Предположения на счет распространения простых чисел

[Soul Friend]

1) Для всех $ n \in N $ существует хотябы одно простое число $p$ в промежутке от $prime(n)$ до $prime(n)+n+1$

2) Для всех $ n \geqslant 2 \in N $ количество простых чисел в интервале от $prime(n)$ до $prime(n)+n+1$ не превосходит $primepi(n)$

3) Отношение $ \frac{primepi(n)}{ lengthPrimes(prime(n), prime(n)+n+1) } \approx 1.5 $ для больших $n$

(код Python)

from sympy import primerange, prime, primepi
import matplotlib.pyplot as plt

# Вычисление отношения primepi(n) / count(primes(prime(n), prime(n)+n+1)) от n=1 до 1000
ratios = []
n_values = list(range(1, 1001))

for n in n_values:
    pi_n = primepi(n)
    p = prime(n)  # n-е простое число
    prime_range = list(primerange(p, p + n + 1))  # простые в диапазоне [p, p + n + 1)
    count_in_range = len(prime_range)
    ratio = pi_n / count_in_range if count_in_range > 0 else 0
    ratios.append(ratio)

# Построение графика
plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.plot(n_values, ratios, label='primepi(n) / count(primes(prime(n), prime(n)+n+1))', color='teal')
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('Отношение')
plt.title('Отношение primepi(n) / количества простых в [prime(n), prime(n)+n+1)')
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

PS: Продолжил вычисления до $n=50000$ , отношения меньше $ < 1.5 $

[Soul Friend]

Интересно, в каком динамическом диапазоне от $n$ количество простых чисел почти будет почти равна $primepi(n)$ ?

[mihaild]

Напишите определения всех функций. Догадаться можно, но не очевидно.
И стандартно $n$-е простое число обозначается $p_n$, а число простых чисел, не превосходящих $n$ - $\pi(n)$.

[Soul Friend]

такое $\Delta (n)$ что удовлетворяет равенству $\pi (n) = \pi (p_n + \Delta (n)) - \pi (p_n)$
предположу

$$ \boxed{ \Delta(n) \approx n \left(1 + \frac{\log\log n}{\log n}\right) } $$

PS:
можно рассмотреть любую другую функцию от $n$ и найти для него соответствующий $\Delta (n)$ .

[Soul Friend]

Можно обобщить, задав функцию $\Delta_k(n)$ такую, что:

$$ \pi (n) = \pi ( p_n + \Delta_k(n) ) - \pi(p_n - k) $$

(LaTeX статья)

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath, amssymb, geometry, hyperref}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fourier}
\title{О функции $\Delta(n)$, отражающей симметричную плотность простых чисел}
\author{Jandos Mambetali}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle

\section*{Аннотация}
В данной заметке вводится и исследуется функция $\Delta(n)$, удовлетворяющая соотношению:
\[
\pi(n) = \pi(p_n + \Delta(n)) - \pi(p_n),
\]
где $p_n$ --- $n$-е простое число, а $\pi(x)$ --- функция распределения простых чисел. Мы предлагаем приближение:
\[
\boxed{
\Delta(n) \approx n \left(1 + \frac{\log\log n}{\log n} \right)
}
\]
и обсуждаем возможную научную ценность и направления обобщения.

\section{Введение}
Классические функции аналитической теории чисел, такие как функция распределения простых $\pi(n)$ и $n$-е простое число $p_n$, широко исследованы. Мы предлагаем новый способ их взаимосвязи, определяя функцию $\Delta(n)$ как длину интервала, следующего за $p_n$, в котором содержится столько же простых чисел, сколько в интервале от $1$ до $n$.

\section{Определение}
Определим $\Delta(n)$ следующим образом:
\begin{equation}
\pi(n) = \pi(p_n + \Delta(n)) - \pi(p_n)
\end{equation}
Иными словами, отрезок длиной $\Delta(n)$, начинающийся в точке $p_n$, содержит столько же простых чисел, сколько и отрезок от $1$ до $n$.

\section{Асимптотическая оценка}
Из аппроксимации $p_n \sim n \log n$ и $\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}$ следует, что длина отрезка, содержащего $n$ простых чисел вблизи $p_n$, приближённо равна:
\begin{equation}
\Delta(n) \approx n \left(1 + \frac{\log\log n}{\log n} \right)
\end{equation}
Данная формула основана на плотности простых чисел в окрестности $p_n$ и поправке второго порядка.

\section{Численные примеры}
Для различных значений $n$ функция $\Delta(n)$ показывает хорошую сходимость:
\begin{itemize}
    \item $n = 100$: $\Delta(100) \approx 100(1 + \frac{\log\log 100}{\log 100}) \approx 100(1 + \frac{\log 4.6}{\log 100})$
    \item $n = 1000$: аналогично, оценка увеличивается логарифмически.
\end{itemize}

\section{Научная ценность и обобщения}
Предлагаемый подход представляет интерес, поскольку он предлагает новый способ сопоставления плотности простых чисел в разных участках числовой прямой. Это может быть полезно в исследованиях, связанных с равномерностью распределения простых, теоремой Бруна–Тичмарша и теорией интервалов с заданным числом простых.

Возможные направления дальнейших исследований:
Обобщением данной идеи является введение функции $\Delta_k(n)$, определяемой как длина интервала, следующего за $p_n$, содержащего $k$-кратное количество простых чисел по сравнению с интервалом $[1, n]$. То есть, пусть:
\[
\pi(p_n + \Delta_k(n)) - \pi(p_n) = k \cdot \pi(n)
\]
Тогда при $k = 1$ восстанавливается исходная функция $\Delta(n)$. Такое обобщение позволяет изучать поведение плотности простых на более длинных масштабах и может быть использовано для анализа кластеров простых чисел и их глобального распределения. Асимптотически можно ожидать:
\[
\Delta_k(n) \approx k \cdot n \left(1 + \frac{\log\log n}{\log n} \right)
\]
что требует дальнейшего теоретического обоснования и численного подтверждения.

\begin{itemize}
    \item Обобщение $\Delta_k(n)$ с добавлением параметров;
    \item Статистическое распределение $\Delta(n)$ при больших $n$;
    \item Численные оценки и графики.
\end{itemize}

\section{Заключение}
Функция $\Delta(n)$ может стать новым инструментом в исследовании распределения простых чисел. Она отражает "симметрию" плотности простых относительно $n$ и $p_n$ и может иметь как теоретическую, так и прикладную ценность.

\end{document}

[Soul Friend]

Soul Friend в сообщении #1695140 писал(а):

Можно обобщить, задав функцию $\Delta_k(n)$ такую, что:

$$ \pi (n) = \pi ( p_n + \Delta_k(n) ) - \pi(p_n - k) $$

(LaTeX статья)

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath, amssymb, geometry, hyperref}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fourier}
\title{О функции $\Delta(n)$, отражающей симметричную плотность простых чисел}
\author{Jandos Mambetali}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle

\section*{Аннотация}
В данной заметке вводится и исследуется функция $\Delta(n)$, удовлетворяющая соотношению:
\[
\pi(n) = \pi(p_n + \Delta(n)) - \pi(p_n),
\]
где $p_n$ --- $n$-е простое число, а $\pi(x)$ --- функция распределения простых чисел. Мы предлагаем приближение:
\[
\boxed{
\Delta(n) \approx n \left(1 + \frac{\log\log n}{\log n} \right)
}
\]
и обсуждаем возможную научную ценность и направления обобщения.

\section{Введение}
Классические функции аналитической теории чисел, такие как функция распределения простых $\pi(n)$ и $n$-е простое число $p_n$, широко исследованы. Мы предлагаем новый способ их взаимосвязи, определяя функцию $\Delta(n)$ как длину интервала, следующего за $p_n$, в котором содержится столько же простых чисел, сколько в интервале от $1$ до $n$.

\section{Определение}
Определим $\Delta(n)$ следующим образом:
\begin{equation}
\pi(n) = \pi(p_n + \Delta(n)) - \pi(p_n)
\end{equation}
Иными словами, отрезок длиной $\Delta(n)$, начинающийся в точке $p_n$, содержит столько же простых чисел, сколько и отрезок от $1$ до $n$.

\section{Асимптотическая оценка}
Из аппроксимации $p_n \sim n \log n$ и $\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}$ следует, что длина отрезка, содержащего $n$ простых чисел вблизи $p_n$, приближённо равна:
\begin{equation}
\Delta(n) \approx n \left(1 + \frac{\log\log n}{\log n} \right)
\end{equation}
Данная формула основана на плотности простых чисел в окрестности $p_n$ и поправке второго порядка.

\section{Численные примеры}
Для различных значений $n$ функция $\Delta(n)$ показывает хорошую сходимость:
\begin{itemize}
    \item $n = 100$: $\Delta(100) \approx 100(1 + \frac{\log\log 100}{\log 100}) \approx 100(1 + \frac{\log 4.6}{\log 100})$
    \item $n = 1000$: аналогично, оценка увеличивается логарифмически.
\end{itemize}

\section{Научная ценность и обобщения}
Предлагаемый подход представляет интерес, поскольку он предлагает новый способ сопоставления плотности простых чисел в разных участках числовой прямой. Это может быть полезно в исследованиях, связанных с равномерностью распределения простых, теоремой Бруна–Тичмарша и теорией интервалов с заданным числом простых.

Возможные направления дальнейших исследований:
Обобщением данной идеи является введение функции $\Delta_k(n)$, определяемой как длина интервала, следующего за $p_n$, содержащего $k$-кратное количество простых чисел по сравнению с интервалом $[1, n]$. То есть, пусть:
\[
\pi(p_n + \Delta_k(n)) - \pi(p_n) = k \cdot \pi(n)
\]
Тогда при $k = 1$ восстанавливается исходная функция $\Delta(n)$. Такое обобщение позволяет изучать поведение плотности простых на более длинных масштабах и может быть использовано для анализа кластеров простых чисел и их глобального распределения. Асимптотически можно ожидать:
\[
\Delta_k(n) \approx k \cdot n \left(1 + \frac{\log\log n}{\log n} \right)
\]
что требует дальнейшего теоретического обоснования и численного подтверждения.

\begin{itemize}
    \item Обобщение $\Delta_k(n)$ с добавлением параметров;
    \item Статистическое распределение $\Delta(n)$ при больших $n$;
    \item Численные оценки и графики.
\end{itemize}

\section{Заключение}
Функция $\Delta(n)$ может стать новым инструментом в исследовании распределения простых чисел. Она отражает "симметрию" плотности простых относительно $n$ и $p_n$ и может иметь как теоретическую, так и прикладную ценность.

\end{document}

в статье привел другое обобщение, можно и так

$$ \pi (n) = \pi ( p_n + \Delta_k(n) ) - \pi(p_n - k) $$

и так :

$$\pi(p_n + \Delta_k(n)) - \pi(p_n) = k \cdot \pi(n)$$

но они не равнозначны.

[RIP]

Если я не обсчитался, то количество простых чисел на промежутке $(p_n,p_n+n]$ асимптотически равно

$$\pi(p_n+n)-n=\frac{n}{\ln n}-\bigl(1+o(1)\bigr)\frac{n\ln\ln n}{\ln^2n}<\frac{n}{\ln n}<\pi(n)=\frac{n}{\ln n}+\bigl(1+o(1)\bigr)\frac{n}{\ln^2n},$$

причём

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\pi(p_n+n)-n}{\pi(n)}=1$$

(но сходимость очень медленная, так что на маленьких числах её не увидеть).
Асимптотику для $\Delta(n)$ тоже можно посчитать, но мне лень.