Предположения на счет распространения простых чисел

[Soul Friend]

так тривиально же, как вы сами писали, формулы заданы (ассимптотические), подставляете нужное вам число (1000) вместо $n$ и вычисляете $\Delta (n)$

[Батороев]

Yadryara в сообщении #1695234 писал(а):

я прочитал. Но мне не всё понятно

Мне тоже.

Soul Friend
Я правильно расписываю Ваши выкладки?
Допустим, $n=500$.
Тогда $p_{500} = 3571$
$\pi (p_{n}+n)=\pi (3571+500)=\pi (4071)=560$
$\pi(p_{n}+n)-n=560-500=60$

[Soul Friend]

Батороев в сообщении #1695238 писал(а):

$\pi(p_{n}+n)-n=560-500=60$

Здесь должно быть $\pi(p_{n}+n)-\pi(n)$
Далее приводится ассимптотическая формула такого $\Delta(n)$ что $\pi(n)=\pi(p_{n}+\Delta(n))-\pi(n)$

$$ \boxed{ \Delta(n) \approx n \left(1 + \frac{\log\log n}{\log n}\right) } $$

для $n=1000 \Rightarrow \Delta(n) \approx 1280$

[Батороев]

Soul Friend в сообщении #1695239 писал(а):

Здесь должно быть $\pi(p_{n}+n)-\pi(n)$

В данном случае порядковый номер простого отражает количество простых.
$\pi_{n}=n$
Поэтому у RIP'a все то же самое.

[Soul Friend]

$\pi(n) \neq n$
Понятно что можно взять и $\Delta (n) = n$ , но смысл это найти приближенную или равной реальному значению.

[Батороев]

Soul Friend
Извиняюсь, ошибся в написании. Должен был записать: $\pi(p_{n)}=n$

[wrest]

Yadryara в сообщении #1695226 писал(а):

Объясните пожалуйста, вы здесь что-то новое обсуждаете? Прошу меня извинить, но у меня пока ощущение, что это тривиальные вещи.

Обсуждают скорость роста $\pi(n)$
Почему-то не хотят просто продифференцировать и получить $\pi'(n)\approx \dfrac{\ln(n)-1}{\ln^2(n)}$

[Soul Friend]

wrest
Скорее попытка поиска шаблона для нахождения количества простых на интервале.

[Yadryara]

wrest в сообщении #1695245 писал(а):

Обсуждают скорость роста $\pi(n)$

Но скорость роста $\pi(n)$ была известна ещё миллиард лет назад — ТРПЧ была дважды доказана в 1896-м.

И об этом, кстати, написано в том числе и в той книге, которую Вы, надеюсь, уже прочитали.

[mihaild]

Soul Friend в сообщении #1695246 писал(а):

Скорее попытка поиска шаблона для нахождения количества простых на интервале

А из инструментов - только теорема о распределении простых чисел?
Тогда непонятно, что интересного можно было бы сказать. Ну кроме как посложнее записать интервал.

[Батороев]

Yadryara в сообщении #1695247 писал(а):

Но скорость роста $\pi(n)$ была известна ещё миллиард лет назад — ТРПЧ была дважды доказана в 1896-м.

И об этом, кстати, написано в том числе и в той книге, которую Вы, надеюсь, уже прочитали.

Здесь, по-видимому, другой вид "спорта": определить минимальный интервал, на котором должно быть, хотя бы одно простое число.

[mihaild]

Батороев в сообщении #1695249 писал(а):

определить минимальный интервал, на котором должно быть, хотя бы одно простое число

Это называется prime gap ($g_n = p_{n + 1} - p_n$). Теорема о распределении говорит всего лишь что $\forall \varepsilon \forall^\infty n: g_n < \varepsilon \cdot p_n$. Насколько я понимаю, лучший из имеющихся результатов позволяет заменить неравенство на $g_n < p_n^a$ для некоторого конкретного $a$, чуть большего $1/2$.

[Soul Friend]

mihaild
В общем конечно, да. А что имеется кроме ТРЧП, которая доказывает лишь ассиптотическое распределение.

[wrest]

Yadryara в сообщении #1695247 писал(а):

Но скорость роста $\pi(n)$ была известна ещё миллиард лет назад — ТРПЧ была дважды доказана в 1896-м.

Ну да. Моё понимание этой темы такое же как ваше:

Yadryara в сообщении #1695226 писал(а):

Прошу меня извинить, но у меня пока ощущение, что это тривиальные вещи.

[Батороев]

mihaild в сообщении #1695250 писал(а):

Насколько я понимаю, лучший из имеющихся результатов позволяет заменить неравенство на $g_n < p_n^a$ для некоторого конкретного $a$, чуть большего $1/2$.

Форумчане приводили мне такое значение интевала:

waxtep в сообщении #1614569 писал(а):

В английской вики в статье про постулат Бертрана приведено еще несколько конкретных $\epsilon$, например $\epsilon(n)=\dfrac1{5000\ln^2n}, n_0=468991632$. В общем, это вполне законный спорт