2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Объясните понятно про мощности множеств
Сообщение03.10.2025, 15:07 
provincialka в сообщении #1704361 писал(а):
Просто берем какой-то список вещественных чисел и утверждаем, что он неполный.

Ну тогда мы его пополним, занумеруем пополнение и так получим полный :mrgreen:
Так ведь можно было бы нумеровать и рациональные числа: выпишем их представления в десятичной записи, и окажется что любой список неполный.

 
 
 
 Re: Объясните понятно про мощности множеств
Сообщение03.10.2025, 15:09 
provincialka в сообщении #1704361 писал(а):
wrest в сообщении #1704352 писал(а):
приходится предполагать, будто бы нам как-то все-таки удалось их все пронумеровать (какой-то божественной волей мы получили весь список)

Собственно, а зачем предполагать это? Просто берем какой-то список вещественных чисел и утверждаем, что он неполный. Любой список неполный. И всё.


Ну берем список и предполагаем, что он полный, а потом показываем, что есть еще одно число и тем самым по индукции доказываем, что любой список неполный. Т.е. от противного предполагаем.

provincialka в сообщении #1704361 писал(а):
Просто берем какой-то список вещественных чисел и утверждаем, что он неполный. Любой список неполный. И всё.

Вроде утверждать мало и необходимо это доказать. Вот тогда будет "И все".

 
 
 
 Re: Объясните понятно про мощности множеств
Сообщение03.10.2025, 15:14 
Аватара пользователя
wrest в сообщении #1704363 писал(а):
Ну тогда мы его пополним, занумеруем пополнение и так получим полный :mrgreen:
Нет, после этого снова получим неполный. Потому что любой неполный.
wrest в сообщении #1704363 писал(а):
Так ведь можно было бы нумеровать и рациональные числа: выпишем их представления в десятичной записи, и окажется что любой список неполный.
Нет, не окажется. Если Вы имеете в виду, что можно было бы тоже так же привести число, не входящее в список - то для полного списка оно окажется иррациональным.
B3LYP в сообщении #1704348 писал(а):
Попробую так рассуждать. Имеем набор из шести вещественных чисел:

.641732
.916649
.603318
.906649
.554671
.011772

Можно взять диагональ:
.613672

Далее можно построить число, во всех знаках отличающееся от диагонали:
.121111

Понятно что это число отличается от всех шести, т.е. если мы пронумеровали эти шесть чисел натуральными числами от 1 до 6, сейчас я доказал что "оно не пронумеровалось до конца".
Теперь возьмём массив 6*6 из целых чисел от 0 до 9:

641732
916649
603318
906649
554671
011772

Мы их можем пронумеровать 36-ю натуральными числами, от 1 до 36. И пока у меня получается, что такой массив было "сложнее пронумеровать" - элементов потребовалось больше. А вы говорите что такой массив пронумеровать "легче". Извиняюсь, пока собственно всё, у меня просто мысли вслух, может потом ещё какие-то идеи появятся.
Даже если брать конечные десятичные дроби с нулём в целой части и шестью цифрами после запятой, такие как Ваши .641732 и т.д., то Вы пронумеровали далеко не их все (что сами и показали), а только шесть таких чисел. Всего же таких чисел миллион ($10^6$): первая цифра может быть любой из десяти, вторая любой из десяти, ..., шестая любой из десяти. В то же время в массиве $6\times 6$ всего $36$ элементов (в Вашем массиве их даже меньше, потому что есть повторяющиеся, а дубли при нумерации мы не должны учитывать). Миллион больше чем $36$, согласитесь.

Хотя перенос утверждений с конечного случая на бесконечный часто приводит к ошибкам, но тут он работает.

 
 
 
 Re: Объясните понятно про мощности множеств
Сообщение03.10.2025, 16:08 
Mikhail_K

Мне кажется, у вас совсем уже настолько грубо-интуитивный подход что он скорее неверен, и я не исключаю что другие участники ещё вас поправят.
Мне было бы понятно, если бы рассуждение было каким-то таким "при расширении размера массива из вещественных чисел и их точности, количество информации, которое нужно чтобы всё это точно описать, быстрее растёт, чем для двумерного массива из натуральных чисел". Хотя самому мне эта фраза пока ничего не подсказала. Но я привык многие вещи формулировать именно так: например квантовая механика отличается от классической тем, что во второй количество информации, которое нужно чтобы полностью описать систему, пропорционально размеру этой системы, а в первой - экспоненте от размера. А в теории струн вообще экспоненте от экспоненты.

 
 
 
 Re: Объясните понятно про мощности множеств
Сообщение03.10.2025, 16:43 
B3LYP

в отличие от вас, Mikhail_K понимает, что пишет.
У вас ещё остались вопросы по теме?

 
 
 
 Re: Объясните понятно про мощности множеств
Сообщение03.10.2025, 16:49 
Аватара пользователя
B3LYP в сообщении #1704377 писал(а):
Мне кажется, у вас совсем уже настолько грубо-интуитивный подход что он скорее неверен
Если что, я не высказываю тут никаких своих мнений, догадок и т.д., а говорю то, что хорошо знаю.
B3LYP в сообщении #1704377 писал(а):
Мне было бы понятно, если бы рассуждение было каким-то таким "при расширении размера массива из вещественных чисел и их точности, количество информации, которое нужно чтобы всё это точно описать, быстрее растёт, чем для двумерного массива из натуральных чисел".
Вот это и есть грубо-интуитивный подход.

Возможно ещё, что Вы просто путаете несколько понятий между собой.

Множество всех вещественных чисел - несчётное. Это значит, что все вещественные числа нельзя перенумеровать натуральными номерами. Здесь имеется в виду именно множество, включающее все вещественные числа.

Двумерный массив натуральных чисел - не более чем счётный. Это значит, что элементы в таком двумерном массиве (в одном, в любом конкретном) можно перенумеровать натуральными номерами.

Множество всех двумерных массивов натуральных чисел (равно как и одномерных) - конечно, снова несчётное. То есть перенумеровать все такие массивы опять же не получится.

-- 03.10.2025, 16:56 --

Ещё надо понять, что Вы понимаете под "двумерным массивом натуральных чисел".
Если образ некоторого конкретного отображения $\mathbb{N}^2\to\mathbb{N}$ (набор натуральных чисел, уложенных в бесконечную таблицу), то он очевидно не более чем счётный, так как можно пронумеровать вообще все натуральные числа, и тем более те, которые вошли в эту таблицу.
Или Вы понимаете под этим множество $\mathbb{N}^2$ - грубо говоря, множество всех позиций в такой таблице. Оно тоже счётное.

А множество всех возможных отображений $\mathbb{N}^2\to\mathbb{N}$ (т.е. множество способов заполнить бесконечную таблицу натуральными числами) - несчётное.

 
 
 
 Re: Объясните понятно про мощности множеств
Сообщение03.10.2025, 17:11 
Mikhail_K в сообщении #1704386 писал(а):
Двумерный массив натуральных чисел - не более чем счётный. Это значит, что элементы в таком двумерном массиве (в одном, в любом конкретном) можно перенумеровать натуральными номерами.

Множество всех двумерных массивов натуральных чисел (равно как и одномерных) - конечно, снова несчётное. То есть перенумеровать все такие массивы опять же не получится.


А в чем тогда разница между двумерным массивом (бесконечным по обоим индексам) натуральных чисел, и множеством, т.е. одномерным бесконечным массивом, одномерных бесконечных массивов их же? Или моя ошибка в том что множество - это не одномерный бесконечный массив?

 
 
 
 Re: Объясните понятно про мощности множеств
Сообщение03.10.2025, 17:14 
Аватара пользователя
B3LYP в сообщении #1704389 писал(а):
А в чем тогда разница между двумерным массивом (бесконечным по обоим индексам) натуральных чисел, и множеством, т.е. одномерным бесконечным массивом, одномерных бесконечных массивов их же?
Игнорируя неточности (хотя я бы предложил всё же вообще перестать говорить о "массивах", и явно говорить о функциях) - не бывает двумерных массивов, строки которых - все возможные одномерные массивы. А несчетно как раз множество всех возможных одномерных массивов.

 
 
 
 Re: Объясните понятно про мощности множеств
Сообщение03.10.2025, 17:17 
Аватара пользователя
B3LYP
Двумерный массив (каждый конкретный) - включает только некоторые одномерные массивы, а не все возможные. Поэтому в нём и можно пересчитать все элементы, и даже все позиции <это не одно и то же, потому что при разговоре про мощность мы считаем только несовпадающие элементы, а позиции несовпадающие все>. Все строки - тоже можно пересчитать.

Когда мы говорим про несчётность множества одномерных массивов, мы имеем в виду, во-первых, множество, состоящее из всех возможных одномерных массивов (и их слишком много, чтобы перечислить их списком, у Вас не получится перечислить их все и уложить по порядку в двумерный массив); во-вторых, пересчитываем мы при этом не элементы и не позиции, а сами одномерные массивы.

 
 
 
 Re: Объясните понятно про мощности множеств
Сообщение03.10.2025, 17:28 
Mikhail_K в сообщении #1704365 писал(а):
Нет, не окажется. Если Вы имеете в виду, что можно было бы тоже так же привести число, не входящее в список - то для полного списка оно окажется иррациональным.

А... и мы как-то сможем это (иррациональность) доказать используя свойство периодичности десятичной записи рациональных чисел?

 
 
 
 Re: Объясните понятно про мощности множеств
Сообщение03.10.2025, 17:34 
Возьмём бесконечный одномерный массив
1 2 3 4 5 6...
Насколько корректно говорить, что такой массив эквивалентен множеству всех натуральных чисел?
Вроде как понятно, что например массивы
2 4 6 8 12 14...
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5...
Не эквивалентны этому множеству.
Перейдём к двумерности. Возьмём бесконечный двумерный массив, элементами которого являются пары чисел:

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)...
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)...
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)...
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)...
...
Этот массив очевидно счётный, его же можно спиралью пронумеровать?
И как вообще работает понятие многомерности для множеств, можно ли говорить о множестве множеств?

 
 
 
 Re: Объясните понятно про мощности множеств
Сообщение03.10.2025, 17:41 
Аватара пользователя
B3LYP в сообщении #1704396 писал(а):
Насколько корректно говорить, что такой массив эквивалентен множеству всех натуральных чисел?
Ни насколько. Не сказано, что такое "эквивалентность".
В общем предлагаю всё же забыть о массивах, а честно говорить о функциях. Заодно станет видно, что "счетность массива" это что-то странное (да, можно говорить о мощности функции как множества, но это неинтересно, потому что она всегда совпадает с мощностью домена).
"Одномерный массив" - функция, определенная на $\mathbb N$.
"Двумерный массив" - функция, определенная на $\mathbb N \times \mathbb N$.

Множество $\mathbb N \times \mathbb N$ - счетное, именно потому что его можно "пронумеровать спиралью".
B3LYP в сообщении #1704396 писал(а):
И как вообще работает понятие многомерности для множеств
Никак. Размерность - это характеристика отдельной структуры на множестве (как правило, векторного пространства), а не самого множества.
B3LYP в сообщении #1704396 писал(а):
можно ли говорить о множестве множеств?
Можно говорить о множестве, все элементы которого являются множествами. Собственно в стандартной теории множеств других множеств и не бывает.

 
 
 
 Re: Объясните понятно про мощности множеств
Сообщение03.10.2025, 17:49 
Аватара пользователя
B3LYP в сообщении #1704396 писал(а):
Возьмём бесконечный одномерный массив
1 2 3 4 5 6...
Насколько корректно говорить, что такой массив эквивалентен множеству всех натуральных чисел?
В целом да, корректно. Если учесть сказанное mihaild - надо отличать сам массив от множества элементов массива. Множество элементов Вашего массива эквивалентно (равномощно) $\mathbb{N}$.
(Собственно, это и есть само $\mathbb{N}$.)
B3LYP в сообщении #1704396 писал(а):
Вроде как понятно, что например массивы
2 4 6 8 12 14...
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5...
Не эквивалентны этому множеству.
Почему же, они тоже эквивалентны (равномощны). Точнее, опять же, не сами массивы, а множества их элементов. Известное парадоксальное свойство бесконечности - "целое может быть равно своей части".
B3LYP в сообщении #1704396 писал(а):
Перейдём к двумерности. Возьмём бесконечный двумерный массив, элементами которого являются пары чисел:

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)...
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)...
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)...
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)...
...
Этот массив очевидно счётный, его же можно спиралью пронумеровать?
Да, верно. "Змейкой" по диагоналям.
B3LYP в сообщении #1704396 писал(а):
И как вообще работает понятие многомерности для множеств
У множеств никакой размерности нет. Размерность есть у пространств (множеств с дополнительной структурой, например линейной или топологической) - но от обсуждаемых здесь вопросов это далеко. Грубо говоря, в множестве все элементы свалены в кучу, множеству неважно, записаны ли эти элементы одной строкой, или таблицей, или как-то ещё.
B3LYP в сообщении #1704396 писал(а):
можно ли говорить о множестве множеств?
Да. Только не о множестве всех множеств (это противоречивое понятие). А например о множестве множеств, состоящих из натуральных чисел, говорить вполне можно.

 
 
 
 Re: Объясните понятно про мощности множеств
Сообщение03.10.2025, 20:37 
Аватара пользователя
wrest в сообщении #1704395 писал(а):
А... и мы как-то сможем это (иррациональность) доказать используя свойство периодичности десятичной записи рациональных чисел?
Ну, хотя бы тем доказать, что в списке есть все рациональные числа (если список специально составляли так, чтобы все периодические десятичные дроби туда точно попали - это несложно), а построенного числа в списке нет. Значит, оно не рационально.

 
 
 
 Re: Объясните понятно про мощности множеств
Сообщение04.10.2025, 09:40 
Я позже вернусь к теме множеств; и если честно, я не уверен что сейчас это мне так нужно. Дело в том что изначально мне хотелось поизучать пиадические числа, понять как получается что в них ноль больше бесконечности (“Можно гордиться тем что познал наконец Пустоту, гарантировать перерождение с серебряной ложкой во рту”), и мне предложили разобраться с теоремой Островского. Но я сейчас подумал, что может быть тема несчётности вещественных и адических чисел – вообще о другом. Я настороженно отношусь к числам, для задания которых необходимо бесконечное количество информации; люблю цитировать фразу Л. Кронекера “Бог создал целые числа; всё остальное ― дело рук человека”. Кажется логичным, что вся вселенная на глубинном уровне дискретна, и соответственно для её абсолютно точного описания достаточно конечного количества информации.
Мне кажется, полезнее разобрать числа вроде .7986(2514). Их называют периодическими десятичными дробями, и они все рациональны? Соответственно, для адических чисел можно разбирать числа вроде (8156)1753. Их называют периодическими пиадическими числами? Возможно, мне сейчас их будет достаточно.

(Оффтоп)

На всякий случай напомню, что мне давно хочется вывести в пиадических числах сумму Рамануджана:
$1+2+3+4+5+6+7…=-1/12$

 
 
 [ Сообщений: 51 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group