Гипотеза о симметричных простых близнецах

[Altenter]

Someone в сообщении #1707528 писал(а):

Altenter в сообщении #1707501 писал(а):

простых близнецов с разностью 246

Нет никаких "простых близнецов с разностью $246$". Есть только простые близнецы с разностью $2$. По определению: простыми близнецами называются пары простых чисел с разностью $2$.
По сведениям сайта PrimePages, наибольшей известной парой простых близнецов является пара $2996863034895\cdot 2^{1290000}-1$ и $2996863034895\cdot 2^{1290000}+1$.
А, например, $7$ и $11$ — хоть и простые числа, но не близнецы, так как $11-7\neq 2$. Что Вам здесь ещё непонятно?
А "симметричные близнецы" в смысле Ryzl — это любая пара нечётных простых чисел. Например, $267$ и $26041$: их полусумма равна $13154$, и выполняется равенство $13154-267=26041-13154$. И, поскольку такое равенство можно написать для любой пары нечётных простых чисел, то все они являются "симметричными близнецами" в смысле Ryzl.

Ну ничто же не мешает ввести такое определение и понятие, хотя бы в рамках исследования Ryzl?

Someone в сообщении #1707528 писал(а):

Altenter в сообщении #1707527 писал(а):

Это сути не меняет в контексте терминологии. Эти пары надо называть либо простыми близнецами с разностью n, либо простые близнецы называть простыми числами с разностью 2 в целях единообразия выражений.

Уж Вы извините математиков-недотёп, что они не посоветовались с Вами, кода формулировали определения.

1. Совсем не считаю математиков недотепами, которые должны извиняться передо мной или советоваться - это Ваши домыслы или сарказм.
2. Готов принять общепринятую терминологию и называть простые числа с разностью 2 простыми близнецами, а простые числа с другой разностью- простыми числами с разностью n. Просто высказал свое мнение о терминологии в контексте своего субъективного восприятия.

[Someone]

Altenter в сообщении #1707537 писал(а):

Ну ничто же не мешает ввести такое определение и понятие, хотя бы в рамках исследования Ryzl?

Определение должно выделять какой-то класс объектов, иначе его использование не будет иметь смысла. Определение Ryzl ничего не выделяет, поскольку любая пара нечётных простых чисел его определению удовлетворяет.
Ваше определение страдает тем же недостатком: поскольку разность не фиксирована, то каждое простое число входит в какую-нибудь пару "близнецов" с подходящей разностью.
Пару различных простых чисел, между которыми нет других простых чисел, можно называть последовательными или соседними. Распространять на них термин "близнецы" совершенно не нужно. Термины "последовательные" и "соседние" универсальны, потому что применимы к любым последовательностям любых объектов, и интуитивно совершенно понятны.

[Altenter]

Someone в сообщении #1707549 писал(а):

Altenter в сообщении #1707537 писал(а):

Ну ничто же не мешает ввести такое определение и понятие, хотя бы в рамках исследования Ryzl?

Определение должно выделять какой-то класс объектов, иначе его использование не будет иметь смысла. Определение Ryzl ничего не выделяет, поскольку любая пара нечётных простых чисел его определению удовлетворяет.
Ваше определение страдает тем же недостатком: поскольку разность не фиксирована, то каждое простое число входит в какую-нибудь пару "близнецов" с подходящей разностью.

Я понял, вы любите когда все разложено по полочкам, шкафчикам строго на своих местах и ничего не смешивается, иначе Вам трудно и это напрягает )
Раз мир вокруг хаотичен, непонятен и несправедлив, то хотя бы мир математики Вы хотите видеть совершенным кристаллом).

Someone в сообщении #1707549 писал(а):

Altenter в сообщении #1707537 писал(а):

Пару различных простых чисел, между которыми нет других простых чисел, можно называть последовательными или соседними. Распространять на них термин "близнецы" совершенно не нужно. Термины "последовательные" и "соседние" универсальны, потому что применимы к любым последовательностям любых объектов, и интуитивно совершенно понятны.

А зачем вообще ввели в терминологию "простых близнецов"? Это же по сути последовательные простые числа с разностью 2)

[Someone]

Altenter в сообщении #1707554 писал(а):

А зачем вообще ввели в терминологию "простых близнецов"? Это же по сути последовательные простые числа с разностью 2)

Кому-то показалось, что наименьшая возможная разность между простыми числами — это интереснее, чем просто какая-нибудь. Разность, равная $1$, очевидно, встречается только один раз, это тривиально (слово "тривиальный" означает "неинтересный"), а про разность, равную $2$, сразу возникает интересный вопрос. И другие с ним согласились.

(Altenter)

Altenter в сообщении #1707554 писал(а):

Я понял, вы любите когда все разложено по полочкам, шкафчикам строго на своих местах и ничего не смешивается, иначе Вам трудно и это напрягает )
Раз мир вокруг хаотичен, непонятен и несправедлив, то хотя бы мир математики Вы хотите видеть совершенным кристаллом).

Вы меня позабавили.

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1707549 писал(а):

Пару различных простых чисел, между которыми нет других простых чисел, можно называть последовательными или соседними.

И про пары соседних простых чисел доказано некоторое количество теорем (это и все последующее я пишу для Altenter). Например, доказано, что для любого натурального $n$ найдется отрезок из $n$ подряд идущих составных чисел. Упражнение для Altenter: попробуйте это доказать, тут не требуется ничего сложнее факториала (и это уже жирнющая подсказка). А есть гораздо более нетривиальная теорема Эрдёша и Турана, я бы даже не пытался сам ее доказывать. Пусть $\{p_n\}$ – последовательность всех простых чисел в порядке возрастания, $\{d_n\}$ – последовательность разностей соседних простых чисел: $d_n = p_{n+1} - p_n$. Теорема: не существует $n$, начиная с которого последовательность $\{d_n\}$ строго монотонна.

Altenter в сообщении #1707554 писал(а):

А зачем вообще ввели в терминологию "простых близнецов"?

Затем, что о них можно поставить содержательные математические задачи. Например, если Вы докажете или опровергните, что множество всех пар близнецов конечно, Вы войдете в историю математики. А есть еще пары кузенов - это простые числа, отличающиеся на четверку, например, 7 и 11, 13 и 17. Неизвестно, конечно ли множество всех пар кузенов, и это отдельная проблема, которая не сводится к проблеме близнецов (по крайней мере, насколько сейчас известно). Если Вы решите эту проблему, Вы тоже войдете в историю. Да, таких вопросов можно поставить много. Например, только в 2013 г. было доказано: существует бесконечное множество таких пар различных простых чисел $a, b$, что $a - b < 247$. Был ли с тех пор улучшен этот результат, я не знаю.

Altenter в сообщении #1707554 писал(а):

Я понял, вы любите когда все разложено по полочкам, шкафчикам строго на своих местах и ничего не смешивается, иначе Вам трудно и это напрягает )

Как бы сказать повежливее. Уважаемый Someone - профессиональный и опытный математик. Он знает, какие "полочки и шкафчики" нужны, чтобы продуктивно заниматься математикой. Мне, например, у него учиться и учиться. Вы же, Altenter, пока демонстрируете форуму свою невысокую грамотность в сочетании с высокими претензиями. И если, перефразируя Льва Толстого, рассуждающий о математике человек есть дробь, где его компетентность в числителе, а претензии в знаменателе, то...

[Dmitriy40]

Anton_Peplov в сообщении #1707561 писал(а):

А есть гораздо более нетривиальная теорема Эрдёша и Турана, я бы даже не пытался сам ее доказывать. Пусть $\{p_n\}$ – последовательность всех простых чисел в порядке возрастания, $\{d_n\}$ – последовательность разностей соседних простых чисел: $d_n = p_{n+1} - p_n$. Теорема: не существует $n$, начиная с которого последовательность $\{d_n\}$ строго монотонна.

А чего в нём сложного? Ну если не с нуля доказывать? Доказываем что максимум $\max\limits_{i \le k}d_i$ с ростом $k$ возрастает, ровно как чуть выше про факториал и кучу составных, потом используем что не прекращают встречаться $d_n<247$ (или 70млн как в прорывной работе Чжана) - и вуаля, оно не монотонно.

[Skipper]

Anton_Peplov в сообщении #1707561 писал(а):

А есть еще пары кузенов - это простые числа, отличающиеся на четверку, например, 7 и 11, 13 и 17.

Если докажут, что верна Обобщенная Гипотеза Эллиотта-Халберстама, то из этого последует что,
существует бесконечное множество таких пар различных простых чисел $a, b$, что $a - b \leqslant 6$.
А это значит, что по крайней мере одно из следующих утверждений верно (трилемма):

1) существует бесконечное множество таких пар различных простых чисел отличающихся на $6$.
2) существует бесконечное множество таких пар различных простых чисел отличающихся на $4$.
3) существует бесконечное множество таких пар различных простых чисел отличающихся на $2$.

Последнее и будет означать, гипотезу о бесконечном количестве обычных простых чисел-близнецов.

Цитата:

если Вы докажете или опровергните, что множество всех пар близнецов конечно

Эта гипотеза о бесконечном количестве пар простых чисел-близнецов, интересна тем, что
может оказаться так, что докажут, факт её недоказуемости. То есть факт такой, что ни её утверждение,
ни опровержение, нельзя доказать в принципе.

В отличие от других гипотез, истинность которых также может оказаться неодказуемой, мы видим,
что по крайней мере, ложность опровергается одним контрпримером, например та же, гипотеза Гольдбаха.

А вот с фактом, конечное или бесконечное количество простых-чисел близнецов, совсем по-другому.
Тут что истинность, что ложность, или доказывается аналитически, или не доказывается никогда,
если оно недоказуемо, то никто, даже высшая цивилизация в будущем, за миллиарды лет,
никогда об этом не узнает :)

[Altenter]

Anton_Peplov в сообщении #1707561 писал(а):

Someone в сообщении #1707549 писал(а):

Пару различных простых чисел, между которыми нет других простых чисел, можно называть последовательными или соседними.

И про пары соседних простых чисел доказано некоторое количество теорем (это и все последующее я пишу для Altenter). Например, доказано, что для любого натурального $n$ найдется отрезок из $n$ подряд идущих составных чисел. Упражнение для Altenter: попробуйте это доказать, тут не требуется ничего сложнее факториала (и это уже жирнющая подсказка). А есть гораздо более нетривиальная теорема Эрдёша и Турана, я бы даже не пытался сам ее доказывать. Пусть $\{p_n\}$ – последовательность всех простых чисел в порядке возрастания, $\{d_n\}$ – последовательность разностей соседних простых чисел: $d_n = p_{n+1} - p_n$. Теорема: не существует $n$, начиная с которого последовательность $\{d_n\}$ строго монотонна.

У меня мозг работает по- другому - не приспособлен к системному обучению. Испортил в детстве его чтением романов, фантастики, приключений, детективов научпопа и т.д. Учебники читаю со скоростью приключенческого романа. Но вот только когда читаю рассказ возникают образы, погружение в обстановку, переживание, а когда читаю учебник - пробегают перед глазами значки, буквы, слова, предложения и ни смыслов, ни образов не возникает. Скука-скучная и хочется плакать и спать. Зато когда начинаешь фантазировать про математику, тогда возникает образ, начинаешь его сопоставлять и исследовать, и погружаться в обстановку, и испытывать эффект присутствия, и когда обсуждаешь это и пытаешься сопоставить с тем, что уже известно, понимаешь, что что-то понимаешь, тогда вот это становится интересным и увлекательным.

Anton_Peplov в сообщении #1707561 писал(а):

Altenter в сообщении #1707554 писал(а):

А зачем вообще ввели в терминологию "простых близнецов"?

Затем, что о них можно поставить содержательные математические задачи. Например, если Вы докажете или опровергните, что множество всех пар близнецов конечно, Вы войдете в историю математики. А есть еще пары кузенов - это простые числа, отличающиеся на четверку, например, 7 и 11, 13 и 17. Неизвестно, конечно ли множество всех пар кузенов, и это отдельная проблема, которая не сводится к проблеме близнецов (по крайней мере, насколько сейчас известно). Если Вы решите эту проблему, Вы тоже войдете в историю. Да, таких вопросов можно поставить много. Например, только в 2013 г. было доказано: существует бесконечное множество таких пар различных простых чисел $a, b$, что $a - b < 247$. Был ли с тех пор улучшен этот результат, я не знаю.

А если что-либо из этого докажете Вы, то Вы войдете в историю математики)))

Anton_Peplov в сообщении #1707561 писал(а):

Altenter в сообщении #1707554 писал(а):

Я понял, вы любите когда все разложено по полочкам, шкафчикам строго на своих местах и ничего не смешивается, иначе Вам трудно и это напрягает )

Как бы сказать повежливее. Уважаемый Someone - профессиональный и опытный математик. Он знает, какие "полочки и шкафчики" нужны, чтобы продуктивно заниматься математикой. Мне, например, у него учиться и учиться.

Конечно Someone и уважаемый, и профессиональный, и опытный, и математик. И если Вам у него учиться и учиться, то мне сначала надо учиться у Вас, а потом, может быть, когда-нибудь, если повезет, у него. Но это же путь в никуда. Поэтому, чтобы не идти в никуда, а хотя бы оставаться на месте, то учась у Вас и у Someone, и остальных участников, надо успевать хоть немного учить и всех их))). Должен же быть какой-то баланс.

Anton_Peplov в сообщении #1707561 писал(а):

Вы же, Altenter, пока демонстрируете форуму свою невысокую грамотность в сочетании с высокими претензиями. И если, перефразируя Льва Толстого, рассуждающий о математике человек есть дробь, где его компетентность в числителе, а претензии в знаменателе, то...

Люди всегда недооценивали ноль. Это просто устоявшийся стереотип, сохранившийся в обществе как атавизм)))

-- 29.10.2025, 16:33 --

Skipper в сообщении #1707567 писал(а):

В отличие от других гипотез, истинность которых также может оказаться неодказуемой, мы видим,
что по крайней мере, ложность опровергается одним контрпримером, например та же, гипотеза Гольдбаха.

А вот с фактом, конечное или бесконечное количество простых-чисел близнецов, совсем по-другому.
Тут что истинность, что ложность, или доказывается аналитически, или не доказывается никогда,
если оно недоказуемо, то никто, даже высшая цивилизация в будущем, за миллиарды лет,
никогда об этом не узнает :)

Недоказуемость существует в рамках представлений. В рамках других представлений ее может и не быть. Поэтому не стоит делать поспешных выводов.

[mihaild]

(Оффтоп)

Altenter в сообщении #1707578 писал(а):

У меня мозг работает по- другому - не приспособлен к системному обучению. Испортил в детстве его чтением романов, фантастики, приключений, детективов научпопа и т.д.

Я не уверен, что так бывает. Зато очень часто бывают такие отговорки когда ощущать сопричастность к науке хочется, а прилагать усилия - нет.

Altenter в сообщении #1707578 писал(а):

надо успевать хоть немного учить и всех их

Нет, когда Вы пытаетесь учить какой-то теме людей, разбирающихся в ней лучше Вас, Вы не стоите на месте, а идете назад.

-- 29.10.2025, 15:42 --

Altenter в сообщении #1707578 писал(а):

Недоказуемость существует в рамках представлений

Недоказуемость существует в рамках конкретной теории. Речь про доказуемость, например, в арифметике Пеано или какой-нибудь стандартной теории множеств.

[Altenter]

mihaild в сообщении #1707581 писал(а):

Altenter в сообщении #1707578 писал(а):

У меня мозг работает по- другому - не приспособлен к системному обучению. Испортил в детстве его чтением романов, фантастики, приключений, детективов научпопа и т.д.

Я не уверен, что так бывает. Зато очень часто бывают такие отговорки когда ощущать сопричастность к науке хочется, а прилагать усилия - нет.

Прилагать усилия и насиловать себя - это различные вещи. Я могу просидеть сутками над числами, таблицами последовательностями, если есть интересная задача или исследование, которые меня увлекают, до морального истощения и опустошения. Это ли не прилагать усилия?

mihaild в сообщении #1707581 писал(а):

Altenter в сообщении #1707578 писал(а):

надо успевать хоть немного учить и всех их

Нет, когда Вы пытаетесь учить какой-то теме людей, разбирающихся в ней лучше Вас, Вы не стоите на месте, а идете назад.

Ну почему же, они начинают объяснять, что я неправ и иногда спорить и показывать это, а я тем временем начинаю понимать их точку зрения и часто даже соглашаться, признавая свою неправоту.

-- 29.10.2025, 15:42 --

mihaild в сообщении #1707581 писал(а):

Altenter в сообщении #1707578 писал(а):

Недоказуемость существует в рамках представлений

Недоказуемость существует в рамках конкретной теории. Речь про доказуемость, например, в арифметике Пеано или какой-нибудь стандартной теории множеств.

Речь шла о недоказуемости утверждения о бесконечности простых близнецов никогда и никем, в том числе и представителями более развитых внеземных цивилизаций. А уж о представлениях в рамках которых эта недоказуемость была получена, не говорилось. Вот я и поправил товарища, упомянув как раз про эти рамки.

[Someone]

Altenter в сообщении #1707578 писал(а):

Недоказуемость существует в рамках представлений. В рамках других представлений ее может и не быть. Поэтому не стоит делать поспешных выводов.

Altenter в сообщении #1707584 писал(а):

Речь шла о недоказуемости утверждения о бесконечности простых близнецов никогда и никем, в том числе и представителями более развитых внеземных цивилизаций. А уж о представлениях в рамках которых эта недоказуемость была получена, не говорилось. Вот я и поправил товарища, упомянув как раз про эти рамки.

А это просто глупость. Никакие "представления" в доказательствах не используются. Все теоремы о недоказуемости относятся к формальным системам первого порядка, таким, как арифметика Пеано первого порядка или теория множеств ZFC (или NBG). Причём, доказуемость/недоказуемость существенно зависит от используемой теории. Утверждения, недоказуемые в арифметике Пеано, вполне могут быть доказуемы в ZFC. Например, теорема Гудстейна (найдите в интернете) недоказуема в арифметике Пеано, но легко доказывается в теории множеств.
Сам Пеано сформулировал арифметику как теорию второго порядка.
Математика в целом ни в каком смысле не является формальной системой, поэтому рассуждать о том, что в ней доказуемо, а что нет, совершенно бессмысленно.

[Skipper]

Someone в сообщении #1707598 писал(а):

Математика в целом ни в каком смысле не является формальной системой, поэтому рассуждать о том, что в ней доказуемо, а что нет, совершенно бессмысленно.

В целом, да. Но касательно вопроса, о том, конечное или бесконечное количество простых чисел-близнецов, тут может быть только два ответа- или конечное, или бесконечное, ведь так?
Если же окажется, что это утверждение "недоказуемо в арифметике Пеано", то можно сказать, что оно непостижимо для всех, и для высших цивилизаций тоже.

Натуральные числа и их свойства, это слишком базовая вещь. Если что-то будет доказываться в теории множеств, и ответ о некой гипотезе о натуральных числах будет зависеть, принимаю я например, "аксиому выбора" (тогда верно), или если принимаю какую то другую аксиому (тогда неверно), то так и хочется спросить "а какой аксиоме верить"?

[Altenter]

Someone в сообщении #1707598 писал(а):

Altenter в сообщении #1707578 писал(а):

Недоказуемость существует в рамках представлений. В рамках других представлений ее может и не быть. Поэтому не стоит делать поспешных выводов.

Altenter в сообщении #1707584 писал(а):

Речь шла о недоказуемости утверждения о бесконечности простых близнецов никогда и никем, в том числе и представителями более развитых внеземных цивилизаций. А уж о представлениях в рамках которых эта недоказуемость была получена, не говорилось. Вот я и поправил товарища, упомянув как раз про эти рамки.

А это просто глупость. Никакие "представления" в доказательствах не используются. Все теоремы о недоказуемости относятся к формальным системам первого порядка, таким, как арифметика Пеано первого порядка или теория множеств ZFC (или NBG). Причём, доказуемость/недоказуемость существенно зависит от используемой теории. Утверждения, недоказуемые в арифметике Пеано, вполне могут быть доказуемы в ZFC. Например, теорема Гудстейна (найдите в интернете) недоказуема в арифметике Пеано, но легко доказывается в теории множеств.
Сам Пеано сформулировал арифметику как теорию второго порядка.

Под представлениями подразумевается как раз теория и ряд допущений и отклонений от нее, расширений, которые используются при доказательстве.

Someone в сообщении #1707598 писал(а):

Математика в целом ни в каком смысле не является формальной системой, поэтому рассуждать о том, что в ней доказуемо, а что нет, совершенно бессмысленно.

Именно эту мысль и была сделана попытка донести.

[mihaild]

Skipper в сообщении #1707602 писал(а):

Если же окажется, что это утверждение "недоказуемо в арифметике Пеано", то можно сказать, что оно непостижимо для всех, и для высших цивилизаций тоже

А то, что все черви Беклемишева умирают - это постижимо, или нет?

Skipper в сообщении #1707602 писал(а):

Натуральные числа и их свойства, это слишком базовая вещь

У других цивилизаций легко базовым может быть понятие множества, или вещественного числа (из которых они мучительно вытаскивают натуральные).

[Skipper]

mihaild в сообщении #1707604 писал(а):

А то, что все черви Беклемишева умирают - это постижимо, или нет?

Не разбирался пока с червями Беклемишева, а вот интересный вопрос.
Есть ли гипотезы (математические высказывания и т.п.), из области натуральных чисел,
ответ на которые зависит от того, например, если приму аксиому выбора- то оно верно.
А если не приму, или например приму аксиому счётного выбора,
или аксиому детерминированности- то вот это утверждение будет уже ложным?

Именно вот, чтобы высказывание чисто было. касательно свойств натуральных чисел, другими словами, связано с ними.