Разные вопросы на пути освоения математики

[Neznajka_]

Здравствуйте! Вопрос больше к преподавателям школ/университетов/институтов.
Сейчас у учеников/студентов есть задания, связанные хотя бы с самыми элементарными геометрическими построениями от руки (например, треугольники там подобные построить, или векторы сложить)? Причём чтобы это была не просто формальность, а хоть на что-то (оценка успеваемости, зачёты) влияло?

[Dedekind]

Neznajka_
Векторы точно складывают. И в школе, и в вузе. А если имеются в виду построения циркулем и линейкой - то скорее всего нет, разве что чисто обзорно упоминаются. А к чему вопрос, если не секрет?

[Neznajka_]

Dedekind в сообщении #1705238 писал(а):

Neznajka_
Векторы точно складывают. И в школе, и в вузе. А если имеются в виду построения циркулем и линейкой - то скорее всего нет, разве что чисто обзорно упоминаются. А к чему вопрос, если не секрет?

Т.е. черчения (предмета) либо нету, либо чертежи исключительно на компьютере путём тырканья в менюшки или прописывания координат делают?

Заметил, что у нескольких нынешних (+-) выпускников школ и последующих заведений навыки начертить даже что-то самое простенькое находятся на уровне ниже плинтуса. Стало любопытно т.к. знаю, что даже самые современные издания учебников по геометрии не особо то заметно отличаются от советских, в которых соответствующих заданий полно. Ну вот и решил спросить тут. У меня то выборка крошечная, было б интересно послушать тех, у кого она на порядки больше.

[Dedekind]

Neznajka_ в сообщении #1705256 писал(а):

Т.е. черчения (предмета) либо нету, либо исключительно на компьютере что-то "чертят"?

Черчения нет (разве что какие-то элементы на "Технологи", но это не точно). В учебниках геометрии какие-то задания на построение есть, но они как правило пропускаются.

[Neznajka_]

Dedekind в сообщении #1705258 писал(а):

Neznajka_ в сообщении #1705256 писал(а):

Т.е. черчения (предмета) либо нету, либо исключительно на компьютере что-то "чертят"?

Черчения нет (разве что какие-то элементы на "Технологи", но это не точно). В учебниках геометрии какие-то задания на построение есть, но они как правило пропускаются.

И в мат-школах/лицеях тоже?
Вы преподаватель (действующий), если не секрет?

[Dedekind]

Neznajka_
Преподаю вышку в вузе. По поводу матшкол ничего не могу сказать, не сталкивался.

[Neznajka_]

Здравствуйте. Из книжки, посвящённой разбору ошибок абитуриентов на вступительных экзаменах:



Не уверен, что понимаю сам - в чём претензия к ученику, и какой именно связи он не понимает?
Я бы ответил, что не теряем т.к. решений при $cosx=0$ нету. Ну, по мне это должно быть "и так понятно", но формально можно обосновать основным тригонометрическим тождеством. Например:

$sinx=cosx \Leftrightarrow \begin{cases} sinx=cosx,}\\ sin^2x+cos^2x=1.}\\ \end{cases}$

$cosx=0 \Rightarrow sinx=0 \Rightarrow sin^2x+cos^2x = 0+0 \neq1$, что противоречит заданной системе. Значит - ни синус, ни косинус в данной задаче не равны нулю.

Ученик как-то так должен был ответить?

[Booker48]

Возможно, Автора раздражает сам метод решения.
Лучше использовать эквивалентные преобразования, т.е.
$\sin x - \cos x =0$, откуда $-\sqrt 2 \sin (\frac{\pi}{4} - x) = 0$

[Someone]

Neznajka_ в сообщении #1706449 писал(а):

Не уверен, что понимаю сам - в чём претензия к ученику, и какой именно связи он не понимает?

Собственно, ученик знает, что это уравнение надо разделить на $\cos x$, но не понимает, что это может привести к потере решений, и требуется как-то этого избежать.

Neznajka_ в сообщении #1706449 писал(а):

Я бы ответил, что не теряем т.к. решений при $cosx=0$ нету. Ну, по мне это должно быть "и так понятно"

За "и так понятно" могут снизить оценку, требуется обоснование.

Neznajka_ в сообщении #1706449 писал(а):

но формально можно обосновать основным тригонометрическим тождеством. Например:

$sinx=cosx \Leftrightarrow
\begin{cases}
sinx=cosx,}\\
sin^2x+cos^2x=1.}\\
\end{cases}$

$cosx=0 \Rightarrow sinx=0 \Rightarrow sin^2x+cos^2x = 0+0 \neq1$, что противоречит заданной системе.

Ученик как-то так должен был ответить?

Плохое обоснование.

Обосновать можно, например, так.

Проверим, возможны ли решения с $\cos x=0$. В этом случае из уравнения $\sin x=\cos x$ следует, что и $\sin x=0$, но тогда $\sin^2x+\cos^2x=0$, а это противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому все корни заданного уравнения удовлетворяют условию $\cos x\neq 0$.

Разумеется, существуют другие способы обоснования и другие способы решения, при которых не нужно делить на выражение, которое может обращаться в $0$.

Кстати, если бы оказалось, что есть корни, для которых $\cos x=0$, то мы могли бы найти эти корни, например, из системы $\begin{cases}\cos x=0,\\ \sin x=\cos x,\end{cases}$ а потом написать "теперь предположим, что $\cos x\neq 0$" и спокойно разделить на $\cos x$, потому что корни с $\cos x=0$ мы уже нашли.

P.S. Тригонометрические (и не только тригонометрические) функции кодируются с символом "\": \cos x и \lg x дают $\cos x$ и $\lg x$.

[Neznajka_]

Someone в сообщении #1706451 писал(а):

Neznajka_ в сообщении #1706449 писал(а):

Не уверен, что понимаю сам - в чём претензия к ученику, и какой именно связи он не понимает?

Собственно, ученик знает, что это уравнение надо разделить на $\cos x$, но не понимает, что это может привести к потере решений, и требуется как-то этого избежать.

Neznajka_ в сообщении #1706449 писал(а):

Я бы ответил, что не теряем т.к. решений при $cosx=0$ нету. Ну, по мне это должно быть "и так понятно"

За "и так понятно" могут снизить оценку, требуется обоснование.

Neznajka_ в сообщении #1706449 писал(а):

но формально можно обосновать основным тригонометрическим тождеством. Например:

$sinx=cosx \Leftrightarrow
\begin{cases}
sinx=cosx,}\\
sin^2x+cos^2x=1.}\\
\end{cases}$

$cosx=0 \Rightarrow sinx=0 \Rightarrow sin^2x+cos^2x = 0+0 \neq1$, что противоречит заданной системе.

Ученик как-то так должен был ответить?

Плохое обоснование.

Обосновать можно, например, так.

Проверим, возможны ли решения с $\cos x=0$. В этом случае из уравнения $\sin x=\cos x$ следует, что и $\sin x=0$, но тогда $\sin^2x+\cos^2x=0$, а это противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому все корни заданного уравнения удовлетворяют условию $\cos x\neq 0$.

Чем это от приведённого мною принципиально отличается?

[Mihr]

Отвечая на исходный вопрос: в чём претензия к ученику?
У ученика отсутствует логика изложения. И понимание того, что он вообще делает.
Сначала он делит уравнение на косинус, никак не обосновывая равносильности этого преобразования. Он просто запомнил, что так делать можно, а вот почему можно - этого толком не понимает. "И так понятно", говорите? Не факт, что ученику это действительно понятно.
А уже после того, как он получил уравнение с тангенсом, ученик пишет, что косинус не обращается в ноль, но "объясняет" это не тем, что значения аргумента, обращающие косинус в ноль, не являются решениями исходного уравнения, а... тем, что уравнение содержит тангенс (который он сам же и получил)! То есть, теперь дело выглядит так, будто значения икс, обращающие косинус в ноль, исключаются потому, что они не входят в ОДЗ уравнения. Но это не так: в ОДЗ исходного уравнения они входят, просто не являются решениями. Таким образом, своим первым действием ученик сужает ОДЗ уравнения, не объясняя, почему так сделать можно, а затем продолжает решение, ссылаясь на дополнительное условие, которого не было в исходном уравнении.
Говорит ли это о понимании решения задачи? По-моему, нет. Ученик просто копирует чужую схему решения, удаляя из неё существенное примечание там, где оно действительно было уместно. И добавляя взамен собственное "пояснение", которое неверно по сути да к тому же совершенно излишне.

[Neznajka_]

Mihr в сообщении #1706463 писал(а):

Отвечая на исходный вопрос: в чём претензия к ученику?
У ученика отсутствует логика изложения. И понимание того, что он вообще делает.
Сначала он делит уравнение на косинус, никак не обосновывая равносильности этого преобразования. Он просто запомнил, что так делать можно, а вот почему можно - этого толком не понимает. "И так понятно", говорите? Не факт, что ученику это действительно понятно.
А уже после того, как он получил уравнение с тангенсом, ученик пишет, что косинус не обращается в ноль, но "объясняет" это не тем, что значения аргумента, обращающие косинус в ноль, не являются решениями исходного уравнения, а... тем, что уравнение содержит тангенс (который он сам же и получил)! То есть, теперь дело выглядит так, будто значения икс, обращающие косинус в ноль, исключаются потому, что они не входят в ОДЗ уравнения. Но это не так: в ОДЗ исходного уравнения они входят, просто не являются решениями. Таким образом, своим первым действием ученик сужает ОДЗ уравнения, не объясняя, почему так сделать можно, а затем продолжает решение, ссылаясь на дополнительное условие, которого не было в исходном уравнении.
Говорит ли это о понимании решения задачи? По-моему, нет. Ученик просто копирует чужую схему решения, удаляя из неё существенное примечание там, где оно действительно было уместно. И добавляя взамен собственное "пояснение", которое неверно по сути да к тому же совершенно излишне.

Понятно, согласен.
Однако, на мой взгляд, диалог подан так, как-будто ученику и не дают толком объясниться, и как-будто сам препод пытается ещё больше запутать этого ученика