2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 15:33 
StepV в сообщении #1694083 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
Прошу указать на ошибочное место в нижеследующем доказательстве 5-го постулата Евклида.

Самая большая ошибка состоит в том, что вы пытаетесь его доказать!

Это не научный метод.
Птолемеевская система тоже была вполне себе рабочим инструментом, зачем что-то искать лучше?

StepV в сообщении #1694083 писал(а):
...есть геометрии Лобачевского и Римана, в них используются свои постулаты о параллельных прямых.

В геометрии Римана нет параллельных прямых.

StepV в сообщении #1694083 писал(а):
Какой вид аксиомы вы примите для себя, такую геометрию и построите.

Я не пытаюсь построить "свою" геометрию. Я использую аксиоматику Евклида и Лобачевского (они не противоречат друг другу) и пытаюсь перевести 5-й постулат (это не аксиома) в разряд теорем (доказывается на основе аксиом и определений)

StepV в сообщении #1694083 писал(а):
Здесь на форуме мне как-то посоветовали великолепную книгу Успенский В.А. "Что такое аксиоматический метод?".

Я в курсе, что такое аксиоматический метод. По-моему, это должно быть видно из текста моего доказательства.

StepV в сообщении #1694083 писал(а):
Очень простая книга, но из нее вы узнаете, что при подборе аксиом какой-то модели геометрии, к аксиомам надо предъявлять требования о совместности, непротиворечивости и независимости системы аксиом. Это главное.
По вашему вниманию к пятому постулату могу посоветовать посмотреть вопрос: а можно ли изменить какой-то другой постулат, чтобы получить еще более интересную геометрию с необычными свойствами.
Например, для прямых, которые в отличие от евклидовой геометрии будем называть s-прямыми, введем следуюшие две аксиомы:
аксиома 1: Через две точки можно провести бесконечное количество s-прямых,
аксиома 2: Через три точки проходит только одна s-прямая.
Далее добавлять нужные аксиомы из известного набора аксиом геометрии.
Но у меня получилась в этой модели только геометрия на плоскости. Для пространства получаются очень непонятные соотношения.
По возможности сделайте какую-то свою простенькую модель геометрии, этот путь будет для вас более продуктивен и интересен.

Еще раз повторю, я не изобретаю "свою" геометрию. Я беру аксиоматику Евклида (ее пока никто не оспорил) и рассматриваю 5-й постулат, который Евклид не записал ни в аксиомы ни в определения.

-- 13.07.2025, 15:37 --

wrest в сообщении #1694081 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694067 писал(а):
Это невозможно в геометрии с неискривленным пространством (Евклид и Лобачевский).

Неискревлённое (кривизна нулевая) -- только Евклидово.

Возможно, я некорректно выразился.
Имеется ввиду если не рассматривать искривление пространства вообще. Т.е. никакой кривизны. В этом смысле и Евклидова геометрия и геометрия Лобачевского одинаково оперируют в "логическом", если так можно сказать пространстве, где нет кривизны.

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 15:42 
Аватара пользователя
Konstantin12 в сообщении #1694092 писал(а):
Я использую аксиоматику Евклида и Лобачевского (они не противоречат друг другу) и пытаюсь перевести 5-й постулат (это не аксиома) в разряд теорем (доказывается на основе аксиом и определений)
Как закончите с Евклидом, попробуйте рассмотреть $1$ и $0$, как "не противоречащие друг другу". Или "строго логически" вывести сыр из кочерги.

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 15:51 
Аватара пользователя
Konstantin12 в сообщении #1694092 писал(а):
Я использую аксиоматику Евклида и Лобачевского (они не противоречат друг другу)
Противоречат.

Еще раз. Возьмите какую-нибудь модель геометрии, в которой выполнены первые 4 постулата, но не пятый. Попробуйте провести в ней ваше построение - это сделать не получится, а первый шаг, который не пройдет - и есть опирающийся на что-то, кроме 4 постулатов.
Махать руками по поводу кривизны не надо, в аксиомах Евклида такого понятия вообще нет. Если вам нужны какие-то дополнительные утверждения про то, что "пространство плоское" - то значит вы выводите 5й постулат не из первых 4х, а из первых четырех плюс еще чего-то.

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 16:15 
wrest в сообщении #1694090 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
Длина дуг окружности по одну и другую сторону от секущей прямой будет равна друг другу.

Что такое "длина дуги"? Нужно определение либо отказаться от упоминания длин кривых. Кажется дальше "длина дуги" никак не используется.

Спасибо за Ваш комментарий! Он довольно интересный.
Я думал над этим вопросом. Залезать в определение длины дуги в этом случае представляется, как встать на скользкий путь ведущий к числу Пи, и соответственно к неявному использованию 5-го постулата. Поэтому я решил туда не заходить.
17-е определение Евклида, делит круг пополам прямой проведенной через центр. Никто с этим не спорит.
Что значит пополам?
Представляется, что любые части круга по одну и другую сторону от этой прямой равны между собой. Соответственно можно говорить и о длине дуги (как бы мы ее не определяли) и о площади (как бы мы ее не определяли).

wrest в сообщении #1694090 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
Теперь, можно заметить, что угол между лучом AC (проходящим через точки A и C) и лучом BD (проходящим через точки B и D) равен 180 градусов или половина полного угла окружности.

Как это заметить? Что такое угол между лучами не имеющими общих точек? Что такое "полный угол окружности? Нужны определения!

Общая точка для этих лучей есть - это точка О (центр окружности).
"Полный угол окружности". Возможно, нужно перефразировать данное предложение.
Вводить определение не хотелось бы, можно будет вписать как построение луча с началом в центре окружности и точкой на окружности, совершающей движение по кругу и возвращающейся в исходную точку - это и будет полный угол окружности, описанный данным лучом.
Но все же это только детали описания, ошибки я пока здесь не вижу.

wrest в сообщении #1694090 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
Так как можно построить окружность любого радиуса, из любой точки, лежащей на произвольной прямой, то отсюда следует вывод, что в любых точках прямой, угол между любыми отрезками, лежащими на этой прямой, будет равен 180 градусов или 0, что в данном случае равнозначно.

Не получается такой вывод без определения что такое "угол между отрезками".

Да, согласен, это тонкое место, надо его описательно проработать. Например, через тот же луч из центра окружности.

Но исходя из ваших замечаний, сделаю и свое. Все же это "отцеживание комара" на каждом слове. Читая, и Евклида, и Лежандра, и Лобачевского я не замечал у них такой скурпулезности. Зачастую повороты фигур там описываются, как само-собой разумеющееся мероприятие. поэтому и я, следую великим, не стал ковыряться с каждой запятой, т.к. если кто-то захочет, то всегда сможет найти достойное и точное описание, что зачит, например повернуть фигуру на 90 градусов.

Но поработать над углами межу отрезками можно, например через попарное равенство длин дуг окружности (чтобы это не значило), между соответствующими точками, определяющими отрезки на прямой (по определению отрезков)

-- 13.07.2025, 16:24 --

mihaild в сообщении #1694099 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694092 писал(а):
Я использую аксиоматику Евклида и Лобачевского (они не противоречат друг другу)
Противоречат.

Аксиомы и постулаты - это разные вещи.

mihaild в сообщении #1694099 писал(а):
Еще раз. Возьмите какую-нибудь модель геометрии, в которой выполнены первые 4 постулата, но не пятый. Попробуйте провести в ней ваше построение - это сделать не получится, а первый шаг, который не пройдет - и есть опирающийся на что-то, кроме 4 постулатов.

Я не опираюсь на 5-постулат в моих построениях.

mihaild в сообщении #1694099 писал(а):
Махать руками по поводу кривизны не надо, в аксиомах Евклида такого понятия вообще нет. Если вам нужны какие-то дополнительные утверждения про то, что "пространство плоское" - то значит вы выводите 5й постулат не из первых 4х, а из первых четырех плюс еще чего-то.

Я не "махаю рукам", как Вы изволите выражаться.
Кривизны пространства нет ни у Евклида ни у Лобачевского.
У меня его тоже нет.

Оно есть в головах интерпретаторов и построителей моделей.

-- 13.07.2025, 16:48 --

Null в сообщении #1694089 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694067 писал(а):
Разве не возможно вращение фигур на плоскости?
Оно ведет себя не так как вы думаете. Начните доказывать ваше утверждение про повороты прямых.

Не могли бы вы пояснить Ваш комментарий?
Как ведут себя повороты прямых?

-- 13.07.2025, 16:58 --

mihaild в сообщении #1694099 писал(а):
Еще раз. Возьмите какую-нибудь модель геометрии, в которой выполнены первые 4 постулата, но не пятый. Попробуйте провести в ней ваше построение - это сделать не получится, а первый шаг, который не пройдет - и есть опирающийся на что-то, кроме 4 постулатов.

Я прошу указать мне мою ошибку, а не указывать путь как ее может быть удастся найти.
Я не способен ее найти.
Если Вы считаете, что это легко - укажите конкретное место, делов-то!

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 17:45 
Konstantin12 в сообщении #1694101 писал(а):
Общая точка для этих лучей есть - это точка О (центр окружности).

Ok, тогда что такок "луч"?
Употребляется у вас вот тут:
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
...
Изображение
...
Теперь, можно заметить, что угол между лучом AC (проходящим через точки A и C) и лучом BD (проходящим через точки B и D) равен


-- 13.07.2025, 17:52 --

Konstantin12 в сообщении #1694101 писал(а):
Но исходя из ваших замечаний, сделаю и свое. Все же это "отцеживание комара" на каждом слове.

Ну так вы доказываете 5 постулат... Вопрос серьезный, всё должно быть ясно и понятно.
Бедняга Лежандр в каждом из 14-ти выпусков "Начал", как утверждается например тут:
Г. А. Гальперин, Теоремы Лежандра о сумме углов треугольника в абсолютной и гиперболической геометриях, Матем. просв., 2020, выпуск 25, 19–37
переделывал своё "доказательство" 5-го постулата и потом таки сдался.

-- 13.07.2025, 17:54 --

Konstantin12 в сообщении #1694101 писал(а):
Зачастую повороты фигур там описываются, как само-собой разумеющееся мероприятие.

Ну так давайте пойдем за Евклидом и примем 5-й постулат как сам собой разумеющийся, и всех делов :)

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 18:09 

(Оффтоп)

Konstantin12 в сообщении #1694101 писал(а):
Не могли бы вы пояснить Ваш комментарий?
Это не я должен пояснять а вы доказывать. Вы же написали утверждение
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
Следовательно, отрезки на сторонах CD и DA повернуты относительно друг друга на 270 градусов.

Нетрудно заметить, что до полного оборота на плоскости не хватает 90 градусов, т.е. прямого угла.

Из этого следует, что угол четырехугольника в точке D есть прямой угол.

Не надо спрашивать, надо доказывать. Таких аксиом нет.

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 18:36 
wrest в сообщении #1694113 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694101 писал(а):
Общая точка для этих лучей есть - это точка О (центр окружности).

Ok, тогда что такок "луч"?
Употребляется у вас вот тут:
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
...
Изображение
...
Теперь, можно заметить, что угол между лучом AC (проходящим через точки A и C) и лучом BD (проходящим через точки B и D) равен

Да, можно заменить это предложение следующим:
"Теперь, можно заметить, что угол между лучом a (проходящим через точки A и C) и лучом b (проходящим через точки B и D) равен"

wrest в сообщении #1694113 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694101 писал(а):
Но исходя из ваших замечаний, сделаю и свое. Все же это "отцеживание комара" на каждом слове.

Ну так вы доказываете 5 постулат... Вопрос серьезный, всё должно быть ясно и понятно.
Бедняга Лежандр в каждом из 14-ти выпусков "Начал", как утверждается например тут:
Г. А. Гальперин, Теоремы Лежандра о сумме углов треугольника в абсолютной и гиперболической геометриях, Матем. просв., 2020, выпуск 25, 19–37
переделывал своё "доказательство" 5-го постулата и потом таки сдался.

Заметьте, сдался он с 5-м постулатом, но две теоремы таки оставил: Ту что не позволяют сумме углов в треугольнике быть больше 2-х прямых и ту, где утверждается, что если найдется такой треугольник у которого сумма углов будет равно 2-м прямым, то у всех треугольников будет только такая сумма. И только такая.
Я опираюсь именно на его теоремы.
С другой стороны ни у кого из великих, я не нашел рассмотрения случая о делении окружности прямой пополам, как средства доказательства. Все опираются на треугольники, а там действительно тупик.

Принципиально, доказательство можно вылизать до идеала в определениях, но это заняло бы несколько томов, начиная с истории геометрии и того что значит слово "геометрия". Причем, все равно это не было бы абсолютной структурой "сама в себе", внешние "договоренности все равно были бы нужны", т.к. невозможно создать внутренне непротиворечивую формальную систему определений, как пытался сделать Гильберт и Гедель это доказал своей теоремой о неполноте.

Так что мое доказательство можно рассматривать как черновик. И если в черновике будет найдена непоправимая ошибка, то какой смысл заниматься всем этим на чистовую. А для черновика достаточно условно "общепринятых" смыслов слов "поворот", "луч", "угол" и т.п.

wrest в сообщении #1694113 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694101 писал(а):
Зачастую повороты фигур там описываются, как само-собой разумеющееся мероприятие.

Ну так давайте пойдем за Евклидом и примем 5-й постулат как сам собой разумеющийся, и всех делов :)

С поворотами, я действительно не понимаю, что не так?

-- 13.07.2025, 18:44 --

Null в сообщении #1694117 писал(а):

(Оффтоп)

Konstantin12 в сообщении #1694101 писал(а):
Не могли бы вы пояснить Ваш комментарий?
Это не я должен пояснять а вы доказывать. Вы же написали утверждение
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
Следовательно, отрезки на сторонах CD и DA повернуты относительно друг друга на 270 градусов.

Нетрудно заметить, что до полного оборота на плоскости не хватает 90 градусов, т.е. прямого угла.

Из этого следует, что угол четырехугольника в точке D есть прямой угол.

Не надо спрашивать, надо доказывать. Таких аксиом нет.

А на какой максимальный угол можно повернуть фигуру на плоскости?
По-моему, полный оборот на плоскости равен 360 градусов - это определение градуса. Нет?
Что доказывать в определении?
Это тоже самое, что требовать доказательства, что прямой угол - это 90 градусов.

Или я что-то не понимаю?

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 20:23 
Konstantin12 в сообщении #1694121 писал(а):
Или я что-то не понимаю?
Как я понял, при повороте угол между прямой и ее образом будет разный для разных прямых.

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение14.07.2025, 10:33 
Null в сообщении #1694129 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694121 писал(а):
Или я что-то не понимаю?
Как я понял, при повороте угол между прямой и ее образом будет разный для разных прямых.

Это в какой геометрии?

При повороте прямой проведенной через центр окружности, данная прямая перестанет делить окружность пополам?
Или при сдвиге этой окружности и прямой проведенной через ее центр на новое место на плоскости, прямая перестанет делить окружность пополам?
Или при повороте двух прямых пересекающих друг друга под прямым углом, угол пересечения прямых изменится?

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение14.07.2025, 11:58 
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
суммируя углы между шестью отрезками в точках A, B и C, получим сумму углов равную трем прямым, т.е. 270 градусов.

Следовательно, отрезки на сторонах CD и DA повернуты относительно друг друга на 270 градусов.

Не следовательно. Углы в разных точках не складываются.

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение14.07.2025, 12:35 
Konstantin12 в сообщении #1694175 писал(а):
Это в какой геометрии?
В геометрии Лобачевского. И в общей тоже(там где вообще нет пятого постулата)
dgwuqtj в сообщении #1694187 писал(а):
Углы в разных точках не складываются.
Да, я вот об этом.

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение14.07.2025, 13:59 
dgwuqtj в сообщении #1694187 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
суммируя углы между шестью отрезками в точках A, B и C, получим сумму углов равную трем прямым, т.е. 270 градусов.

Следовательно, отрезки на сторонах CD и DA повернуты относительно друг друга на 270 градусов.

Не следовательно. Углы в разных точках не складываются.

Спасибо за Ваш комментарий!

Я понимаю о чем Вы говорите.
В геометрии Лобачевского это так.
Дело в том, что прежде чем складывать углы в разных точках прямой линии, я применил теорему (полученную из свойства прямой, проведенной через центр окружности, делящей эту окружность пополам) из которой следует, что углы между отрезками взятыми на одной прямой равны нуль (или 180 градусам). Такой теоремы в геометрии Лобачевского нет. И соответственно, в геометрии Лобачевского невозможно установить точно, каковы углы между двумя прямыми пересекающими третью в разных точках данной прямой.
Именно в этом и вся соль моего доказательства.
Именно здесь я и прошу найти ошибку. Т.е. можно ли утверждать, исходя из выше упомянутой теоремы, что углы между отрезками на прямой равны нулю. Если это так, то никаких вопросов по поводу сложения углов не должно быть, и соответственно 5-й постулат становиться не постулатом, а теоремой.

Null в сообщении #1694192 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694175 писал(а):
Это в какой геометрии?
В геометрии Лобачевского. И в общей тоже(там где вообще нет пятого постулата)
dgwuqtj в сообщении #1694187 писал(а):
Углы в разных точках не складываются.
Да, я вот об этом.

Наконец то я Вас понял.
Вообще, я придерживаюсь такого принципа:
"Кто ясно мыслит, тот ясно излагает"
Поэтому я всегда пытаюсь проанализировать ясно ли я изложил свою мысль. И если вижу что наврядли ее поймут, то или переформулирую, или дальше пытаюсь понять для самого себя.

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение14.07.2025, 14:13 
Konstantin12 в сообщении #1694202 писал(а):
Такой теоремы в геометрии Лобачевского нет.

Есть. Угол между отрезками — это угол между содержащими их прямыми в точке пересечения, так? Вот если прямые совпадают, то в любой их (общей) точке угол будет $0^\circ$.

Только к сложению произвольных углов это не относится. Вы утверждаете, что если прямые $a$, $b$ пересекают $c$, то $\angle(a, b) = \angle(a, c) + \angle(b, c)$ с точностью до знаков и прибавления/вычитания $180^\circ$. Это утверждение уже про плоскость, не про отрезки на прямой. И оно как раз не выполняется в геометрии Лобачевского.

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение14.07.2025, 15:28 
dgwuqtj в сообщении #1694205 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694202 писал(а):
Такой теоремы в геометрии Лобачевского нет.

Есть. Угол между отрезками — это угол между содержащими их прямыми в точке пересечения, так? Вот если прямые совпадают, то в любой их (общей) точке угол будет $0^\circ$.

У меня речь про угол между отрезками на прямой, когда эти отрезки не содержат общих точек.
Т.е. это шире чем Ваш вариант с углом в точке пересечения.
Если у отрезков, лежащих на общей прямой, нет общих точек, то угол между ними в геометрии Лобачевского зависит от расстояния между ними.

dgwuqtj в сообщении #1694205 писал(а):
Только к сложению произвольных углов это не относится. Вы утверждаете, что если прямые $a$, $b$ пересекают $c$, то $\angle(a, b) = \angle(a, c) + \angle(b, c)$ с точностью до знаков и прибавления/вычитания $180^\circ$. Это утверждение уже про плоскость, не про отрезки на прямой. И оно как раз не выполняется в геометрии Лобачевского.

С трудом понял Вашу мысль (если понял)
Не выполняется в геометрии Лобачевского. Я что с этим спорю?

Если угол между произвольными отрезками на прямой (любой) равен нулю градусов, тогда, если прямые $a$, $b$ пересекают $c$, тогда $\angle(a, b) = \angle(a, c) + \angle(b, c)$, будет верным утверждением?

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение14.07.2025, 15:35 
Угол — это геометрическая фигура, образованная парой лучей с общей вершиной. В случае пары отрезков вы этот угол как-то строите или у вас другое определение?

-- 14.07.2025, 15:37 --

Konstantin12 в сообщении #1694214 писал(а):
Если угол между произвольными отрезками на прямой (любой) равен нулю градусов, тогда, если прямые $a$, $b$ пересекают $c$, тогда $\angle(a, b) = \angle(a, c) + \angle(b, c)$, будет верным утверждением?

Не будет.

 
 
 [ Сообщений: 67 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group