Количество слагаемых в разложении степени двучлена

[cxzbsdhwert]

Someone в сообщении #1698763 писал(а):

А что Вы будете делать, если понадобится подсчитать, сколько будет слагаемых в $(a_1+a_2+\ldots+a_m)^n$, если раскрыть скобки и не приводить подобные члены?

Общие соображения которые я привёл легко распространяются на произвольный многочлен (собственно, потому что соображения-то - общие, то есть для любых случаев подойдут): если многочлен из $m$ членов возводится в натуральную степень $n$, то для подсчёта не приведённых слагаемых при раскрытии такого многочлена нужно рассматривать такое раскрытие как расположение $mn$ элементов по $n$ местам без повторений (а точнее без задействования членов из скобки, один из членов которой уже был задействован) и без учёта порядка.
Тогда в формуле, которую я написал нужно просто двойку заменить на $m$:

$$\frac{mn(mn-m)(mn-2m)...(mn-(n-1)m)}{n!}$$

Что в итоге всё-также сводится к $m^n$. Только это объясняет откуда это $m^n$ берётся.

Someone в сообщении #1698763 писал(а):

мгновенно дают результат.

Да мне и не нужен мгновенный результат, я не тороплюсь. Мне хочется разобраться настолько фундаментально, насколько возможно, и насколько у меня будет желание.

[Someone]

cxzbsdhwert в сообщении #1698807 писал(а):

Да мне и не нужен мгновенный результат, я не тороплюсь. Мне хочется разобраться настолько фундаментально, насколько возможно, и насколько у меня будет желание.

И поэтому едете из Санкт-Петербурга в Москву через Владивосток. Впрочем, это ваше личное дело.

[cxzbsdhwert]

Someone в сообщении #1698824 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1698807 писал(а):

Да мне и не нужен мгновенный результат, я не тороплюсь. Мне хочется разобраться настолько фундаментально, насколько возможно, и насколько у меня будет желание.

И поэтому едете из Санкт-Петербурга в Москву через Владивосток. Впрочем, это ваше личное дело.

Если по такой аналогии, то - ехать из одного населённого пункта в другой близлежащий через третий, находящийся существенно дальше - в рамках путешествия. Зачем же делать путешествие короткое, когда есть время, средства и желание? Так что аналогия всё равно не работает.
И уж тем более не работает, потому что для получения удовольствия от математики, в отличии от получения удовольствия от путешествий материальные средства и всё остальное не нужно - нужно только желание.

[Someone]

cxzbsdhwert в сообщении #1698829 писал(а):

Так что аналогия всё равно не работает.

Мне интересно, как будет выглядеть ваша формула, если у нас произведение нескольких скобок, в скобках суммы разного количества слагаемых, причём, некоторые слагаемые в разных скобках могут быть одинаковые, некоторые разные… Что-нибудь типа $(a+b+c+f)(c+e+d)(k+f+e+m+p)…$ С объяснением, почему она именно такая. Интересно было бы посмотреть на ваши рассуждения.

[cxzbsdhwert]

Someone в сообщении #1698913 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1698829 писал(а):

Так что аналогия всё равно не работает.

Мне интересно, как будет выглядеть ваша формула, если у нас произведение нескольких скобок, в скобках суммы разного количества слагаемых, причём, некоторые слагаемые в разных скобках могут быть одинаковые, некоторые разные… Что-нибудь типа $(a+b+c+f)(c+e+d)(k+f+e+m+p)…$ С объяснением, почему она именно такая. Интересно было бы посмотреть на ваши рассуждения.

Извините за поздний ответ.
1) Во-первых Ваш вопрос нерелевантен теме (предмету изначальной публикации). Тема посвящена возведению в степень двучлена. Возведение в степень это операция умножения величин самих на себя, а не на разные, как у Вас. Ладно ещё Вы попросили распространить соображения на возведение в степень многочлена произвольной длины, но это уже просто "не по теме".

2) Тем не менее, отвечая на Ваш вопрос "как?": да ровно также - соображения те же.
Для определения числа не приведённых слагаемых при разложении $(a+b+c+f)(c+e+d)(k+f+e+m+p)…$, необходимо умножение таких скобок рассматривать как размещение числа элементов равного суммарному числу членов во всех скобах (не важно повторяются ли они или нет, они и для возведения в степень скобки повторялись, это не важно), по числу мест, равному числу скобок; без повторений в рамках одной скобки и без учёта порядка.

2.1) Ну а чтобы конкретную формулу Вам предоставить, Вы должны сформулировать что означает троеточие в конце Вашего примера, с учётом того, что, как Вы словесно сформулировали, там могут быть произвольные многочлены. Формула, которую предъявил я, при этом, полагаю, любой другой не проигрывает, поскольку любая другая также с такой неопределённостью "совладать" не сможет - нужно будет больше конкретики.
Это что касается математической формулы. А словесно, Вы наверное заявите, Ваше "простое" решение сформулировать можно: "возвести в степень равную числу многочленов, число членов из всех многочленов".
Ну так и моё сформулировано словесно, только опять-таки с предоставлением понимания "что откуда берётся". То есть и тут такой подход "не проигрывает".

[Someone]

cxzbsdhwert в сообщении #1699472 писал(а):

Вы должны сформулировать что означает троеточие в конце Вашего примера

Подразумевалось произведение произвольного конечного числа скобок с произвольным конечным числом слагаемых произвольного вида в каждой скобке.

Стандартный вывод состоит либо в применении основного принципа комбинаторики (часто называется правилом произведения или ещё как-нибудь в этом роде), который сразу даёт результат $m_1\cdot m_2\cdot m_3\cdot\ldots\cdot m_n$, где $m_k$ — количество слагаемых в $k$-й скобке, либо индуктивный вывод той же формулы, если этот принцип не используется. Без всяких размещений. На что Вам и намекали. Тем более, что количество размещений вычисляется как раз с использованием этого принципа.