Возьмём бесконечный одномерный массив
1 2 3 4 5 6...
Насколько корректно говорить, что такой массив эквивалентен множеству всех натуральных чисел?
В целом да, корректно. Если учесть сказанное
mihaild - надо отличать сам массив от множества элементов массива. Множество элементов Вашего массива эквивалентно (равномощно)

.
(Собственно, это и есть само

.)
Вроде как понятно, что например массивы
2 4 6 8 12 14...
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5...
Не эквивалентны этому множеству.
Почему же, они тоже эквивалентны (равномощны). Точнее, опять же, не сами массивы, а множества их элементов. Известное парадоксальное свойство бесконечности - "целое может быть равно своей части".
Перейдём к двумерности. Возьмём бесконечный двумерный массив, элементами которого являются пары чисел:
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)...
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)...
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)...
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)...
...
Этот массив очевидно счётный, его же можно спиралью пронумеровать?
Да, верно. "Змейкой" по диагоналям.
И как вообще работает понятие многомерности для множеств
У множеств никакой размерности нет. Размерность есть у пространств (множеств с дополнительной структурой, например линейной или топологической) - но от обсуждаемых здесь вопросов это далеко. Грубо говоря, в множестве все элементы свалены в кучу, множеству неважно, записаны ли эти элементы одной строкой, или таблицей, или как-то ещё.
можно ли говорить о множестве множеств?
Да. Только не о множестве всех множеств (это противоречивое понятие). А например о множестве множеств, состоящих из натуральных чисел, говорить вполне можно.