Комбинаторика (тема переименована)

[waxtep]

Geen в сообщении #1697811 писал(а):

Простите?

Тут ловушка: пусть слева сумма квадратов $130$, а справа $128$ (просто какие-то числа для примера). Вычтя из большего числа меньшее, получим остаток $2$, а вычтя из большего остатка меньший - $1$. По крайней мере, я именно так лопухнулся

-- 13.08.2025, 19:09 --

Combat Zone в сообщении #1697812 писал(а):

Переход к модулю 3 не сохраняет неравенство.

Я точно лопухнулся в расчете

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1697814 писал(а):

Когда перешли к остаткам - потеряли эту информацию, что из чего вычитать не ясно.

Именно! И тут начинается хардкор...
Просто будет только для нуля в обеих суммах. Вот вероятность нуля можно посчитать и на бумажке (ну как... можно записать в биномиальных коэффициентах, по крайней мере).

[Dan B-Yallay]

EUgeneUS в сообщении #1697801 писал(а):

Вы вообще читаете, что написано?

А что у вас там такого нечитаемого написано? Что понимается под "возиться с двойками"? Переприсвоить им значение 1 ?

Да, возможно идея и не сработала. Но ее сначала надо было хотя бы понять.

[EUgeneUS]

Dan B-Yallay в сообщении #1697818 писал(а):

А что у вас там такого нечитаемого написано? Что понимается под "возиться с двойками"? Переприсвоить им значение 1 ?

Это уже утомительно.
Читайте до просветления, что было написано уважаемым Geen.
Просветление - это такое состояние, когда Вы прочитаете, что написано. А не то, что Вы думаете, что написано.

(Оффтоп)

Бывает, наверное, со всеми, когда читается ожидаемое, а не написанное.
И я на этом капкане облажался прямо в этой теме, например.
Но упорствовать в подобных заблуждениях - это уже мощно, можно сказать, потужно.

[Geen]

EUgeneUS в сообщении #1697814 писал(а):

Нам нужно вычитать из большей суммы квадратов меньшую сумму квадратов.

Да, спасибо.

[mihaild]

Точный ответ: из 9075135300 вариантов, 3151748880 с остатком 0, 2783835712 с остатком 1, 3139550708 с остатком 2. Вероятности 0.34729497421377287, 0.3067541827172538, 0.34595084306897333 соответственно. Соображений, из которых их можно как-то разумно оценить без машины, не вижу.

EUgeneUS в сообщении #1697801 писал(а):

Исходя из равной вероятности симметричных раскладов.

А где симметрия? Если переставить половины колоды, то остаток останется как был, а не поменяет знак.

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1697834 писал(а):

А где симметрия?

Уже нету никакой симметрии. Разобрались выше, что я неверно трактовал условия.

[wrest]

Ну раз пошла такая пьянка, то вот вычисление количества комбинаций (авторства Gemini)

1. exact_counts() = 
2. {  N = vector(3, k, 0); 
3.   for (a=0,4, 
4.     for (b=0,4, 
5.       for (c=0,4, 
6.         for (d=0,4, 
7.           for (e=0,16, 
8.             f = 18 - (a+b+c+d+e); 
9.             if (f<0 || f>4, next); 
10.  
11.             W = binomial(4,a)*binomial(4,b)*binomial(4,c)* 
12.                 binomial(4,d)*binomial(16,e)*binomial(4,f); 
13.  
14.             D = (2*a-4)*36 + (2*b-4)*49 + (2*c-4)*64 + 
15.                 (2*d-4)*81 + (2*e-16)*100 + (2*f-4)*121; 
16.  
17.             R = (abs(D) % 3); 
18.             N[R+1] += W; 
19.   ))))); 
20.  
21.   return(N); 
22. } 

? print(exact_counts())
[3151748880, 2783835712, 3139550708]
time = 35 ms.
?

Ну и, для устрашения:

$$ N_r \;=\; \sum_{\substack{0 \le a,b,c,d,f \le 4 \\ 0 \le e \le 16 \\ a+b+c+d+e+f=18 \\ \left|\sum_{t=1}^6 (2x_t - m_t)v_t \right| \equiv r \ (\mathrm{mod}\ 3)}} \binom{4}{a}\,\binom{4}{b}\,\binom{4}{c}\,\binom{4}{d}\,\binom{16}{e}\,\binom{4}{f} $$

где
$m = (4,4,4,4,16,4)$ — общее количество карт каждого типа,
$v = (36,49,64,81,100,121)$ — квадраты номиналов.
$x = (a,b,c,d,e,f)$ -- количества карт разных типов в первой половине колоды.

"Упрощенная" но тоже страшненькая сумма:

$$ N_r = \sum_{k=0}^8 \binom{8}{k} \sum_{\substack{b_1+b_2+b_3+b_4 = 18-k \\ 0 \le b_1 \le 4,\ 0 \le b_2 \le 4,\ 0 \le b_3 \le 16,\ 0 \le b_4 \le 4 \\ |\cdots| \bmod 3 = r}} \binom{4}{b_1}\,\binom{4}{b_2}\,\binom{16}{b_3}\,\binom{4}{b_4} $$

где в условии $|\cdots|\bmod 3 = r$ мы подставляем

$$ \cdots = (2b_1 - 4) + (2b_2 - 4) + (2b_3 - 16) + (2b_4 - 4) \quad \bmod 3 $$

(т.к. все эти типы имеют $v_t \equiv 1$ по модулю 3).

Ну и совсем "простая" формула для вероятности нуля:

$$p_0=\dfrac{\binom{28}{11}\binom{8}{7}+\binom{28}{14}\binom{8}{4}+\binom{28}{17}\binom{8}{1}}{\binom{36}{18}} $$

[scientes]

Спасибо за обсуждение. Делал расчеты в Maxima. Для 0 результат сошелся. Для 1 и 2 нет.

f():=block([i,count],
    s:[0,0,0],    
    total:binomial(36,18),
    up:8,
    for i:0 thru up do{
            /* количество вариантов 
             i карт  со стоимостью  0 
             18-i карт со стоимостью 1
              стоимость комбинации 18-i 
              стоимость противоположной комбинации 28-18+i=10+i
              их разница 8- 2i=9-(2i+1). 
              9 делится на 3 поэтому оставляем 2i+1
        */
            j:mod(2*i+1,3)+1,
            s[j]:s[j]+binomial(up,i)*binomial(36-up,18-i)
     },
    print(total-sum(s[k],k,1,3)),
    s
)$

[Ende]

scientes
Тема переименована, дабы меньше привлекать спам-ботов.
Приношу извинения за неудобства.

[scientes]

Еще раз посмотрел результаты. Для остатков 1 и 2 получаются симметричные выражения, поэтому для них количество вариантов одинаковые.

[mihaild]

scientes
У Вас та же ошибка, что обсуждалась выше. Нельзя заменять карты остатками по модулю 3.

[wrest]

scientes в сообщении #1697877 писал(а):

Для остатков 1 и 2 получаются симметричные выражения, поэтому для них количество вариантов одинаковые.

А то, что это не соответствует реальности (например результатам честного численного моделирования, с честным суммированием квадратов номиналов карт, а не остатков от деления их на 3), вас не смущает?

[scientes]

Я перебираю остатки от деления на 3 не номиналы карт , а их квадраты .Остатки будут либо 0, либо 1. Об этом уже говорили в этой теме. Если из колоды убрать 6 и 9, то для любых раскладов искомая разность будет делиться на 3.

[mihaild]

scientes в сообщении #1697889 писал(а):

Я перебираю остатки от деления на 3 не номиналы карт , а их квадраты

Это как раз неважно.

scientes в сообщении #1697634 писал(а):

Из большей суммы вычитают меньшую

На равенство остатка нулю не влияет, когда сравнивать суммы (какая большая, какая меньшая). А вот на равенство 1 или 2 - влияет. Пример выше.

waxtep в сообщении #1697815 писал(а):

пусть слева сумма квадратов $130$, а справа $128$ (просто какие-то числа для примера). Вычтя из большего числа меньшее, получим остаток $2$, а вычтя из большего остатка меньший - $1$.