193
another record distance: 480 ; 146059 , 146063 ---- 146539 , 146543
another record distance: 756 ; 174763 , 174767 ---- 175519 , 175523
another record distance: 810 ; 250027 , 250031 ---- 250837 , 250841
another record distance: 876 ; 511627 , 511631 ---- 512503 , 512507
another record distance: 960 ; 706837 , 706841 ---- 707797 , 707801
another record distance: 990 ; 963223 , 963227 ---- 964213 , 964217
another record distance: 1038 ; 979549 , 979553 ---- 980587 , 980591
another record distance: 1074 ; 1598539 , 1598543 ---- 1599613 , 1599617
another record distance: 1110 ; 1640263 , 1640267 ---- 1641373 , 1641377
another record distance: 1116 ; 2011903 , 2011907 ---- 2013019 , 2013023
another record distance: 1182 ; 2043907 , 2043911 ---- 2045089 , 2045093
another record distance: 1434 ; 2535469 , 2535473 ---- 2536903 , 2536907
another record distance: 1470 ; 4644667 , 4644671 ---- 4646137 , 4646141
another record distance: 1500 ; 5603929 , 5603933 ---- 5605429 , 5605433
another record distance: 1926 ; 6549247 , 6549251 ---- 6551173 , 6551177
another record distance: 1938 ; 13043119 , 13043123 ---- 13045057 , 13045061
another record distance: 1986 ; 20441467 , 20441471 ---- 20443453 , 20443457
another record distance: 2166 ; 23122387 , 23122391 ---- 23124553 , 23124557
another record distance: 2310 ; 26540053 , 26540057 ---- 26542363 , 26542367
another record distance: 2436 ; 28801477 , 28801481 ---- 28803913 , 28803917
another record distance: 2670 ; 31871713 , 31871717 ---- 31874383 , 31874387
another record distance: 3066 ; 100586173 , 100586177 ---- 100589239 , 100589243
another record distance: 3162 ; 217710877 , 217710881 ---- 217714039 , 217714043
another record distance: 3654 ; 279673573 , 279673577 ---- 279677227 , 279677231
another record distance: 4158 ; 430574359 , 430574363 ---- 430578517 , 430578521
another record distance: 4284 ; 968193433 , 968193437 ---- 968197717 , 968197721
another record distance: 4326 ; 1098972643 , 1098972647 ---- 1098976969 , 1098976973
another record distance: 4854 ; 1533615103 , 1533615107 ---- 1533619957 , 1533619961
another record distance: 5052 ; 3294327607 , 3294327611 ---- 3294332659 , 3294332663

Затем, ещё аналогично, для простых чисел-близнецов, то есть простые,
отличающиеся, на 2, но не просто все подряд до 4 миллиардов,
а тоже "с накоплением рекордных расстояний между ними".

Простые-кузены, и простые-близнецы, меж собой не пересекаются, потому что первые
имеют вид $6n+1$ , $6n+5$,
вторые же имеют вид, другой, $6n+1$ , $6n-1$,

Если докажут гипотезу о бесконечности простых именно чисел-близнецов, то из нее не будет
следовать, что и простых чисел-кузенов бесконечно много. Хотя они судя по всему, имеют
одинаково плотное распределение, вот максимальное расстояние между парами простых-кузенов,
на отрезке до 4 миллиардов, как видим выше,

record distance: 5052 ; 3294327607 , 3294327611 ---- 3294332659 , 3294332663

а для чисел-близнецов-

record distance: 6030 ; 4289385521 , 4289385523 ---- 4289391551 , 4289391553

F005_PrimeTuplets2Twin_WithGaps.txt -

(Оффтоп)

another record distance: 2 ; 3 , 5 ---- 5 , 7
another record distance: 6 ; 5 , 7 ---- 11 , 13
another record distance: 12 ; 17 , 19 ---- 29 , 31
another record distance: 18 ; 41 , 43 ---- 59 , 61
another record distance: 30 ; 71 , 73 ---- 101 , 103
another record distance: 36 ; 311 , 313 ---- 347 , 349
another record distance: 72 ; 347 , 349 ---- 419 , 421
another record distance: 150 ; 659 , 661 ---- 809 , 811
another record distance: 168 ; 2381 , 2383 ---- 2549 , 2551
another record distance: 210 ; 5879 , 5881 ---- 6089 , 6091
another record distance: 282 ; 13397 , 13399 ---- 13679 , 13681
another record distance: 372 ; 18539 , 18541 ---- 18911 , 18913
another record distance: 498 ; 24419 , 24421 ---- 24917 , 24919
another record distance: 630 ; 62297 , 62299 ---- 62927 , 62929
another record distance: 924 ; 187907 , 187909 ---- 188831 , 188833
another record distance: 930 ; 687521 , 687523 ---- 688451 , 688453
another record distance: 1008 ; 688451 , 688453 ---- 689459 , 689461
another record distance: 1452 ; 850349 , 850351 ---- 851801 , 851803
another record distance: 1512 ; 2868959 , 2868961 ---- 2870471 , 2870473
another record distance: 1530 ; 4869911 , 4869913 ---- 4871441 , 4871443
another record distance: 1722 ; 9923987 , 9923989 ---- 9925709 , 9925711
another record distance: 1902 ; 14656517 , 14656519 ---- 14658419 , 14658421
another record distance: 2190 ; 17382479 , 17382481 ---- 17384669 , 17384671
another record distance: 2256 ; 30752231 , 30752233 ---- 30754487 , 30754489
another record distance: 2832 ; 32822369 , 32822371 ---- 32825201 , 32825203
another record distance: 2868 ; 96894041 , 96894043 ---- 96896909 , 96896911
another record distance: 3012 ; 136283429 , 136283431 ---- 136286441 , 136286443
another record distance: 3102 ; 234966929 , 234966931 ---- 234970031 , 234970033
another record distance: 3180 ; 248641037 , 248641039 ---- 248644217 , 248644219
another record distance: 3480 ; 255949949 , 255949951 ---- 255953429 , 255953431
another record distance: 3804 ; 390817727 , 390817729 ---- 390821531 , 390821533
another record distance: 4770 ; 698542487 , 698542489 ---- 698547257 , 698547259
another record distance: 5292 ; 2466641069 , 2466641071 ---- 2466646361 , 2466646363
another record distance: 6030 ; 4289385521 , 4289385523 ---- 4289391551 , 4289391553

[Dmitriy40]

Skipper
F001_PrimeGaps2.txt: A005250, A002386, A000101
F002_PrimeGaps3.txt: A031132, A031133, A031134
F003_SpecialPrimeGaps3.txt: A023187, A023186, A023188
Таблички F004_PrimeTuplets2Cousin_WithGaps.txt в OEIS не нашёл.
F005_PrimeTuplets2Twin_WithGaps.txt: A113274, A113275
Некоторые из них я 10 лет назад просчитал до 1.1e15 (и часть добавил в OEIS, что вспомнил), что потребовало всего недели три счёта в одном потоке.

(Вот продолжение пары Ваших табличек)

D(-1)=2:5
D(-1)=6:53
D(-1)=12:211
D(-1)=24:16787
D(-1)=30:69623
D(-1)=42:247141
D(-1)=48:3565979
D(-1)=60:4911311
D(-1)=66:12012743
D(-1)=72:23346809
D(-1)=84:34346287
D(-1)=90:36598607
D(-1)=96:51042053
D(-1)=144:383204683
D(-1)=150:4470608101
D(-1)=156:5007182863
D(-1)=168:5558570491
D(-1)=186:48287689717
D(-1)=198:50284155289
D(-1)=204:178796541817
D(-1)=210:264860525507
D(-1)=228:374787490919
D(-1)=240:1521870804107
D(-1)=258:2093308790851
D(-1)=276:4228611064537
D(-1)=300:6537587646671
D(-1)=306:17432065861517
D(-1)=348:22546768250359
D(-1)=390:26923643849953
D(-1)=420:187891466722913

D(-2)=1:3
D(-2)=2:5
D(-2)=4:23
D(-2)=6:53
D(-2)=12:211
D(-2)=14:1847
D(-2)=18:2179
D(-2)=20:3967
D(-2)=24:16033
D(-2)=30:24281
D(-2)=40:38501
D(-2)=42:58831
D(-2)=44:203713
D(-2)=48:206699
D(-2)=54:413353
D(-2)=62:1272749
D(-2)=72:2198981
D(-2)=76:5102953
D(-2)=96:10938023
D(-2)=98:12623189
D(-2)=108:72546283
D(-2)=116:142414669
D(-2)=124:162821917
D(-2)=136:163710121
D(-2)=156:325737821
D(-2)=160:1131241763
D(-2)=162:1791752797
D(-2)=168:3173306951
D(-2)=174:4841337887
D(-2)=176:6021542119
D(-2)=178:6807940367
D(-2)=180:7174208683
D(-2)=186:8835528511
D(-2)=194:11179888193
D(-2)=210:15318488291
D(-2)=214:26329105043
D(-2)=222:31587561361
D(-2)=242:45241670743
D(-2)=244:113482615613
D(-2)=246:138465682247
D(-2)=250:307608752579
D(-2)=258:313455525683
D(-2)=268:343834606051
D(-2)=284:491856414677
D(-2)=300:1362810282439
D(-2)=324:1480975873513
D(-2)=328:5551890283531
D(-2)=340:9156364643509
D(-2)=348:16303344721399
D(-2)=352:25328423597831
D(-2)=390:26923643849953
D(-2)=396:92299530249323
D(-2)=420:187891466722913
D(-2)=432:342540487510231
D(-2)=452:475963705368391
D(-2)=480:941114429467073

[Skipper]

Dmitriy40, спасибо.
Хочу ещё написать алгоритм факторизации чисел.

[Dmitriy40]

Skipper в сообщении #1710222 писал(а):

Хочу ещё написать алгоритм факторизации чисел.

Какой из? Их много известно.