Какое число показать?

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1693929 писал(а):

Но при $x > y$ всё еще $b_{xy}$ не зависит от $b_y$.

И не должен зависеть.

$b_{xy}$ строим как вероятность, при выпавшей у Алисы паре $(x,y)$, что Боб скажет "показано число из ГСЧ1", или "показано число икс (а не игрек)".
На $x>y$ это утверждение ("показано число икс") эквивалентно утверждению "показано большее число".
Поэтому, при $x>y$, $b_{xy} = b_x$

Аналогичными рассуждениями получается при $x<y$, $b_{xy} =1 - b_y$

[mihaild]

EUgeneUS в сообщении #1693932 писал(а):

На $x>y$ это утверждение ("показано число икс") эквивалентно утверждению "показано большее число".

Нет. На $x > y$ это утверждение эквивалентно "показано $x$ и сказано, что показано большее, или показано $y$ и сказано, что показано меньшее". Вероятность $p_{xy} \cdot b_x + (1 - p_{xy}) \cdot (1 - b_y)$.

EUgeneUS в сообщении #1693932 писал(а):

И не должен зависеть

Но выигрыш Алисы, если у неё выпало $x > y$, зависит от $b_y$.

mihaild в сообщении #1693929 писал(а):

Как Алисе выиграть если ей выпали $(1/3, 2/3)$?

[BobVsAlice]

При стратегии Боба "отвечать Больше, когда полученное число больше равномерно выбранного случайного" частота его выигрышей зависит только от модуля разности пары чисел, который Алиса изменить не может. И она всегда больше одной второй. Алиса может только пытаться минимизировать сумму проигрыша.
Вроде бы это считается в уме, и я так и не понял: здесь никто не согласен с этим утверждением, или оно ничего не дает для вычисления равновесия Нэша. Мне нужно открыть тему в ПРР для этого вопроса? Я настоящие равновесия умею вычислять только в играх "2х2".

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1693929 писал(а):

Фиксированная стратегия Боба: сказать, что спрятано меньшее, если показанное больше $1/2$, иначе сказать, что спрятано большее. В Ваших обозначениях - $b_x = [x > 1/2]$.
Как Алисе выиграть если ей выпали $(1/3, 2/3)$?

да, в одной точке не зануляется.

-- 11.07.2025, 18:51 --

BobVsAlice в сообщении #1693934 писал(а):

Алиса может только пытаться минимизировать сумму проигрыша.

Уже найдена стратегия Алисы, при которой она проигрывает ноль.

-- 11.07.2025, 18:53 --

mihaild в сообщении #1693933 писал(а):

На $x > y$ это утверждение эквивалентно "показано $x$ и сказано, что показано большее, или показано $y$ и сказано, что показано меньшее". Вероятность $p_{xy} \cdot b_x + (1 - p_{xy}) \cdot (1 - b_y)$.

Да, спасибо.

[BobVsAlice]

EUgeneUS

Цитата:

Уже найдена стратегия Алисы, при которой она проигрывает ноль.

Понятно. Мне просто казалось, что вы и wrest активно не соглашались с моим утверждением, что Боб выигрывает раунд чаще Алисы. Но это оттого, что я формулировал это как "Боб выигрывает".

[EUgeneUS]

BobVsAlice
Для исходной задачи в стартовом сообщении.

1. Найдена стратегия Боба, которая обеспечивает нулевой выигрыш, при любой стратегии Алисы.
2. Найдена стратегия Алисы, которая обеспечивает нулевой выигрыш, при любой стратегии Боба.

И это равновесие Нэша.

Дискуссия ведётся вокруг: являются ли найденные стратегии единственными в равновесии Нэша.

-- 11.07.2025, 19:00 --

BobVsAlice в сообщении #1693936 писал(а):

Мне просто казалось, что вы и wrest активно не соглашались с моим утверждением, что Боб выигрывает раунд чаще Алисы.

В исходной задаче - неважно как часто выигрывает Боб. Важно - сколько.
Если Вы про Ваш вариант задачи, где ставка фиксированная, то лучше таки завести отдельную тему.

[mihaild]

BobVsAlice в сообщении #1693934 писал(а):

частота его выигрышей зависит только от модуля разности пары чисел, который Алиса изменить не может

Не только. Если случайное число не попало между числами Алисы, то его выигрыш зависит от того, как Алиса выбирает, что показывать.

А еще важна не только вероятность выигрыша, но и его величина. На стратегиях "Алиса показывает случайное число, Боб всегда отвечает, что показано меньшее" вероятность выигрыша $1/2$, а вот по деньгам в среднем выигрывает Боб.

[BobVsAlice]

Цитата:

В исходной задаче - неважно как часто выигрывает Боб. Важно - сколько.

Конечно. Про мой вариант задачи мы уже забыли: это известная простая задача, которую я привел как попытку рассуждать об исходной задаче, оттого, что я плохо понял решение mihaild.

Боб очевидно выигрывает чаще Алисы при моей стратегии. Мне было странно, что люди с этим спорили.

Edit: это потому что я не прав и это неверное утверждение.

Спасибо, больше постараюсь не морочить вам голову.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1693928 писал(а):

Если выпали $x,y$, то с вероятностью $p_{xy}=\frac{x}{x+y}$ Алиса показывает $x$, а с вероятностью $\tilde{p}_{xy}=\frac{y}{x+y}$ Алиса показывает $y$.

Ок, кажется так (надеюсь что нули не выпадают и не стал делать проверку). Но второе условие не проверяется, ессно. Только первое. Если оно не выполнилось, показываем $y$

alice_strat_newbalance(x,y)=my(pxy=x/(x+y));if(random(1.0)<pxy,return([x,y]),return([y,x]));

Проверяем против стратегии Боба "если показано число больше 1/2, сказать что скрыто меньшее"

bob_strat_half(S)=if(S>1/2,return(-1),return(1));

Боб выиграл:

? simulate_game(10^5,alice_strat_newbalance,bob_strat_half);
Bob told max = 37 percent; max was guessed 20 percent of all games
Bob told min = 63 percent; min was guessed 52 percent of all games
Bob total guess rate = 72 percent of all games
Bob average prize = 0.17427959047886542975902557373046875000
Best approximation = 4/23
time = 1,223 ms.
?

[mihaild]

BobVsAlice в сообщении #1693939 писал(а):

Боб очевидно выигрывает чаще Алисы при моей стратегии

Не очевидно. Это зависит от стратегии Алисы. Если у неё выпала пара $x < y$, то вероятность выиграть против этой стратегии Боба, показав $x$, равна $x$, а показав $y$ - $1 - y$. Если Алиса максимизирует вероятность выигрыша, то она выбирает вариант, при котором вероятность выигрыша больше, а в среднем это как раз $1/2$.

[BobVsAlice]

mihaild, да, спасибо, прошу прощения, я уже понял это после вашего прошлого сообщения, но почему-то написал глупость.

[wrest]

BobVsAlice
Скажите, а вы вот этим вдохновились с идей вставить своё случайное число между двумя другими?
https://www-isl.stanford.edu/%7Ecover/p ... aper73.pdf
Мне кажется, эта идея неверная...

-- 11.07.2025, 19:57 --

EUgeneUS в сообщении #1693937 писал(а):

1. Найдена стратегия Боба, которая обеспечивает нулевой выигрыш, при любой стратегии Алисы.

Это которая? Отвечать "больше" или "меньше" равновероятно?

[BobVsAlice]

wrest,
Нет, не знал что есть такая нерешенная задача, и не знаю, что такое secretary problem, пойду почитаю.
Обсуждать идею на вашем уровне мне не хватит квалификации, но почитал бы обсуждение с огромным интересом.

[mihaild]

wrest в сообщении #1693944 писал(а):

Отвечать "больше" или "меньше" равновероятно?

Да. При фиксированных показанном и спрятанном числах результат в среднем нулевой. А значит и в среднем по всем числам нулевой.