2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 01:29 
Прошу указать на ошибочное место в нижеследующем доказательстве 5-го постулата Евклида.
Сам найти его (ошибочное место) я не могу, т.к. сам придумал это доказательство.

Доказательство очень короткое, так что если там есть ошибка, то разбирающемуся в проблеме человеку, найти ее не займет много времени.

Публиковал его на Хабре (https://habr.com/ru/articles/588556/), но кроме минусов в карму и в комментариях никакой конструктивной критики не получил.
Но это и понятно, там публика, из которой единицы знают о геометрии Лобачевского и проблеме 5-го постулата.
Недавно узнал, что есть этот форум, так что надеюсь на конструктивную критику.

Итак.

Сущность
Основная идея доказательства заключается в том, что угол между любыми отрезками, взятыми на прямой, всегда равен нулю или 180 градусам, что то же самое в данном случае.

Если данное утверждение справедливо, то верен и 5-й постулат Евклида.

Это доказывается с помощью окружности и прямой проведенной через центр данной окружности.

Т.е. доказательство ведется через рассмотрение свойств прямой линии.

Подробнее
Если провести прямую линию через центр окружности, то эта прямая разделит окружность на две равные части.

Такое утверждение представляется вполне очевидным.

Действительно, если бы какая-нибудь из разделённых частей окружности была больше по площади или по длине дуги, то мы были бы вынуждены предоставить аргументацию того, чем вызвано наше предпочтение той или иной из частей.

Будь то искривление пространства или еще какая-нибудь другая идея – все они выходят за рамки логической геометрии.

Так и в «Началах» Евклида есть определение под номером 17.

В переводе Д. Д. Мордухай-Болтовского оно звучит так: «Диаметр же круга есть какая угодно прямая, проведенная через центр и ограничиваемая с обеих сторон окружностью круга, она же рассекает круг пополам»

Ни у одного из критиков Евклида данное определение не вызвало сомнений, т.к. оно представляется довольно очевидным. Иначе, мы должны были бы определить предпочитаемую сторону, лежащую по ту ли иную сторону от этой прямой.

Изображение

Возьмем окружность с центром в точке О и с произвольным радиусом R1 (Рис.1) Проведем через центр окружности прямую ab. По определению прямая ab разделит окружность на две равные части. Точки пересечения окружности и прямой будут точки A и B. Длина дуг окружности по одну и другую сторону от секущей прямой будет равна друг другу.

Построим еще одну окружность, но с радиусом R2 больше чем у первой окружности R1.

Точки пересечения прямой ab со второй окружностью C и D, также разделят эту окружность на две равные части, и длина двух дуг будет равна друг другу.

Теперь, можно заметить, что угол между лучом AC (проходящим через точки A и C) и лучом BD (проходящим через точки B и D) равен 180 градусов или половина полного угла окружности.

Если же считать отрезки между точками на прямой ab ненаправленными, то угол между ними будет равен, или 180 градусов, или ноль, что одно и тоже в данном случае.

Так как можно построить окружность любого радиуса, из любой точки, лежащей на произвольной прямой, то отсюда следует вывод, что в любых точках прямой, угол между любыми отрезками, лежащими на этой прямой, будет равен 180 градусов или 0, что в данном случае равнозначно.

Сумма углов в треугольнике.

Изображение

По второй теореме Лежандра, если существует хотя бы один треугольник, в котором сумма внутренних углов равна двум прямым, то из этого надлежит заключить, что во всяком треугольнике сумма внутренних углов также равна двум прямым.

В случае с текущим доказательством, самым простым способом проверки суммы углов в треугольнике, будет построение четырехугольника с тремя прямыми углами и определение величины четвертого угла. Если четвертый угол окажется прямым, то соответственно сумма углов в четырехугольнике будет равна 360 градусов.

Разделив данный четырехугольник любой диагональю, мы получим два треугольника с суммами углов 180 градусов, т.е. суммой двух прямых.

Итак, восстановим к прямой из точек A и B два перпендикуляра. На перпендикуляре, выходящим из точки В, восстановим еще один перпендикуляр из точки C.

Перпендикуляры, восстановленные из точек А и С, пересекутся в некой точке D. Такое построение справедливо как в геометрии Евклида, так и в геометрии Лобачевского.

Таким образом, в силу нашего построения, мы получим четырехугольник с тремя прямыми углами и одним углом меньшим или равным прямому. Угол больше прямого не допускает Первая теорема Лежандра. Геометрия Лобачевского этого не отрицает.

Возьмем точку О, в середине отрезка BC. Построим окружность c центром в точке O и радиусом OB. Построим окружность с центром в точке O, но с радиусом меньше, чем OB.

Таким образом, мы имеем две окружности с единым центром и прямую проходящую через этот центр. Такая прямая делит окружность на две равные части.

Пользуясь рассуждениями данной статьи, можно видеть, что будут равны нулю углы между отрезками, лежащими на прямой BC.

Такие построения можно провести на всех сторонах четырехугольника.

Теперь, исходя из того, что угол между любыми отрезками на любой стороне четырехугольника равен нулю и суммируя углы между шестью отрезками в точках A, B и C, получим сумму углов равную трем прямым, т.е. 270 градусов.

Следовательно, отрезки на сторонах CD и DA повернуты относительно друг друга на 270 градусов.

Нетрудно заметить, что до полного оборота на плоскости не хватает 90 градусов, т.е. прямого угла.

Из этого следует, что угол четырехугольника в точке D есть прямой угол.

Соответственно, сумма углов в четырехугольнике с тремя прямыми углами по построению, будет равна четырем прямым. Т.е. четырехугольник, есть прямоугольник.

Любая диагональ делит четырехугольник с четырьмя прямыми углами на два треугольника с суммой углов в два прямых.

Ну собственно, и все доказательство.



Дальше, немного о проблеме Определения прямой линии.

Определение прямой линии, как причина проблемы с доказательством 5-го постулата Евклида.

Казалось бы такое простое доказательство, данное выше.

Так в чем же причина того, что 5-й постулат остается спорным до сих пор?

Мне представляется, что проблема, как ни странно, кроется в Определении прямой линии.

До сих пор не найдено красивого, лаконичного, очевидного и, что крайне важно, применимого для доказательства Определения прямой линии. Такого Определения, которое запрещало бы «кривизну» прямой линии.

Для прямой линии нет определения, подобного тому, как дано для окружности: «Окружность – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной».

Определение прямой линии вида: «Через две точки можно провести только одну прямую» трудно назвать определением. Это скорее описание одного из свойств прямой линии.

Из этого свойства вытекает, что двумя точками можно задать положение прямой линии в пространстве, но к определению прямой это не имеет отношения. Прямая линия может быть как угодно «искривлена», и если у нас нет аргументов считать это абсурдным, то у нас и нет доказательной базы для объявления это абсурдом. Всегда можно будет апеллировать к тому, что «прямота» прямой линии – это наше бытовое представление о ней. Что, например мы не видим «кривизну» в силу ограниченности наблюдаемого нами пространства и если неограниченно продолжить эту прямую линию тогда мы могли бы увидеть ее «кривизну».

Определение через ось тела вращения – это скорее умозрительное описание предмета, не дающее работоспособных правил к применению. Это не более чем бытовое представление о прямой линии, по сути равнозначное определению прямой двумя точками. Этим определением мы ничего не сможем ни доказать, ни опровергнуть.

Определение типа «Прямая – это геометрическое место точек равноудаленных от двух данных», довольно строго описывает прямую, но крайне тяжело применимо для целей доказательства в случаях, где требуется опровергнуть возможную «кривизну» прямой.

Евклид дал такое определение прямой линии (в переводе Д. Д. Мордухай-Болтовского):

«Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней».

В силу своей неясности, зачастую, вместе с переводом данного определения, оно приводиться в оригинальном виде. Возможно в надежде, что читатели сами смогут понять его витиеватость.

Об этом говорит обширность комментариев даваемых к этому Определению. Но в любом случае оно также неприменимо для целей доказательства или опровержения чего либо. Это просто бытовое представление о прямой линии, тем более не совсем ясное.

Лежандр признает: «Не подлежит сомнению, что безуспешность всех попыток вывести эту теорему (о сумме углов треугольника) из одних только наших сведений об условиях равенства треугольников, содержащихся в I книге Евклида, имеет свой источник в несовершенстве нашей повседневной речи и в трудности дать хорошее определение прямой линии».

Лобачевский не соглашается с этим заявлением. Ни сколько не умаляя ни труда, ни заслуг Лобачевского в поисках истины о 5-м Постулате Евклида, автору представляется, что именно эта причина, замеченная Лежандром, и есть суть проблемы.

Искривление пространства и прочие физические сущности
При рассуждениях о 5-м постулате Евклида, некоторые популяризаторы уходят в рассуждения об искривлении пространства, об многомерности пространства невидимой бытовому наблюдателю и прочих головокружительных сущностях.

Так вот, что касается геометрии, как предмета рассматриваемого Евклидом, как и его великими последователями включая и Лежандра и Лобачевского, ни о каком физическом пространстве речи у них не идет.

Геометрия Евклида – это чисто логическая абстракция, где пространство не обладает какими либо физическими параметрами. Соответственно и привлечение, каких либо физических идей в геометрии Евклида неуместно.

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 01:41 
Аватара пользователя
Возьмите любую модель геометрии Лобачевского и найдите, какой шаг вашего рассуждения не проходит.

-- 13.07.2025, 00:42 --

Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
Дальше, немного о проблеме Определения прямой линии
Никакой такой проблемы нет. Можно называть что угодно прямыми линиями, и что угодно точками, до тех пор, пока на этих объектах выполнены соответствующие аксиомы.

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 02:56 
mihaild в сообщении #1694038 писал(а):
Возьмите любую модель геометрии Лобачевского и найдите, какой шаг вашего рассуждения не проходит.

Читал "Геометрические исследования по теории параллельных линий" Лобачевского

В том то и дело, что не могу найти ошибку у себя.
у других ошибки вижу практически сразу.

-- 13.07.2025, 00:42 --
mihaild в сообщении #1694038 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
Дальше, немного о проблеме Определения прямой линии
Никакой такой проблемы нет. Можно называть что угодно прямыми линиями, и что угодно точками, до тех пор, пока на этих объектах выполнены соответствующие аксиомы.


Возможно, я не совсем точно понимаю, что Вы имеете ввиду. Но мне представляется, что известные аксиомы касающиеся прямых линий, как раз и позволяют некоторые вольности с "прямолинейностью" прямых. Я пытаюсь ограничить эти вольности в своем доказательстве, не вводя дополнительных аксиом (остаюсь в рамках аксиоматики Евклида), но перевожу 5-постулат в разряд теорем, через рассмотрение свойства прямой проходящей через центр круга. Там эта прямая четко "зажимается" в рамки, не позволяющие образоваться углам, отличным от нуля, между отрезками этой прямой.

Лобачевский тоже остается в рамках аксиоматики Евклида, только делает допущение, что 5-постулат не ограничивает "прямолнейность" прямой линии.
Кстати, у Лобачевского есть построение прямой через центр окружности, но он там не заостряет внимание на углах между отрезками такой прямой. Он рассматривает прямые проходящие не через центр окружности, и как бы естественно у него есть одна (!) прямая проходящая через центр. Остальное множество "прямых", проходящих не через центр окружности, отклоняются от "прямолинейности" в одну или другую сторону. У него на окружности бесконечного радиуса (он называет его Орициклом) эти прямые (все) пересекают окружность под прямым углом.

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 06:02 
Знаем, конечно, что не в коня корм, но повыпендриваемся:
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
Перпендикуляры, восстановленные из точек А и С, пересекутся в некой точке D.
С какого ...перепугу ? (Подсказка: нет, не обязательно !). Учите матчасть ! Например Л.С.Атанасян, Геометрия Лобачевского.

-- 13.07.2025, 05:13 --

Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
о разбирающемуся в проблеме человеку, найти ее не займет много времени.
И правда не заняло.

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 07:43 
Аватара пользователя
vpb в сообщении #1694043 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
Перпендикуляры, восстановленные из точек А и С, пересекутся в некой точке D.
С какого ...перепугу ? (Подсказка: нет, не обязательно !).
Ну почему же?
Если принять умозаключение топикстартера за истинное, и перпендикуляры таки обязательно пересекутся в точке $D$, то тем самым он неявно использует в своём доказательстве 5-й постулат Евклида, который он хочет доказать.

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 08:05 
Аватара пользователя
Konstantin12 в сообщении #1694041 писал(а):
В том то и дело, что не могу найти ошибку у себя.

Давайте конкретизируем то, что предложил mihaild: Рассмотрите Ваше построение на сфере. Прямые линии - это большие окружности, в частности, меридианы и экватор. Берём центр Ваших окружностей (точку O) на экваторе, а проходящая через него прямая - пусть это будет меридиан. Параллельная ей прямая, не проходящая через точку O, это другой меридиан. Но меридианы, как известно, пересекаются на полюсах. В чём ошибка Вашего рассуждения?

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 11:03 
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
Нетрудно заметить, что до полного оборота на плоскости не хватает 90 градусов, т.е. прямого угла.

Вот тут взято с потолка. Вы почему то считаете что сумма углов четырехугольника $360^\circ$. Рассуждение про повороты прямой не обоснованны.

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 11:50 
vpb в сообщении #1694043 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
Перпендикуляры, восстановленные из точек А и С, пересекутся в некой точке D.
С какого ...перепугу ? (Подсказка: нет, не обязательно !).

Спасибо за Ваш комментарий!
Согласен с Вами, что есть вариант того, что перпендикуляры могут не пересечься. Это как раз и есть предположение, которое сделал Лобачевский.
Но, и Лобачевский не отрицает, что перпендикуляры могут пересечься. Иначе мы не могли бы построить фигуру с тремя прямыми углами и одним острым. Но, геометрия Лобачевского базируется на такой фигуре. Это основное предположение Лобачевского, что на плоскости, кроме фигуры с четырьмя прямыми углами, возможна (в дополнение к первой), фигура с тремя прямыми углами и одним острым.

-- 13.07.2025, 12:06 --

Gagarin1968 в сообщении #1694045 писал(а):
vpb в сообщении #1694043 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
Перпендикуляры, восстановленные из точек А и С, пересекутся в некой точке D.
С какого ...перепугу ? (Подсказка: нет, не обязательно !).
Ну почему же?
Если принять умозаключение топикстартера за истинное, и перпендикуляры таки обязательно пересекутся в точке $D$, то тем самым он неявно использует в своём доказательстве 5-й постулат Евклида, который он хочет доказать.


Спасибо за Ваш комментарий!

Хочу пояснить, что я нигде не утверждал, что перпендикуляры обязательно пересекутся в точке D. Я делаю это построение, потому что оно возможно (даже из элементарного бытового опыта), в том числе и в геометрии Лобачевского и он принимает такое построение, как истинно возможное. И Лобачевский не считает, что он "неявно использует в своём доказательстве 5-й постулат Евклида"
Лобачевский вводит еще одно предположение, что такие перпендикуляры могут не пересечься при большом размере фигуры (на большом удалении). Т.е. на малых размерах фигуры перпендикуляры обязательно пересекутся и только при достижении огромных размеров, угол пересечения перпендикуляров станет близким к нулю и при дальнейшем увеличении произойдет переход через угол, который Лобачевский называет "углом параллельности". И, далее, при еще большем увеличении фигуры, происходит "отрыв" и перпендикуляры переходят в разряд параллельных прямых.

-- 13.07.2025, 12:28 --

epros в сообщении #1694047 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694041 писал(а):
В том то и дело, что не могу найти ошибку у себя.

Давайте конкретизируем то, что предложил mihaild: Рассмотрите Ваше построение на сфере.


Спасибо за Ваш комментарий!

Геометрия, и Евклида, и геометрия Лобачевского, и замете, геометрия Римана (как модель - это геометрия на сфере) - все эти геометрии есть геометрии на плоскости.
Просто, если мы вводим искривление пространства, тогда мы можем рассуждать об этих геометриях, как о геометриях с нулевым (Евклид), отрицательным (Лобачевский) и положительным (Риман) искривлением пространства.
Если же мы продолжаем рассматривать геометрию без дополнительного параметра, такого, как искривление пространства, тогда геометрия Римана (модель - геометрия на сфере, где нет параллельных прямых) "отваливается" сразу, т.к. в этой геометрии все треугольники имеют сумму углов больше двух прямых. Это невозможно в геометрии с неискривленным пространством (Евклид и Лобачевский). Это доказано Лежандром в его второй теореме. Где он доказал, что невозможны треугольники с суммой углов больше двух прямых. Доказать, что невозможны треугольники с суммой углов меньше двух прямых Лежандр не смог. И поэтому считается что геометрия Лобачевского вписывается в геометрию с неискривленным пространством.

Лежандр же доказал, что если есть хотя бы один треугольник с суммой углов равным двум прямым, то все треугольники должны быть таковыми.

-- 13.07.2025, 12:38 --

Null в сообщении #1694055 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
Нетрудно заметить, что до полного оборота на плоскости не хватает 90 градусов, т.е. прямого угла.

Вот тут взято с потолка. Вы почему то считаете что сумма углов четырехугольника $360^\circ$.

Спасибо за Ваш комментарий!

Я так не считаю, я пытаюсь это доказать, исходя из того, что максимально возможный поворот на плоскости - это 360 градусов (по определению)

Null в сообщении #1694055 писал(а):
Рассуждение про повороты прямой не обоснованны.

Здесь я не очень понял Вашу мысль. Не могли бы Вы пояснить?
Чем не обоснованы? Разве не возможно вращение фигур на плоскости? Или максимальный угол на плоскости не равен 360 градусов?

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 14:31 
Аватара пользователя
Konstantin12 в сообщении #1694067 писал(а):
Если же мы продолжаем рассматривать геометрию без дополнительного параметра, такого, как искривление пространства, тогда геометрия Римана (модель - геометрия на сфере, где нет параллельных прямых) "отваливается" сразу, т.к. в этой геометрии все треугольники имеют сумму углов больше двух прямых. Это невозможно в геометрии с неискривленным пространством (Евклид и Лобачевский).

Если Вы хотите вместо пятого постулата Евклида принять за постулат равенство суммы углов любого треугольника 180 градусам, то Вы получите не геометрию Лобачевского, а ту же евклидову геометрию, только в другой аксиоматизации.

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 14:48 
Konstantin12 в сообщении #1694067 писал(а):
Это невозможно в геометрии с неискривленным пространством (Евклид и Лобачевский).

Неискревлённое (кривизна нулевая) -- только Евклидово.

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 15:00 
Аватара пользователя
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
Прошу указать на ошибочное место в нижеследующем доказательстве 5-го постулата Евклида.


Самая большая ошибка состоит в том, что вы пытаетесь его доказать! Уже многое за эти пару столетий изменилось. Есть уже несколько моделей геометрий, которые не противоречивы внутри себя и описывают модель пространства, соответствующую своим аксиомам. Например: "абсолютная геометрия", в которой используются все аксиомы, кроме параллельности прямых, есть евклидова геометрия, с параллельностью прямых, есть геометрии Лобачевского и Римана, в них используются свои постулаты о параллельных прямых. Какой вид аксиомы вы примите для себя, такую геометрию и построите.
Здесь на форуме мне как-то посоветовали великолепную книгу Успенский В.А. "Что такое аксиоматический метод?".
Очень простая книга, но из нее вы узнаете, что при подборе аксиом какой-то модели геометрии, к аксиомам надо предъявлять требования о совместности, непротиворечивости и независимости системы аксиом. Это главное.
По вашему вниманию к пятому постулату могу посоветовать посмотреть вопрос: а можно ли изменить какой-то другой постулат, чтобы получить еще более интересную геометрию с необычными свойствами.
Например, для прямых, которые в отличие от евклидовой геометрии будем называть s-прямыми, введем следуюшие две аксиомы:
аксиома 1: Через две точки можно провести бесконечное количество s-прямых,
аксиома 2: Через три точки проходит только одна s-прямая.
Далее добавлять нужные аксиомы из известного набора аксиом геометрии.
Но у меня получилась в этой модели только геометрия на плоскости. Для пространства получаются очень непонятные соотношения.
По возможности сделайте какую-то свою простенькую модель геометрии, этот путь будет для вас более продуктивен и интересен.

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 15:15 
epros в сообщении #1694079 писал(а):
Konstantin12 в сообщении #1694067 писал(а):
Если же мы продолжаем рассматривать геометрию без дополнительного параметра, такого, как искривление пространства, тогда геометрия Римана (модель - геометрия на сфере, где нет параллельных прямых) "отваливается" сразу, т.к. в этой геометрии все треугольники имеют сумму углов больше двух прямых. Это невозможно в геометрии с неискривленным пространством (Евклид и Лобачевский).

Если Вы хотите вместо пятого постулата Евклида принять за постулат равенство суммы углов любого треугольника 180 градусам.

Укажите, пожалуйста, в моем тексте, где я принимаю за постулат, "равенство суммы углов любого треугольника 180 градусам".
Возможно, я не замечаю этого места, поэтому и делаю ошибку.

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 15:23 
Konstantin12 в сообщении #1694067 писал(а):
Разве не возможно вращение фигур на плоскости?
Оно ведет себя не так как вы думаете. Начните доказывать ваше утверждение про повороты прямых.

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 15:29 
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
Длина дуг окружности по одну и другую сторону от секущей прямой будет равна друг другу.

Что такое "длина дуги"? Нужно определение либо отказаться от упоминания длин кривых. Кажется дальше "длина дуги" никак не используется.
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
Теперь, можно заметить, что угол между лучом AC (проходящим через точки A и C) и лучом BD (проходящим через точки B и D) равен 180 градусов или половина полного угла окружности.

Как это заметить? Что такое угол между лучами не имеющими общих точек? Что такое "полный угол окружности? Нужны определения!
Konstantin12 в сообщении #1694036 писал(а):
Так как можно построить окружность любого радиуса, из любой точки, лежащей на произвольной прямой, то отсюда следует вывод, что в любых точках прямой, угол между любыми отрезками, лежащими на этой прямой, будет равен 180 градусов или 0, что в данном случае равнозначно.

Не получается такой вывод без определения что такое "угол между отрезками".

 
 
 
 Re: Доказательство 5-го постулата Евклида
Сообщение13.07.2025, 15:29 
Аватара пользователя
Тема является красочной иллюстрацией выражения "ломиться в открытую дверь".

 
 
 [ Сообщений: 67 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group