2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Хитрозаряженная пробная частица в гравитационном поле
Сообщение26.09.2025, 01:24 
Аватара пользователя
Баловства ради, запишем действие и уравнение движения пробной частицы массы $m$ в гравитационном поле. Но только не простой частицы, а такой у которой пусть будут вообще все заряды: и электро-слабо-сильный-лептоно-кварковый $Q^{\tt A}_{\tt B}$ для взаимодействия с полем Янга-Миллса ${\mathcal A}^{\tt B}_{{\tt A} \mu}$, и механический момент вращения относительно локальной тетрады $Q^{a}_{b}$ для взаимодействия с тетрадной связностью $\omega^{b}_{a \mu}$, и дирако-спинорный-аля-внутренний-спин $Q^{i}_{j}$ для взаимодействия с дирако-спинорной связностью ${\mathcal S}^{j}_{i \mu}$, и до кучи пусть ещё будет экзотический крученческо-неримановский заряд $Q^{\alpha}_{\beta}$ для взаимодействия с неримановой частью обычной гравитационной связности $\Gamma^{\beta}_{\alpha \mu}$. Слова конечно немного страшные, но в результате получается невероятно простая вещь.

Действие:
$$
S = - \int \left( m \sqrt{g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu}}
+ Q^{\alpha}_{\beta} \Gamma^{\beta}_{\alpha \mu} dx^{\mu}
+ Q^{a}_{b} \omega^{b}_{a \mu} dx^{\mu}
+ Q^{i}_{j} {\mathcal S}^{j}_{i \mu} dx^{\mu}
+ Q^{\tt A}_{\tt B} {\mathcal A}^{\tt B}_{{\tt A} \mu} dx^{\mu}
\right).
$$
Собственное время:
$$
d \tau = \sqrt{g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu}}.
$$
Уравнение движения:
$$
m \left( \frac{d^2 x^{\mu}}{d \tau^2}
+ \frac{1}{2} g^{\mu \nu} \left( \partial_{\alpha} g_{\nu \beta} + \partial_{\beta} g_{\nu \alpha} - \partial_{\nu} g_{\alpha \beta} 
\right) \frac{d x^{\alpha}}{d \tau} \frac{d x^{\beta}}{d \tau}
\right) = g^{\mu \alpha} \left( \partial_{\alpha} U_{\beta} -  \partial_{\beta} U_{\alpha} \right)  \frac{d x^{\beta}}{d \tau}.
$$
В предыдущей формуле $U_{\mu}$ обозначает следующее:
$$
U_{\mu} = Q^{\alpha}_{\beta} \Gamma^{\beta}_{\alpha \mu}
+ Q^{a}_{b} \omega^{b}_{a \mu}
+ Q^{i}_{j} {\mathcal S}^{j}_{i \mu}
+ Q^{\tt A}_{\tt B} {\mathcal A}^{\tt B}_{{\tt A} \mu}.
$$
Собственно, мораль простая: какими бы страшными хитрозарядами ни была оборудована пробная частица, как бы хитро она там где-то ни хитровращалась, а в результате в правой части уравнения движения всё равно стоит самый банальный: $\left( \partial_{\alpha} U_{\beta} -  \partial_{\beta} U_{\alpha} \right)$.

 
 
 
 Re: Хитрозаряженная пробная частица в гравитационном поле
Сообщение26.09.2025, 21:31 
SergeyGubanov

Ваши слова
SergeyGubanov в сообщении #1703266 писал(а):
<...> в результате в правой части уравнения движения всё равно стоит самый банальный: $\left( \partial_{\alpha} U_{\beta} -  \partial_{\beta} U_{\alpha} \right)$
осмелюсь, с извинениями за мою некомпетентность в таких делах, прокомментировать словами: этот результат ожидаемый, поскольку правая сторона линейна по касательному вектору $u^{\beta}=\frac{dx^\beta}{d\tau}.$

Опять же с извинениями (ещё и за то, что пытаюсь выступать как Капитан Очевидность) поясню это так. Равенство $p\cdot p=m^2$ для 4-импульса частицы $p=mu$ означает, какой бы хитрозаряженной частица ни была, что касательный 4-вектор $u$ в каждой точке её мировой линии нормирован на единицу: $$u\cdot u=1$$ Ковариантное дифференцирование этого равенства даёт в правой стороне ноль, а в левой $2u\cdot \frac{Du}{d\tau},$ т.е. $$u\cdot\frac{Du}{d\tau}=0$$ Это означает, что 4-сила $m\frac{Du}{d\tau},$ действующая на частицу из-за присутствия в пространстве-времени каких-то полей, обязана в каждой точке мировой линии "подстраиваться" под касательный вектор (он же 4-скорость частицы) так, чтобы быть ему ортогональной. Если это условие реализуется линейной зависимостью 4-силы от 4-скорости: $$m\frac{Du_{\alpha}}{d\tau}=F_{\alpha\beta}\,\frac{dx^{\beta}}{d\tau}\,,$$ то условие ортогональности $u\cdot\frac{Du}{d\tau}=0$ означает: $$F_{\alpha\beta}\,\frac{dx^{\alpha}}{d\tau}\,\frac{dx^{\beta}}{d\tau}=0$$ Это свёртка тензора $F_{\alpha\beta}$ с симметричным тензором $u_{\alpha}u_{\beta}}=u_{\beta}u_{\alpha}}\,,$ и поскольку она равна нулю, тензор $F_{\alpha\beta}$ обязан быть антисимметричным: $$F_{\alpha\beta}=-F_{\beta\alpha}$$ что и обеспечивается "банально" неким 4-потенциалом $U:$ $$F_{\alpha\beta}=\partial_{\alpha}U_{\beta}-\partial_{\beta}U_{\alpha}$$
В этой схеме устройство полей и зарядов, какими бы хитрыми они ни были, обязано спрятаться в $U;$ рулит не их хитрая специфика, а 4-геометрия пространства-времени.

(Ещё раз извините, если я неверно понял, о какой "банальности" у Вас шла речь, и всё слишком упростил или напутал.)

 
 
 
 Re: Хитрозаряженная пробная частица в гравитационном поле
Сообщение29.09.2025, 00:20 
Аватара пользователя
Если честно, то я хотел узнать реакцию участников форума на правую часть следующей формулы:$$
U_{\mu} = Q^{\alpha}_{\beta} \Gamma^{\beta}_{\alpha \mu}
+ Q^{a}_{b} \omega^{b}_{a \mu}
+ Q^{i}_{j} {\mathcal S}^{j}_{i \mu}
+ Q^{\tt A}_{\tt B} {\mathcal A}^{\tt B}_{{\tt A} \mu}.
$$Как бы очевидно, что она должна быть именно такой, но я её нигде раньше не встречал, просто придумал несколько лет назад.

 
 
 
 Re: Хитрозаряженная пробная частица в гравитационном поле
Сообщение29.09.2025, 00:21 
Аватара пользователя
SergeyGubanov в сообщении #1703639 писал(а):
хотел узнать реакцию участников форума на правую часть следующей формулы
SergeyGubanov в сообщении #1703639 писал(а):
Как бы очевидно, что она должна быть именно такой
Вообще ни разу не очевидно.

 
 
 
 Re: Хитрозаряженная пробная частица в гравитационном поле
Сообщение29.09.2025, 00:37 
Аватара пользователя
Ну как же. Оставим только электродинамику. Тогда:
$$
U_{\mu} = Q A_{\mu}.
$$
Обобщим до Янга Миллса. Тогда:
$$
U_{\mu} = Q^{\tt A}_{\tt B} {\mathcal A}^{\tt B}_{{\tt A} \mu}.
$$
И так далее, добавляем все известные современной теоретической физике калибровочные поля.

 
 
 
 Re: Хитрозаряженная пробная частица в гравитационном поле
Сообщение29.09.2025, 00:57 
Аватара пользователя
Разделим "недоумение" на две части. Если есть некое $A_i$ при $dx^i$, то всяко получится $A_{i,k}-A_{k,i}$. Эта часть не должна вызывать "недоумения". Стало быть оное располагается во второй части, где "практически любой заряд" имеет структуру типа некое $A_i$ помноженное на $dx^i$. Напомнить про тонкую нитевидную связь математики и мельницы?

 
 
 
 Re: Хитрозаряженная пробная частица в гравитационном поле
Сообщение29.09.2025, 10:54 
Аватара пользователя
У меня самого есть претензия к своей же формуле.

Вместо:
$$
F_{\mu \nu} = \partial_{\mu} U_{\nu} - \partial_{\nu} U_{\mu}.
$$
Хочется:
$$
F_{\mu \nu} = Q^{\beta}_{\alpha} R^{\alpha}_{\beta \mu \nu}
+ Q^{b}_{a} \Omega^{a}_{b \mu \nu}
+ Q^{j}_{i} {\mathcal R}^{i}_{j \mu \nu}
+ Q^{\tt B}_{\tt A} {\mathcal F}^{\tt A}_{{\tt B} \mu \nu}.
$$
Здесь $R^{\alpha}_{\beta \mu \nu}$, $\Omega^{a}_{b \mu \nu}$, ${\mathcal R}^{i}_{j \mu \nu}$ и ${\mathcal F}^{\tt A}_{{\tt B} \mu \nu}$ соответствующие 2-формы кривизны (внутри каждого из них есть члены квадратичные по связности).

$$
R^{\alpha}_{\beta \mu \nu}
=
\partial_{\mu} \Gamma^{\alpha}_{\beta \nu}
-\partial_{\nu} \Gamma^{\alpha}_{\beta \mu}
+\Gamma^{\alpha}_{\rho \mu} \Gamma^{\rho}_{\beta \nu}
-\Gamma^{\alpha}_{\rho \nu} \Gamma^{\rho}_{\beta \mu},
$$$$
\Omega^{a}_{b \mu \nu}
=
\partial_{\mu} \omega^{a}_{b \nu}
-\partial_{\nu} \omega^{a}_{b \mu}
+\omega^{a}_{c \mu} \omega^{c}_{b \nu}
-\omega^{a}_{c \nu} \omega^{c}_{b \mu},
$$$$
{\mathcal R}^{i}_{j \mu \nu}
=
\partial_{\mu} {\mathcal S}^{i}_{j \nu}
-\partial_{\nu} {\mathcal S}^{i}_{j \mu}
+{\mathcal S}^{i}_{k \mu} {\mathcal S}^{k}_{j \nu}
-{\mathcal S}^{i}_{k \nu} {\mathcal S}^{k}_{j \mu},
$$$$
{\mathcal F}^{\tt A}_{{\tt B} \mu \nu}
=
\partial_{\mu} {\mathcal A}^{\tt A}_{{\tt B} \nu}
-\partial_{\nu} {\mathcal A}^{\tt A}_{{\tt B} \mu}
+{\mathcal A}^{\tt A}_{{\tt C} \mu} {\mathcal A}^{\tt C}_{{\tt B} \nu}
-{\mathcal A}^{\tt A}_{{\tt C} \nu} {\mathcal A}^{\tt C}_{{\tt B} \mu}.
$$

Собственно вопрос, что я делаю не так?

-- 29.09.2025, 11:41 --

Похоже надо учесть, что вдоль мировой линии заряды сохраняются:
$$\frac{d x^{\mu}}{d \tau} \left( \nabla_{\mu} Q^{\star}_{\star} \right) = 0$$

 
 
 
 Re: Хитрозаряженная пробная частица в гравитационном поле
Сообщение30.09.2025, 01:01 
Аватара пользователя
Вобщем, что-то нескладное придумал. Оно, может, и умно, но больно непонятно.

Для
$$
U_{\mu} = Q^{\alpha}_{\beta} \Gamma^{\beta}_{\alpha \mu}
+ Q^{a}_{b} \omega^{b}_{a \mu}
+ Q^{i}_{j} {\mathcal S}^{j}_{i \mu}
+ Q^{\tt A}_{\tt B} {\mathcal A}^{\tt B}_{{\tt A} \mu}.
$$
Можно обеспечить выполнение следующего равенства
$$
\partial_{\mu} U_{\nu} - \partial_{\nu} U_{\mu} =
Q^{\beta}_{\alpha} R^{\alpha}_{\beta \mu \nu}
+ Q^{b}_{a} {\Omega}^{a}_{b \mu \nu}
+ Q^{j}_{i} {\mathcal R}^{i}_{j \mu \nu}
+ Q^{\tt B}_{\tt A} {\mathcal F}^{\tt A}_{{\tt B} \mu \nu}.
$$
Но только придётся потребовать, чтобы для зарядов выполнялись следующие необычные уравнения:
$$
\left( \partial_{\mu} {Q}^{\beta}_{\alpha} \right) {\Gamma}^{\alpha}_{\beta \nu}
- \left( \partial_{\nu} {Q}^{\beta}_{\alpha} \right) {\Gamma}^{\alpha}_{\beta \mu}
- {Q}^{\beta}_{\alpha} \left( \Gamma^{\alpha}_{\rho \mu} \Gamma^{\rho}_{\beta \nu}
-\Gamma^{\alpha}_{\rho \nu} \Gamma^{\rho}_{\beta \mu} \right) = 0
$$$$
\left( \partial_{\mu} {Q}^{b}_{a} \right) {\omega}^{a}_{b \nu}
- \left( \partial_{\nu} {Q}^{b}_{a} \right) {\omega}^{a}_{b \mu}
- {Q}^{b}_{a} \left( \omega^{a}_{c \mu} \omega^{c}_{b \nu}
-\omega^{a}_{c \nu} \omega^{c}_{b \mu} \right) = 0
$$$$
\left( \partial_{\mu} {Q}^{j}_{i} \right) {\mathcal S}^{i}_{j \nu}
- \left( \partial_{\nu} {Q}^{j}_{i} \right) {\mathcal S}^{i}_{j \mu}
- {Q}^{j}_{i} \left( {\mathcal S}^{i}_{k \mu} {\mathcal S}^{k}_{j \nu}
-{\mathcal S}^{i}_{k \nu} {\mathcal S}^{k}_{j \mu} \right) = 0
$$$$
\left( \partial_{\mu} {Q}^{\tt B}_{\tt A} \right) {\mathcal A}^{\tt A}_{{\tt B} \nu}
- \left( \partial_{\nu} {Q}^{\tt B}_{\tt A} \right) {\mathcal A}^{\tt A}_{{\tt B} \mu}
- {Q}^{{\tt B}}_{\tt A} \left( {\mathcal A}^{\tt A}_{{\tt C} \mu} {\mathcal A}^{\tt C}_{{\tt B} \nu}
-{\mathcal A}^{\tt A}_{{\tt C} \nu} {\mathcal A}^{\tt C}_{{\tt B} \mu} \right) = 0
$$
Кто-нибудь подобное где-нибудь видел?

 
 
 
 Re: Хитрозаряженная пробная частица в гравитационном поле
Сообщение01.10.2025, 10:55 
Аватара пользователя
Если вспомнить, что речь всё же про механику пробной частицы, то предыдущие нескладные формулы пролетает мимо. Не могут в механике фигурировать частные производные от $Q^{\star}_{\star}$.

В механике должны быть уравнения с обыкновенными производными
$$
f\left( \frac{d^2 Q^{\star}_{\star} }{ d \tau^2}, \frac{d Q^{\star}_{\star} }{ d \tau}, \ldots \right) = 0.
$$

 
 
 
 Re: Хитрозаряженная пробная частица в гравитационном поле
Сообщение01.10.2025, 17:05 
Аватара пользователя
Меня всегда дико улыбала незамутнённость данного подхода. Просто возьмём, да и предположим, что наши уравнения допускают частице-подобные решения. Тогда эти самые "частицы" ведут себя так-то и так-то! Не, мы не будем находить их явный вид (потому что после этого окажется, что их тупо нет), а просто предположим...

 
 
 
 Re: Хитрозаряженная пробная частица в гравитационном поле
Сообщение02.10.2025, 15:12 
Аватара пользователя
Со связностью ${\omega}^{a}_{b \mu}$ взаимодействуют такие вращающиеся "пробные частицы" как Луна и Земля в поле Солнца. Так что, для начала можно попытаться разобраться как засунуть ${\omega}^{a}_{b \mu}$ в действие пробной частицы каким-то другим способом чем было сделано в головном сообщении.

Можно попробовать приручить такую штуку:
$$
\frac{D Q^{a}_{b}}{d \tau} =
\frac{d Q^{a}_{b}}{d \tau} + \left( {\omega}^{a}_{c \mu} \frac{d x^{\mu}}{d \tau} \right) Q^{c}_{b}
- Q^{a}_{c} \left( {\omega}^{c}_{b \mu} \frac{d x^{\mu}}{d \tau} \right)
$$

 
 
 
 Re: Хитрозаряженная пробная частица в гравитационном поле
Сообщение03.10.2025, 22:41 
Cos(x-pi/2) в сообщении #1703358 писал(а):
равна нулю, тензор $F_{\alpha\beta}$ обязан быть антисимметричным: $$F_{\alpha\beta}=-F_{\beta\alpha}$$ что и обеспечивается "банально" неким 4-потенциалом $U:$ $$F_{\alpha\beta}=\partial_{\alpha}U_{\beta}-\partial_{\beta}U_{\alpha}$$

Не согласен. Если $dF\neq 0$, где $F=F_{\alpha\beta}dx^\alpha\wedge dx^\beta$, то $F\neq dU$. Из антисимметрии тензора напряжённости нельзя вывести наличия потенциала.

-- Сб окт 04, 2025 00:37:15 --

SergeyGubanov в сообщении #1703266 писал(а):
и электро-слабо-сильный-лептоно-кварковый $Q^{\tt A}_{\tt B}$ для взаимодействия с полем Янга-Миллса ${\mathcal A}^{\tt B}_{{\tt A} \mu}$,

звыняюсь лихо у вас полусается как-то ... да у калибровочных полей поле имеются индексы в векторном, но тензорами (относительно калибровочной группы )они не являются. А заряд у вас тензор - в слое? Или скаляр?

Это я к чему ...А к тому, что если провести калибровочное преобразование над потенциалом - то собственно ничего не изменится в динамике. Откель это в вашем действии следует.

 
 
 
 Re: Хитрозаряженная пробная частица в гравитационном поле
Сообщение04.10.2025, 00:43 
pppppppo_98 в сообщении #1704418 писал(а):
Не согласен.
Согласен. Спасибо за это замечание.

(То моё сообщение конечно не является выводом обязательного наличия потенциала $U_{\alpha}.$ Топикстартеру сразу никто не ответил, и я мимоходом (и с извинениями за то, что вмешиваюсь) просто попытался высказать свои эмоции оттого, что увидел нечто чуть-чуть мне знакомое: мол, $\partial_{\alpha}U_{\beta}-\partial_{\beta}U_{\alpha}$ это антисимметричный тензор, а в таком уравнении движения частицы и должен быть какой-то антисимметричный тензор. Да, сожалею, что я написал тот оффтоп. Продолжать его не буду; эта тема вообще мне "не по Сеньке шапка".)

 
 
 
 Re: Хитрозаряженная пробная частица в гравитационном поле
Сообщение04.10.2025, 19:01 
Аватара пользователя
pppppppo_98 в сообщении #1704418 писал(а):
звыняюсь лихо у вас полусается как-то ... да у калибровочных полей поле имеются индексы в векторном, но тензорами (относительно калибровочной группы )они не являются. А заряд у вас тензор - в слое? Или скаляр?

Это я к чему ...А к тому, что если провести калибровочное преобразование над потенциалом - то собственно ничего не изменится в динамике. Откель это в вашем действии следует.
Вы совершенно правы. В головном сообщении действие записано неверно. Я пока ещё не придумал как записать правильно.

-- 04.10.2025, 19:21 --

Пока в голову лезет только что-то вроде вот такого:
$$
D_{\tau} Q^{a}_{b} = \frac{d Q^{a}_{b}}{d \tau} + \left( {\omega}^{a}_{c \mu} \frac{d x^{\mu}}{d \tau} \right) Q^{c}_{b}
- Q^{a}_{c} \left( {\omega}^{c}_{b \mu} \frac{d x^{\mu}}{d \tau} \right)
$$
$$
S = - m \int \sqrt{ g_{\mu \nu} \frac{d x^{\mu}}{d \tau}  \frac{d x^{\nu}}{d \tau} 
+ \left( D_{\tau} Q^{a}_{b} \right) \left( D_{\tau} Q^{b}_{a} \right)
} \, d \tau
$$

 
 
 
 Re: Хитрозаряженная пробная частица в гравитационном поле
Сообщение05.10.2025, 00:55 
Аватара пользователя
Удалось найти наипростейший вариант минимальной модификации действия из головного сообщения, так что оно становится калибровочно инвариантным. Просто вместо одного заряда второго ранга $Q^{a}_{b}$ надо ввести два заряда первого ранга $\bar{Q}^{a}$ и ${Q}_{b}$:
$$
D_{\tau} \bar{Q}^{a} = \frac{d \bar{Q}^{a}}{d \tau} + \omega^{a}_{b \mu} \frac{d x^{\mu}}{d \tau} \bar{Q}^{b},
$$
$$
D_{\tau} {Q}_{b} = \frac{d {Q}_{b}}{d \tau} - \omega^{a}_{b \mu} \frac{d x^{\mu}}{d \tau} {Q}_{a},
$$
$$
\left( D_{\tau} \bar{Q}^{a} \right) {Q}_{a} - \bar{Q}^{a} \left( D_{\tau} {Q}_{a} \right)
= \frac{ d \bar{Q}^{a} }{d \tau} {Q}_{a} - \bar{Q}^{a} \frac{ d Q_{a} }{ d \tau}
+ 2 \bar{Q}^{b} {Q}_{a} \omega^{a}_{b \mu} \frac{d x^{\mu}}{d \tau},
$$
$$
S = - \int \left( m \sqrt{ g_{\mu \nu} \frac{d x^{\mu}}{d \tau} \frac{d x^{\nu}}{d \tau}}
+ \frac{1}{2} \left( \left( D_{\tau} \bar{Q}^{a} \right) {Q}_{a} - \bar{Q}^{a} \left( D_{\tau} {Q}_{a} \right) \right) \right) d \tau.
$$
Для всех остальных связностей тоже самое выписывается аналогично: $Q^{\star}_{\star}$ заменяем на $\bar{Q}^{\star}$ и $Q_{\star}$.

-- 05.10.2025, 01:18 --

Уравнения динамики зарядов $\bar{Q}^{a}$ и ${Q}_{a}$ очень простые, заряды ковариантно сохраняются вдоль мировой линии
$$
\frac{\delta S}{\delta \bar{Q}^{a}} = 0 \quad \to \quad D_{\tau} Q_{a} = 0,
$$
$$
\frac{\delta S}{\delta {Q}_{a}} = 0 \quad \to \quad D_{\tau} \bar{Q}^{a} = 0.
$$
Можно конечно добавить в действие член $\frac{1}{\lambda} \bar{Q}^{a} Q_{a}$ динамика чуток поинтереснее станет...

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group